四川省成都市龙泉驿区2016届高三5月模拟考试数学理试题含答案解析

龙泉驿区 2016 届高三 5 月模拟 数学（理） 一、选择题： 本大题有 10 小题， 每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 2 的共轭复数对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 ： D 解析 ： 12 = (1 )(2 )(2 )(2 )=35+15i，所以其共轭复数为 . x|x3， P x|函数 f(x)是增函数，因此函数 f(x)的零点在区间 (0,1)内，即 00，函数 g(x)的零点在区间 (1,2)内，即 1f(1)g(x)在 (0,1)内是增函数，因此有 g(m)1时， f(x)0，当 1x1 时， f(x)0，所以当 x 1 时， f(x)在 ( 1， )上取得最小值 f(1) 0，又 f( 3) a 使 f(x)的值域是 0,2， m 只需满足 12m . 9设双曲线 )0,0(12222 焦点分别为 21,离心率为 e ，过 2F 的直线与双曲线的右支交于 两点，若 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 2e （ ） A. 221 B. 224 C. 225 D. 223 答案 ： C 解析 ： 设1A F A B m，则1 2BF m， 22222A F m a B F m a ，因为22A B A F B F m ，所以 2 2 2 4 2m a m a m a m ，所以22(1 )2A F m ，因为12直角三角形，所以 2 2 21 2 1 2F F A F A F，所以 2 25( 2 )24 ，因为42，所以 24c 28)225( a,所以 2e 225 ，故选 C 10 已知函数 l n , 111 , 14 ， g x 则方程 数 a 的取值范围是（注： e 为自然对数的 底数）（ ） A 10,eB 11,4 eC 10,4 D 1,4 e答案 ： B 解析 ： 作出函数 1 1 , 14l n , 1 的图象如图： 当 g x 对应的直线和直线1 14平行时，满足两个函数图象有两个不同的交点，直线 y 和函数 1x时，函数 1()，设切点为 ( , )则切线斜率 1()k f ，则对应的切线方程为1l n ( )y m x ，即 1 y x ，又因为直线切线方程为 y ，所以1 0 ，解得 1e ，即此时 1此时直线 y 与 满足条件，若方程 fx=满足 114 a e；故选 B 二、填空题：本大题有 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在答卷的相应位置 . 11. 函数 ( ) s i n ( ) ( 0 2 )6f x x ，若 2( ) 13f ，则 () 答案 ： 4 解析 ： 2()3f = 2 )36 =1，所以 2 23 6 2k （ ），即 612k （ ），因为 02，所以 12，所以最小正周期为 4T 12. 已知 (1 x)10 x) x)2 x)10，则 答案 ： 180 解析 ： 因为 (1 x)10 x) x)2 x)10，所以 2 (1 x)10 x) x)2 x)10，所以 1)8 180. a 名，男生 b 名，若 a、 b 满足不等式组 2a b5a b2a7，设这所高校今年计划招生最多 x 名，则 x 答案 ： 13 解析 ：如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直 线 l：b a 0，平移直线 l，再由 a， b N，可知当 a 6， b 7 时， x a b 13. 15. 某校 三位数学教师参加说题、说课、上课项目的比赛若每人 都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率 是 答案 ： 23 解析 ： 三位数学教师每人选择三项中的两项有 333 27 种选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有 332 18(种 )选法则所求概率为 P 1827 23. 15 已知数列 通项公式为 2n， (n N*)，若数列 足： 121b 2221b 3321b 21令 n N*)，则 . 答案 ： 18489 解析 ： 由 121b 2221b 3321b 21 (n1)，所以 1 121b 2221b 3321b 21 1121 ，则 1121 1 2， 1 2( 12n 1)，故 2(2n 1)(n N) n(2n 1) n2n n，所以 (12 22 332 n2n ) (1 2 n)，令 12 22 332 n2n ，则 212 232 342 n 12n ，所以 2 22 23 2n n2 n 1 2(1 2 )12n n 12n ，所以 1(n 1)2 2n，所以数列 前 n 项和 1(n 1)2 2n n n2 18489. 三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16（本小题满分 12 分） 已知 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 b 0. ( )求角 A 的大小； ( )若 a 3，求 面积的最大值 解 ( )由已知及正弦定理得， 2 分 因为 B (A C)， 所以 C) 4 分 又 C (0， )，由 得 又 A (0， )，所以 A 4.6 分 ( )由 ( )知， 面积 S 1224 由余弦定理可得 9 29 分 又 且仅当 b c 时等号成立， 所以 92 2， S 24 92 2 24 . 所以 面积的最大值为 24 .12 分 17（本小题满分 12 分） 某 家用电器 厂对 A、 B 两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取 10 次，记录如下表（ 数值越大表示产品质量越好）： A ）画出 A、 B 两种产品数据的茎叶图；若要从 A、 B 中选一种型号产品投入生产， 从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由； （ ）若将频率视为概率，对产品 A 今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于 次数为 ，求 的分布列及期望 E 解：（ ） A、 B 两种产品数据的茎叶图如图 2 分 因为 1 7 . 8 7 . 9 8 . 3 8 . 3 8 . 4 8 . 5 8 . 5 8 . 9 9 . 0 9 . 4 8 . 510 1 7 . 5 8 . 0 8 . 1 8 . 2 8 . 5 8 . 5 8 . 5 9 . 0 9 . 2 9 . 5 8 . 510 3 分 10 1 222222222 2 2 2 2 2 2 21 ( 1 ) ( 0 . 5 ) ( 0 . 4 ) ( 0 . 3 ) 0 0 0 0 . 5 0 . 7 1 0 . 3 2 410 4 分 因为 22所以从统计学角度考虑，生产 A 型号产品合适 . 6 分 （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3. 7 分 产品 A 不低于 频率为 5110 2，若将频率视为概率，则 )21,3(B. 8 分 所以 3333 )21()211()21()( ， k=0， 1， 2， 3. 9 分 所以 的分布列为： 0 1 2 3 10 分 所以 1 3 3 1 30 1 2 38 8 8 8 2E . 12 分 18（本小题满分 12 分） 已知数列 a，点1( , )在直线 1y 上，当 2n 时，均有111 ( )求 ( )设 2 3,( 1) ! ab n求数列 n 项和 ( ) 点1( , )在直线 1y 上， 当 1n 或 2n 时 ,有3221211a ，所以32 21k , 当 2n 时 ,有32 211，所以 k =1， 211a =2. 又因为111 ，则 111，所以1n ， 4 分 因为 2 11 2 1a aa a a = !n ，即 !n .6 分 ( ) 2 3 2 n 3 ,( 1 ) ! ab n , 利用乘公比错位相减法求 得 113( n ) 322 .12 分 【解析】本题考查累加求通项以及错位相减法求和 特殊值得到 ，又有111 ，得到 111，用累加法可得到1n ，再用累乘法得到!n ；第二问将第一问的结果代入后可一个差比数列，求和用错位相减法 . 19（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱1 1 1A B C A B C中，底面 边长为 2 的等边三角形， D 为 中点 . （ ）求证：1平面1（ ）若四边形111 5 求直线1面11 O 1C 1B 1C 1A 1B 1C 1A 1C 1A 1 ） 证法 1：连结 交于点 E，连接 则 E 为 点， 因为 D 为 中点，所以 因为 面 面 所以 平面 证法 2：取11结1 因为 行且等于11以四边形 所以11/A D 因为1面1面1, 同理可得11/ 因为1 1 1 1B D C D D，所以平面1平面11平面 】 (因为 2 2 2115A D + A A = A D=，所以1 ,A A 又1 1 1, / /B B B C B B A A，所以1A A 又 C B，所以1 法一： 设 中点为 O，111O，以 O 为原点， 在的直线为 x 轴，1y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 O 则1A ( )0 2 3,， D 1322骣 桫 ,0. 所以113222 , , ) , 平面110, 0,1),r =n 1111510A D n u u u u u r u u u ur ru u u u u r u | c o s , | .| | | |所以直线 平面 成角的 正 弦值为 方法二：取11 ，连结11 1 1A H B C 因为11 1 111 H,所以11 H因为1 1 1 1B C B B B,所以111 C 1A 1 F ，连结 则1直线1 因为 D 为 中点，故1 25又1 3 所以13 1 5s i H 即直线1 方法三：取11 ，连结11 1 1A H B C 因为11 1 111 H,所以11 H因为1 1 1 1B C B B B,所以1面11 取11，连结 点 M 作1/ H，则 平面11 连结 为1 /A D 所以 为直线1 因为 1113 1 52s i N B M A D , 即直线1 20（本小题满分 13 分） 已 知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，且短轴的长为 2，离心率等于 255. （ ） 求椭圆 C 的方程； （ ） 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点，交 y 轴于 M 点，若12,M A A F M B B F证：12为定值 . 解：（ I）设椭圆 C 的方程为 )0(12222 则由题意知 2 2,b= 所以 2 分 22225521 2 515a ，解得 2 5a ， 4 分 所以椭圆 C 的方程为 2 5 分 （ 法 1：设 A、 B、 M 点的坐标分别为1 1 2 2 0( , ) , ( , ) , ( 0 , )A x y B x y M y， 易知 F 点的坐标为（ 2， 0） . 6 分 显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程是 ( 2)y k x， 7 分 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中， 消去 y 并整理得 2 2 2 2( 1 5 ) 2 0 2 0 5 0k x k x k 20,51 20 22212221 又 , 22211121 将各点坐标代入得 22221 2 1 2 1 212 221 2 1 2 1 2224 0 4 0 1 02 ( ) 2 1 5 1 5 2 0 52 2 4 2 ( ) 41 5 1 5x x x x x x x x x 13 分 证法二：设点 A、 B、 M 的坐标分别为 ).,0(),(),(02211 易知 F 点的坐标为（ 2， 0） . ).,2(),(, 1110111 2101111 将 A 点坐标代入到椭圆方程中，得 ()12(51 210211 0121 y 同理，由 可得 05510 20222 y 即是方程 05510 20222 y的两个根， 21（本小题满分 14 分） 已知函数 ,21)( 2 （ ）设函数 ),()()( 求 )(单调区间； （ ）若存在常数 ,得 )( 对 恒成立，且 )( 对 ),0( x 恒成立，则称直线 为函数 )( )( “分界线 ”，试问： )( )(否存在 “分界线 ”？若存在，求出 “分界线 ”的方程，若不存在，请说明理由 . 解：（ ）由于函数 12x， ， 因此 12， 则 ( ) eF x 2 ( ) ( ) , ( 0 , )x e x e ， 3 分 当 x0 e 时， ()0，所以 （ 0， e ）上是减函数； 当 x e 时， ()0，所以 （ e ， ）上是增函数； 因此，函数 单 调 减 区 间 是 （ 0 ， e ） ， 单 调 增 区 间 是 （ e ，） 6 分 （ ）由（ ）可知，当 x e 时， 得最小值 F （ e ） 0， 则 图象在 x e 处有公共点（ e ，2e） 假设 在 “分界线 ”，则其必过点（ e ，2e） 7 分 故设其方程为： ()2e