《一 二维形式的柯西不等式》同步练习1

二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式 同步练习同步练习 一 选择题 1 若a b R 且a2 b2 10 则a b的取值范围是 A 2 2 B 2 2 551010 C D 101055 解析 a2 b2 12 1 2 a b 2 a b 2 a b 2 2 20555 答案 A 2 已知4x2 5y2 1 则2x y的最大值是 5 A B 1 2 C 3 D 9 解析 2x y 2x 1 y 1 55 2x 2 5y 212 12122 2x y的最大值为 52 答案 A 3 已知x y R 且xy 1 则的最小值为 1 1 x 1 1 y A 4 B 2 C 1 D 1 4 解析 2 4 故选A 1 1 x 1 1 y 1 1 xy 答案 A 4 设a b R 且a b P Q a b 则 a2 b b2 a A P Q B P Q C P0 b 0 a b 0 a b a2 b b2 a a b 2 a b 又 a b 而等号成立的条件是 a bb b aa 即a b a b 即P Q a2 b b2 a 答案 A 二 填空题 5 函数y 2的最大值是 x 56 x 解析 根据柯西不等式 知y 1 2 x 56 x12 22 x 5 2 6 x 25 答案 5 6 设a b c d m n都是正实数 P Q 则P与Q abcdma nc b m d n 的大小 解析 由柯西不等式 得 P Q am b m nc d n am 2 nc 2 b m2 d n2 am nc b m d n 答案 P Q 7 函数y 2cos x 3的最大值为 1 cos 2x 解析 y 2cos x 3 2cos x 3 1 cos 2x2sin2 x cos2 x sin2 x 22 3 2 2 22 当且仅当 即tan x 时 函数有最大值 cos x sin2 x 2 3 2 3 2 222 答案 22 8 函数y 2 的最大值为 1 x2x 1 解析 y 2 1 1 x2x 12 2 2x2x 1 3 2 2 12 2 2x 2 2x 1 233 当且仅当 1 取等号 2 2x22x 1 即2 2x 4x 2 x 0时取等号 答案 3 三 解答题 9 若2x 3y 1 求4x2 9y2的最小值 并求出最小值点 解 由柯西不等式 4x2 9y2 12 12 2x 3y 2 1 4x2 9y2 1 2 当且仅当2x 1 3y 1 即2x 3y时取等号 由Error 得Error 4x2 9y2的最小值为 最小值点为 1 2 1 4 1 6 10 设a b R 若a b 2 求 的最小值 1 a 1 b 解 a b 1 a 1 b 2 2 ab 1 a 2 1 b 2 2 1 1 2 4 a 1 a b 1 b 2 4 即 2 1 a 1 b 1 a 1 b 当且仅当 即a b时取等号 a 1 bb 1 a 当a b 1时 的最小值为2 1 a 1 b 11 已知a2 b2 1 a b