龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷（28）

龙泉中学龙泉中学 2016 届高三周练理科数学试卷 届高三周练理科数学试卷 28 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 已知复数 其中 i 为虚数单位 则复数在坐标平面内对应的点在 1i 2i z z A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 集合则满足条件的集合有 1 2 0 A 1 2 AxxxB B A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 一首小诗 数灯 诗曰 远望灯塔高 7 层 红光点点倍加增 顶层数来有 4 盏 塔上共有多少灯 答曰 A 252 盏 B 256 盏 C 508 盏 D 512 盏 4 已知 则双曲线的0 4 2222 12 22222 1 1 cossinsinsintan xyyx CC 与 A 离心率相等 B 焦距相等 C 实轴长相等 D 虚轴长相等 5 在四边形 ABCD 中 使得 是 四边形为平行四边形 的R ABDC ADBC ABCD A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6 已知点是圆内任意一点 点是圆上任意一点 则 0 0 M a b ab 22 1C xy P x y 的值1axby A 一定等于 0 B 一定是负数 C 一定是正数 D 可能为正数也可能为负数 7 一个棱锥的三视图如右图 则该棱锥的全面积是 A 64 B 224 C 624 D 24 8 斜率为 1 的直线 经过抛物线的焦点 F 且与l 2 4yx 抛物线相交于 A B 两点 则线段 AB 的长为 A B C D 84 26 28 2 9 已知 且 则 0 x 1 cos 43 x tan x A B 94 294 2 77 或 188 2188 2 77 或 C D 94 2 7 94 2 7 10 已知数列的前 n 项和 则 n a2 2 1 1 n nn aS nnnn n n aacab 1 2 2 Nn A 是等差数列 是等比数列 B 是等比数列 是等差数列 n b n c n b n c C 是等差数列 是等差数列 D 是等比数列 是等比数列 n b n c n b n c 11 方程 有解 表示不大于的最大整数 则参数的取值集合是 xxa xxa A B 01aa 10aa C D 11aa a aR aZ 12 如果存在正实数 使得为奇函数 为偶函数 我们称函数为 和谐 a f xa f xa f x 函数 给出下列四个函数 2 1 5f xx cos2 4 f xx 其中 和谐函数 的个数为 sincosf xxx ln 1 f xx A 1 B 2 C 3 D 4 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡的相应位置上 13 已知 则二项式的展开式中的常数项为 a 2 0 cosxdx 6 1 a x x 14 已知为偶函数 且当时 则满足的的取值范围 f x0 x 1 f xxx 2f x x 是 15 在半径为 R 的球内截取一个体积最大的圆柱 则其体积之比的比值为 VV 圆柱球 16 若数列满足 且 n a 2 11 1 2 nnn aaaa nN 1 1 n n b a 12nn Pb bb 则 12nn Sbbb 2 nn PS 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 并把解答写在答题 卡的相应位置上 17 本题满分 12 分 已知函数的最大值为 1 sin sin cos 66 f xxxxa 求常数的值 a 若 A 为的内角 的面积为 AB ABC 0 2 A 31f A ABC 32 3 求 BC 的长 第 7 题图 2 2 1 正视图 侧视图 2 1 俯视图 2 18 本题满分 12 分 某班同学利用国庆节进行社会实践 对 25 55 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次 生活习惯是否符合低碳观念的调查 若生活习惯符合低碳观念的称为 低碳族 否则称为 非低 碳 族 得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图 补全频率分布直方图 并求 n a p 的值 从 40 50 岁年龄段的 低碳族 中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活动 其中选 取 3 人作为领队 记选取的 3 名领队中年龄在 40 45 岁的人数为 X 求 X 的分布列和期望 EX 19 本题满分 12 分 如图 四边形与均为菱形 设与相交于点 若ABCDBDEFACBDO 且 0 60 DBFDABFCFA 求证 平面 FC EAD 求二面角的余弦值 AFCB 20 本题满分 12 分 已知椭圆的右焦点为 F A 为短轴的一个端点 且 22 22 1 0 xy ab ab 其中为坐标原点 2OAOF O I 求椭圆的方程 II 若 C D 分别是椭圆长轴的左右端点 动点 M 满足 连接 CM 交椭圆于MDCD 点 P 试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q 使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP MQ 的交点 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 21 本题满分 12 分 已知函数 xaxgbxxxfln 23 若在上的最大值为 求实数的值 xf 1 2 1 x 8 3 b 若对任意 都有恒成立 求实数的取值范围 ex 1 xaxxg 2 2 a 在 的条件下 设 对任意给定的正实数 曲线 上是否存 1 1 xxg xxf xFa xFy 在两点 使得是以 为坐标原点 为直角顶点的直角三角形 且此三角形斜边QP POQ OO 中点在轴上 请说明理由 y 请考生在 请考生在 22 23 24 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按 所做的第一题计分 做答时 请用所做的第一题计分 做答时 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑 22 本题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E ABC 证明 ABE ADC 若 BC 为外接圆的直径且 AD AE 2 求的面积 ABC ABC 23 本题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 已知直线 的参数方程为 圆 C 的参数方程为l 2 t 4 xat yt 为参数 4cos 4sin x y 为参数 I 求直线 和圆 C 的普通方程 l II 若直线 与圆 C 有公共点 求实数的取值范围 la 24 本题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 15f xxx xR I 求不等式的解集 10f xx II 如果关 于的不等式在 R 上恒成立 求实数的取值范围 x 2 2 f xax a A BC D E E AB C D F O 龙泉中学龙泉中学 2016 届高三周练理科数学试卷 届高三周练理科数学试卷 28 参考答案 参考答案 一 选择题 一 选择题 1 D 2 D 3 C 4 A 5 C 6 B 7 C 8 D 9 C 10 A 11 B 12 A 二 填空题二 填空题 13 14 15 16 15 1 1 3 3 2 三三 解答题解答题 17 解 3 分 2sin 6 f xxa 由最大值为 1 得 5 分1a 由 2sin 1 6 f xx 2sin 131 6 f AA 得 8 分0 2 A 6 A 10 分 1 sin3 2 SAC ABA 2AC 222 2cos4BCACABAC ABA 即 BC 的长为 2 12 分2BC 18 解 第二组的频率为 1 0 04 0 04 0 03 0 02 0 01 5 0 3 高为 0 06 频率直方图如下 0 3 5 2 分 第一组的人数为 200 频率为 0 04 5 0 2 n 1000 3 分 120 0 6 200 0 2 由题可知 第二组的频率为 0 06 5 0 3 第二组的人数为 1000 0 3 300 p 0 65 4 分 195 300 第四组的频率为 0 03 5 0 15 第四组的人数为 1000 0 15 150 a 150 0 4 60 5 分 II 40 45 岁年龄段的 低碳族 与 45 50 岁年龄段的 低碳族 的比值为 60 30 2 1 采用分层抽样法抽取 18 人 40 45 岁中有 12 人 45 50 岁中有 6 人 6 分 随机变量 X 服从超几何分布 P X 0 P X 1 C 0 12C3 6 C 3 18 5 204 C 1 12C2 6 C 3 18 15 68 P X 2 P X 3 随机变量 X 的分布列为 C 2 12C1 6 C 3 18 33 68 C 3 12C0 6 C 3 18 55 204 X0123 P 5 204 15 68 33 68 55 204 10 分 EX 0 1 2 3 2 12 分 5 204 15 68 33 68 55 204 19 解 I 证明 因为四边形与均为菱形 所以 ABCDBDEFBCAD BFDE 因为 FBCAD平面 FBCD平面 E 所以 2 分FBCAD平面 FBCDE平面 又 ADDED EADAD平面 EADDE平面 所以又 EAD平面 平面FBCFBCFC平面 所以 4 分EADFC平面 II 连接 因为四边形为菱形 且 所以为等边三角形 FOFDBDEF 0 60 DBFDBF 因为为中点 所以 又因为为中点 且 所以OBDBDFO OACFCFA FOAC 又 所以 6 分ACBDO ABCDFO平面 由两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系OFOBOA xyzO 设 因为四边形为菱形 2 ABABCD 0 60 DAB 则 所以2 BD1 OB3 OFOA 3 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 3 0 0 0 FCBAO 所以设平面的一个法向量为 0 1 3 3 0 3 CBCFBFC 则有 所以 zyxn 0 0 CBn CFn 03 033 yx zx 令 则 9 分1 x 1 3 1 n 因为 所以平面的一个法向量为 AFC平面 BDAFC 0 1 0 OB 因为二面角为锐二面角 设二面角的平面角为 BFC A 则 5 15 5 3 coscos OBn OBn OBn 所以二面角的余弦值为 12 分BFC A 5 15 20 解 I 由已知 故所求椭圆方程为 4 分 2 2 4 bca 22 1 42 xy II 由 I 知 由题意可设 2 0 2 0 CD 11 2 CMyk xP x y M 2 4k 由 整理得 6 分 22 1 42 2 xy yk x 2222 12 8840kxk xk z E AB CD F O x y 方程显然有两个解 由韦达定理知两根之积为 得 2 2 84 12 k k 2 1 2 24 12 k x k 1 2 4 12 k y k 所以设 8 分 2 22 244 1212 kk P kk 00 0 0 Q xx 若存在满足题设的 Q 点 则 MQDP 由 及0MQ DP 2 0 22 84 2 4 1212 kk MQxkDP kk 整理 可得恒成立 所以 12 分 2 0 2 8 0 12 k x k 0 0 x 故存在定点 Q 0 0 满足题设要求 21 解 由 得 bxxxf 23 23 23 2 xxxxxf 令 得或 当变化时 及的变化如下表 0 x f0 x 3 2 x x f xf x 2 1 0 2 1 0 3 2 0 3 2 1 3 2 x f 0 0 xf 2 1 f 极小值 极大值 由 bf 8 3 2 1 bf 27 4 3 2 3 2 2 1 ff 即最大值为 3 分 8 3 8 3 2 1 bf0 b 由 得 xaxxg 2 2 xxaxx2 ln 2 且等号不能同时取 即 xxex 1ln 1 xx ln0ln xx 恒成立 即 5 分 xx xx a ln 2 2 min 2 ln 2 xx xx a 令 求导得 1 ln 2 2 ex xx xx xt 2 ln ln22 1 xx xxx xt 当时 从而 1 ex 0ln22 1ln0 01 xxxx0 x t 在上为增函数 7 分 xt 1 e1 1 min txt1 a 由条件 ln 23 xa xx xF 1 1 x x 假设曲线上存在两点 满足题意 则 只能在轴两侧 xFy PQPQy 不妨设 则 且 0 ttFtP 23 tttQ 1 t 是以为直角顶点的直角三角形 POQ O0 OQOP 0 232 tttFt 是否存在 等价于方程在且时是否有解 9 分PQ 0 t1 t 若时 方程为 化简得 此方程无解 10 t 23232 0ttttt 42 10tt 若时 方程为 即 1 t 232 ln0tattt 1 1 lntt a 设 则 1 ln1h ttt t 1 ln1h tt t 显然 当时 即在上为增函数 1t 0h t h t 1 的值域为 即 当时 方程总有解 h t 1 h 0 0a 对任意给定的正实数 曲线 上总存在两点 使得是以 为坐标原点 a xFy PQPOQ OO 为直角顶点的直角三角形 且此三角形斜边中点在轴上 12 分y 22 证明 有已知条件可得 2 分BAECAD 因为是同弧上的圆周角AEBACD 与 所以AEBACD 所以 5 分ABEADC 由 知 所以有ABEADC ABAD AEAC 即 8 分2AB ACAD AE 又 BC 为直径 所以