线性代数复习资料

1 第十章 线性代数简介 本章知识结构导图 数学家的故事 阿瑟 凯利简介 阿瑟 凯利 Arthur Cayley 1821 1885 是英国数学家 生于伦敦里士满 Richmond 卒于剑桥 17 岁时考入剑桥大学的三一学院 毕业后留校讲授数学 几 年内发表论文数十篇 1846 年转攻法律学 三年后成为律师 工作卓有成效 任职期 间 他仍业余研究数学 并结识数学家西尔维斯特 Sylvester 1863 年应邀返回剑桥 大学任数学教授 他得到牛津大学 都伯林大学和莱顿大学的名誉学位 1859 年当选 为伦敦皇家学会会员 凯利和西尔维斯特同是不变量理论的奠基人 在布尔 1841 年的工作的影响下 他 首创代数不变式的符号表示法 给代数形式以几何解释 然后再用代数观点去研究几何学 他第一次引 入 n 维空间概念 详细讨论了四维空间的性质 为复数理论提供佐证 并为射影几何开辟了道路 他还 首先引入矩阵概念以化简记号 规定了矩阵的符号及名称 讨论矩阵性质 被公认为矩阵论的奠基人 他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时 许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了 这 也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的 他说 我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的 它或是 直接从行列式的概念而来 或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的 他从 1858 年开始 发表 了 矩阵论的研究报告 等一系列关于矩阵的专门论文 研究了矩阵的运算律 矩阵的逆以及转置和特 征多项式方程 凯利还提出了凯利 哈密尔顿定理 并验证了 3 3 矩阵的情况 又说进一步的证明是不 必要的 哈密尔顿证明了 4 4 矩阵的情况 而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯 F G Frohenius 于 1898 年给出的 线线 性性 代代 数数 行列式的定义与性质行列式的定义与性质 矩阵及其运算矩阵及其运算 逆矩阵逆矩阵 矩阵的初等变换及矩阵的秩矩阵的初等变换及矩阵的秩 线性方程组线性方程组 定义 性质 矩阵可逆的充要条件 行初等变换 矩阵方程的求解 矩阵的秩 n 元线性方程组的求解 线性方程组有解判别定理 矩阵转置运算规律 矩阵乘法运算规律 同型矩阵的运算 逆矩阵的求法 2 本章小结 本章主要掌握行列式 矩阵的概念及运算 逆矩阵 矩阵方程 线性方程组的求解 一 行列式的定义与性质一 行列式的定义与性质 1 一阶行列式 二阶行列式 1111 aa 1112 11221221 2122 aa a aa a aa 三阶行列式 其中 111213 222321232122 212223111213111112121313 323331333132 313233 1 11 21 3 111112121313111112121313 1 1 1 aaa aaaaaa aaaaaaa Ma Ma M aaaaaa aaa aMaMaMa Aa Aa A 为余子式 为代数余子式 ij M ij A 2 性质 1 任何行列式与它的转置行列式相等 即 D DT 2 互换行列式的两行 列 行列式变号 3 如果行列式有两行 列 相同 则行列式为 0 4 行列式某一行 列 的各元素乘以同一个数 等于这个数乘以该行列式 5 若行列式有两行 列 的元素对应成比例 则行列式为 0 6 如果某一行 列 元素都是两个数之和 则此行列式就等于两个行列式的和 7 行列式的任一行 列 的所有元素乘以同一个数 再加到另一行 列 对应的元素上去 行列式的值 不变 8 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 9 行列式中的任一行 列 的各元素与另一行 列 对应元素的代数余子式乘积之和等于 0 3 计算方法 1 二阶 三阶行列式可以根据定义直接计算 2 选择 0 元素较多的行 列 按该行 列 展开计算 3 利用行列式的性质 把某行 列 化为只有一个非零元素 按该行 列 展开计算 4 利用行列式的性质 化为三角形行列式再进行计算 二 矩阵及其运算二 矩阵及其运算 1 同型矩阵的线性运算规律 ABBA ABCABC AOA AAO klkl AAA kkk ABAB0 0kl 2 矩阵乘法的运算规律 AB CA BC A B CABAC B C ABACA ABA B AB AEEA A 注意 1 只有当的列数等于的行数时 该乘积才有意义 2 矩阵乘法不满足交换律 ABAB 3 矩阵乘法不满足消去律 3 矩阵转置运算规律 T T AA T TT A BAB T T AA T TT ABB A 3 三 逆矩阵三 逆矩阵 1 定义 若 则 互为逆矩阵 记 AB EAB 1 AB 1 BA 2 性质 1 若可逆 则可逆 且 A 1 A 1 1 AA 2 若可逆 则可逆 且 A0k kA 1 1 1 k k AA 3 若矩阵与都可逆 则可逆 且 ABAB 1 11 ABB A 4 若可逆 则可逆 且 A T A 1 1 T T AA 3 矩阵可逆的充分必要条件 当时 0 A0 A 11211 122221 12 11 n n nnnn AAA AAA AAA AA AA 4 解矩阵方程 1 2 3 1 AX CX A C 1 XB CX CB 11 AXB CX A CB 4 AX B A BE X 行初等则则 则 四 矩阵的初等变换及矩阵的秩四 矩阵的初等变换及矩阵的秩 1 阶梯形矩阵 1 如果有零行的话 零行位于矩阵下方 2 各个非零行的第一个非零元素的列标随 着行标的递增而严格增大 注 一个矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的 但阶梯形矩阵中所含非零行的行数是唯一的 2 行最简形矩阵 每一非零行的第一个非零元素都是 1 并且这些 1 所在列其余元素都是 0 3 矩阵的秩 矩阵的阶梯形矩阵中 其非零行行数称为矩阵的秩 记为秩或 AAA r A 4 求矩阵秩的方法 用行初等变换把任意矩阵化为阶梯形 然后判断非零行的行数 A 5 逆矩阵的求法 1 A EE A 行初等则则 五 线性方程组五 线性方程组 1 方程组有解时称方程组相容 方程组无解时称方程组不相容 2 元线性方程组的求解 n 1 根据方程组写出增广矩阵 2 用行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵 3 判断方程组是否相容 有解 在方程组相容时 把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵 4 根据行最简形矩阵直接写出原方程组的解 3 元线性方程组解的判断 n 1 时 方程组有解 未知量个数时 方程组有唯一解 rr AA rr AA 为未知量个数 时 方程组有无穷多个解 其中自由未知量个数等于 rrn AAn nr A 2 时 方程组无解 rr AA 4 综合练习 一 判断题 1 行列式 33 2 零矩阵一定是方阵 3 若 则或 AB OA OB O 4 若乘积 存在 则 ABBAAB BA 5 T T AA 6 若为阶方阵 且 则的行最简形矩阵为单位矩阵 An rn AA 7 若 则 AX C C X A 二 填空题 1 如果 1 则 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 33323131 23222121 13121111 1 324 324 324 aaaa aaaa aaaa D 2 的充分必要条件是 0 12 21 k k 3 已知 则 013 A 53 04 12 B AB 4 已知 则 BA 013 A 2 1 2 B AB 5 矩阵 A 与 B 能进行乘积运算 AB 的充要条件是 6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是 AXB 7 已知 则 21 42 84 A 11210 22420 30611 03001 B r A r B 三 选择题 1 设为矩阵 为矩阵 则下列运算中 可以进行 A32 B23 A B C D AB T ABA B T BA 2 设为矩阵 为矩阵 若矩阵有意义 则矩阵 为 型 A34 B52 T ACBC A B C D 32 42 3 5 45 5 3 设均为同阶可逆矩阵 则下列等式成立的是 A B A B C D T TT ABA B T TT ABB A 11 1TT ABAB 1 11 T T ABAB 4 若是对称矩阵 则 10 03 231 b a A A B C D 2 3ab 2 1ab 0 2ab 0 0ab 5 矩阵 的秩为 120 112 024 A A B C D 3210 6 设为四阶矩阵 若 则 A 3r A A 可逆 B 的阶梯形矩阵有一个零行 C 一定有一个零行 D 至少有一个零行AAAA 7 若为可逆矩阵 且 则 AA AB E 1 A A B C D EABE BE B 1 E AB 四 计算题 1 计算行列式 1 2 3 4 24 52 122 134 213 1234 2341 3412 4123 191033 281982 372991 454055 2 1 判断矩阵是否可逆 如果可逆 求 41 32 A 1 A 2 判断矩阵 是否可逆 如果可逆 求 114 012 210 A 1 A 3 解矩阵方程 1 其中 AXB 11011 231 20 21235 AB 2 其中 XAB 001 121 200 341 324 AB 4 求下列线性方程组的一般解 1 2 3