高二数学网络课程-----基本不等式

基本不等式基本不等式 一 知识点梳理 1 基本不等式 基本不等式 a b 2ab 基本不等式成立的条件 等号成立的条件 当且仅当 时取等号 其中称为正数 a b 的算术平均数 称为正数 a b 的 a b 2ab 基本不等式可叙述为 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数基本不等式可叙述为 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 2 基本不等式的变形基本不等式的变形 a2 b2 2ab a b R 当且仅当 a b 时取等号 当且仅当 a b 时取等号 2 22 22 abab ab a bR a 2 a 0 当且仅当 a 1 时取等号 1 a a a 0 当且仅当 a 1 时取等号 1 a 2 a b 同号 当且仅当 a b 时取等号 b a a b 3 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 已知 x 0 y 0 则 如果积 xy 积为定值 是定值 p 那么当且仅当 时 x y 有最 值是 2 简记 p 积定和最小 如果和 x y 和为定值 是定值 s 那么当且仅当 时 积 xy 有最 值是 简记 s2 4 和定积最大 2 典例研习 例 1 1 已知 0 x 求函数 y x 1 3x 的最大值 3 1 2 求函数 y x 的值域 x 1 例 2 已知 x 0 y 0 且 1 求 x y 的最小值 x 1 y 9 变式训练变式训练 1 1 已知正数 a b x y 满足 a b 10 1 x y 的最小值为 18 求 a b 的值 y b x a 例 3 求 f x 3 lgx 的最大值 0 x 1 xlg 4 变式训练变式训练 1 当 x 时 求函数 y x 的最大值 2 3 32 8 x 三 巩固练习 1 下列函数中 最小值是 2 的是 A B 1 yx x 2 2 2 1 x y x C D 2 2 1 4 4 yx x 3 loglog 3 0 1 x yxxx 2 已知 且 则的最小值为 0 0 xy 13 1 xy 2xy A B C D 72 6 2 372 3 14 3 设实数满足 则当取得最小值时 0 0 0 xyz 22 340 xxyyz z xy 的最小值为 zyx 212 A B C D 01 4 9 3 4 若正数满足 则取最小值时的值为 x y35xyxy 43xy y A 1 B 3 C 4 D 5 5 如果函数在区间上单调递减 2 1 28100 2 f xmxnxmn 1 2 2 则mn的最大值为 A 16 B 18 C 25 D 81 2 6 已知 则的最小值是 0 0 2xyxyxy xy A B 1 C D 2 3 4 3 3 2 7 已知且 若不等式恒成立 则的最大值等于 0 0ab 21ab 21 m ab m A 10 B 9 C 8 D 7 8 已知两正数x y满足x y 1 则z x y 的最小值为 1 x 1 y 9 设 过定点 A 的动直线和过定点 B 的动直线交于mR 0 xmy 30mxym 点 则的最大值是 P x y PAPB 10 设 x y 为实数 若 4x2 y2 xy 1 则 2x y 的最大值是 11 设 x1 x2 R 函数 f x 满足 ex 若 f x1 f x2 1 则 f x1 x2 最小 xf xf 1 1 值是 12 设关于 x 的不等式 x 2 a a R 的解集为 A 且 AA 2 1 2 3 1 对