算子.doc-Microsoft-Word-97---2003-Document

第三节第三节 算子和算子和 算子算子 3 1 3 1 算子算子 为方便计 我们引入倒三角形算子 它也称为哈密顿 Hamilton 算子 读作那布拉 只是一 个运算符号 即是一个微分子运算符号 又是一个矢量运算符号 当数量函数或矢量函数从右方 乘 数乘 点乘 叉乘 时 就 有完全确定的意义 即规定 这样 梯度 散度 旋度就可以分别简记为 算子有好多条运算规则 利用这些规则来推导有关梯度 散度 旋度的恒等式是比较方便的 关于这方面的基本内容可参看本章第四 节 将 作用到数量函数和矢量函数 其运算仅包含一阶微分运算 因而 是一阶微分算子 下面我们对数量函数和矢量函数两次使用算 子 对函数两次使用算子 只有以下五处情况 1o 2o 3o 4o 5o 其中 2o和 4o可以验证 0 0 特别重要的是 1o 我们有 第四节第四节 算子的运算算子的运算 在讨论梯度 散度 旋度时 我们引进了算子 而 在前面一些章节和习题中我们证明了不少有关梯度 散度 旋度 的恒等式 例如 1 div 2 rot 等 这些等式我们都是利用梯度 散度 旋度的表达方式进行计算而 得到的 计算常较复杂 所得的结果也难于记忆 现在我们归结出几 条 算子的运算法则 以供参考 注意到 是一个符号矢量 又是一个微分算子 这就决定了 在运算中的二重性 既要当做一个矢量来进行矢量运算 又要进行微分运算 1 1 加法规则 加法规则 其中 是常量 2 2 乘法规则 乘法规则 这里记号 表示 中的微分运算只作用在 上 同样规定 记号 的意义 例如 3 3 的作用方式的作用方式 一定要作用在一人数量函数或矢量函数时才有实际意义 其作 用方式有三种 读作 乘 读作 点乘 读作 叉乘 注意到 的后面必需是数量函数 而 后面必需 矢量函数才有意义 不然 如 或 是没有意义的 实际上 加法规则中的三个等式 我们在习题中利用梯度 旋度 散 度的表达式已证明过 对于乘法规则中的几个等式 在这里只证明其 中的一个 其他的读者可自行证明之 现在来证明现在来证明 证明证明 可以看到 加法规则和乘法规则与导数的运算法则相似 在 的运算中时常要用到下列公式 3 1 3 2 3 3 这里举一个例子说明这些公式的用法 例例 1 1 写出 的表达式 可利用公式 7 1 注意到这公式右方第一项还可写成 但将这公式用到 上情况就不一样了 将所有可能采取的各种 次序写在下面 由于在 中 要受到前面两个 的作用 因此只能写成 对公式右边第二项情况也是类似的 于是有 即 另外为了方便起见 我们定义算子 并规定 由定义知 和 的意义是完全不相同的 例例 2 2 上述式子中 例如 因 只作用在 上 看成常矢量 而可提到 的前面来 又如 因 只作用在 上就不必写成 了 记成 即可 例例3 3 求 并验证 解解 将公式 7 1 用到 上 在这里 只作用在 上 对 不起作用 因而得到的等式右方一项为 而第二项为 即有 同理同理 而 由 及 两式即有 例例 4 4 验证 其中a a是常矢量 证明证明 由斯托克斯公式 在其中取 即有 而 故有 例例 5 5 验证验证 3 4 3 5 证明证明 由高斯公式 在其中取 即有 同理有 3 4 减去 3 6 即得 3 5 式 3 4 3 5 两式分别称为第一 第二格林公式 在数学物理方程中要用到 现现在将常用的一些公式写在下面以在将常用的一些公式写在下面以备查备查用 有些没有用 有些没有证证明明过过的留待的留待读读者者 在在习题习题中加以中加