天津市五区县2016届高三第二次模拟考试数学试题(文)含答案

天津市五区县 2016 年高三质量调查试卷（二） 数学试卷（理科） 第卷 一、选择题（本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、 i 是虚数单位，复数 321 = A 332iB 132iC 12iD 32i2、交通管理部门为了解机动车驾驶员对某新规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人，若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员人数分别为 12, 21, 25, 43 ，则这四个社区驾驶员的总人数 A 101 B 808 C 1212 D 2012 3、已知命题 : , s i n 2 1p x R x ，则 A00: , s i n 2 1p x R x B : , s i n 2 1p x R x C00: , s i n 2 1p x R x D : , s i n 2 1p x R x 4、已知 0 . 30 . 3 2l o g 2 , l o g 0 . 3 , 0 . 2a b c ，则 ,A c b a B c a b C D 5、已知双曲线 C 的左右焦点为12,乙11212 为圆心，2 A 2 B 2 C 4 D 3 6、如图，圆 O 的直径 度为 10， 点 D ， 若 8，则 A 152B 403C 185D 2457、已知函数 33s i n 2 c o s 22 2 1 2f x x x 的图象关于点 ( , )中心对称图形，若 ( , 0)2a 则 A B2C12D 0 8、已知函数 31,03221,112x ，若核黄素 3 ( 0 )2ag x a x a ，若对1 0,1x， 总2 10, 2x，使得12( ) ( )f x g x成立，则实数 a 的取值范围是 A ( ,6 B 6, ) C ( , 4 D 4, ) 第卷 二、填空题：本大题共 /6 小题，每小题 5分，共 30分，把答案填在答题卷的横线上 . 9、从区间 0,1 上随机取一个实数 a ，则关于 x 的一元二次 方程 2 0x x a 无实根的概率为 10、 10、一个几何体的三视图（单位： m）如图所示， 则此几何体的表面积为 2m 11、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，如果输入 的 N 的值是 10，则输出的 12、已知函数 上的偶函数，且 0, ) 上单调递减，若 (1 )f m f m，则实数 m 的取值范围是 13、 O 是 的外接圆的圆心，若 3 , 2A C A O B C 则 14、已知函数 12 , 12 , 1 ，若函数 ( ) 1y f x 恰有 两个零点，则实数 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分 13分） 已知甲、乙、丙三种食物的维生素及成本入戏表实数： 某学校食堂欲将这三种食物混合加工成 100 合食物，且要 求混合食物中至少需要含 35000单位的维生素 0000单位的维生素 D. （ 1）设所用食物甲、乙、丙的质量分别为 , , 1 0 0 ( 0 , 0 )x k g y k g x y k g x y ，试列出 ,画出相应的平面区域； （ 2）用 ,00合食物的成本 z ，求出 z 的最小值 . 16、（本小题满分 13分） 已知 的三个内角 ,对的边分别为 , ( ) s i n s i n s i n 0a c A c C b B . （ 1）求 （ 2）求 的最大值及此时 , 17、（本小题满分 13分） 如图 ，在四棱锥 P 中， C ，平面 直角梯形， 9 0 , / / , 1 , 2 , 1 2 0P A C P D A C P A A B P D A C B A C 1）求证： B ； （ 2）求直线 平面 成角的正弦值； （ 3）求二面角 D 的平面角的正切值 . 18、（本小题满分 13分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆 经过两个焦点， ,的长轴端点 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设 P、 和圆 O 上位于 y 轴两侧的动点， 若直线 x 平行，直线 y 轴的交点即为 M、 N， 试证明 为直角 . 19、（本小题满分 14分） 已知函数 2 l n ( )f x a x x a R （ 1）当 1a 时，求曲线 y f x 在点 (1, (1)f 的切线方程； （ 2）若 (0,1x ， 1恒成立，求 a 的取值范围； 20、（本小题满分 14分） 已知数列 110 , 0a a b b ；昂 2k 时，若110， 则 111 , 2k k a b ，若110，则 111 , 2k k b a . （ 1）若 1, 1 ，求2 2 3 3, , ,a b a （ 2）设1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n n nS b a b a b a n N L，试用 , （ 3）若存在 ，对任意正整数 k ，当 2 时，恒有1，求 n 的最大值 （用 ,. 天津市五区县 2016年高三质量调查试卷（二） 数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题 : （ 1） （ 4） （ 5） （ 8） 、填空题 : （ 9） 34（ 10） 12 +12 （ 11）2 3 1（ 12） 1( , )2（ 13） 5 （ 14） 0a 或 1a 三、解答题 : （ 15）（本小题满分 13 分） 解： （ I） 因为 0, 0， 则 3 0 0 5 0 0 3 0 0 ( 1 0 0 ) 3 5 0 0 0 ,7 0 0 1 0 0 3 0 0 ( 1 0 0 ) 4 0 0 0 0 ,x y x yx y x y 化简为 25,2 50,结合 1 0 0 0 ，可列出 ,5,2 50,100, 在 面中，画出相应的 平面区域如图所示； 7 分 （ 100 3 ( 1 0 0 ) 2 3 0 0z x y x y x y ，平面区域是一个三角形区域，顶点为 ( 3 7 . 5 , 2 5 ) , ( 5 0 , 5 0 ) , ( 7 5 , 2 5 )A B C，目标函数 2 3 0 0z x y 在经过点 (25)A 时， z 取得最小值 400元 . 13 分 （ 16）（本小题满分 13 分） 解：（ I）由已知，根据正弦定理得 0) 22 即 222 3 分 由余弦定理得 c o ， 故 21， B=36 分 （ （ I）得： CA )32s s A )6s 3co 10 分 故当 A3， C3时， CA 取得最大值 3 . 13 分 （ 17） （本小题满分 13 分） （） 证明：因为 C ， 90o ,即 C ，因为 ,C 交于点 C ，所以 面 2 分 而 底面 所以 B . 3 分 （）由（）可知，平面 平面 过点 B 作 A 交 长线于点 M ,连结 则 即是直线 平面 成角； 5 分 取 中点 E ，连接 E， ，则 在 中，1 , 1 2 0A B A E B A E o， 易得 3， 1122A M A B, 所以 326 分 因为 所以 平面 求得 27 分 在直角三 角形 中， 3s i M ； 即直线 平面 成角的正弦值为 348 分 （）过 点 E 作 C ，垂足为 F ，连接 则 为二面角 D 的平面角，在 中， 10 分 1 , 1 5 0B E E C B E C o，易知 7， 11s i E E C B E C B C E F ，2114， 11 分 2 2 1t a n 3 E ， 即二面角 D 的平面角的正切值为 2 213. 13 分 （ 18）（本小题满分 13 分） 解：（ I）由椭圆定义可得 24a ，又 且 2 2 2b c a，解得 2 , 2a b c ，即椭圆 2142，则圆 O 的方程为 222. （ 是定值 90o ，证明如下：设00( , )P x y，直线 ( 2)y k x（ 0k ），令 0x可得 (0,2 ) 将 22142和 ( 2)y k x（ 0k ）联立可得 2 2 2 2( 2 1 ) 8 8 4 0k x k x k ，则20 2842 21kx k ， 20 22421kx k ，0 2421ky k ，故 2222 4 4( , )2 1 2 1， 直线 斜率为00122 ，直线 1 ( 2 )2 ，令 0x 可得 1(0, )N k . 设0( , )QQ x y，则00 1( , 2 ) , ( , ) x k y Q N x u u u ur u u 220 2，0 2421ky k ，可得 222002120 Q N x y u u u ur u u 所以 N 是定值90o . （ 19）（本小题满分 14 分） 解：（） 1a 时， 2( ) f x x x ， 1( ) 2 f x . 因为 (1) 1, (1) 1，所以切点为 (1,1) ，切线方程为 . 6 分 （）由已知得 1( ) 2f x . 若 ( ) 0 在 0,1 上恒成立，则212a x 恒成立，所 以 m ) 1a x， 12a . 即 12a时， () 0,1 单调递减， m i n( ) (1 )f x f a，与 ( ) 1恒成立矛盾 . 10 分 当 12a时，令 1( ) 2 0f x a ，得 1 0 , 12x a. 所以当 10,2x a 时， ( ) 0 ， () 1 ,12x a 时， ( ) 0 ， () 所以 2m i 1 1 1( ) ( ) l n l n 22 2 2 2 2f x f a aa a a .13 分 由 ( ) 1得， 11 122 a，所以 综上，所求 a 的取值范围是 e ,2. 14 分 （ 20） （本小题满分 14分） （）当 1, 1 时，2 2 3 311 , 0 , , 02a b a b ； 4 分 （）因为 1 1 1 1122k k k b b ， 1 1 1 11 22k k k kk a b b ，所以不论110还是110，都有 112，数列 是以11b a b a 为首项、公比为 12的等比数列 . 6 分 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) 2