福州市2016届5月高三综合质量数学文科试题含答案(WORD版)

2016 年福州市 普通 高中毕业班 综合 质量检 测 文科数学能力测试 完卷时间： 120 分钟；满分： 150 分） 本试卷分第 卷和第 卷两部分第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 4 页，满分 150 分 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名、考试科目 ”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2. 第 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第 卷用 米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 集合 4A x xN , 2 40B x x ， 则 （ A） 02 （ B） 22 （ C） 0,1 （ D） 2,0,1,2 (2) 复数 z 满足 (1 i) 1 ，则 z （ A） 12（ B） 1 （ C） 2 （ D） 2 (3) 已知条件 :0，条件 1:0则 p 是 q 成立的 （ A） 充分不必要条件 （ B） 必要不充分条件 （ C） 充要条件 （ D） 既非充分也非必要条件 (4) 函数 ( ) s )f x A x （ 0A ）在 3x处取得最小值，则 （ A） ()3偶函数 （ B） ()3奇函数 （ C） ()3偶函数 （ D） ()3奇函数 (5) 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 10 根棉花的纤维长度（单位： ，所得数据如下茎叶图记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为 ,，标准差分别为 , （ A） ,x x s s乙甲 乙甲（ B） ,x x s s乙甲 乙甲（ C） ,x x s s乙甲 乙甲（ D） ,x x s s乙甲 乙甲(6) 函数 12 , 0 ,()1 l n , 0x 的零点个数为 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 0 (7) 在 中， 9 0 , 2C ，点 M 满足 A则 A（ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 (8) 在各项均为正数的等比数列 64则数列 20 项和等于 （ A） 20 （ B） 10 （ C） 5 （ D）22 (9) 执行 右面的 程序 框图 ，若输入的 n 值为 4，则输出的结果为 （ A） 8 （ B） 21 （ C） 34 （ D） 55 (10) 某几何体的三视图如图所示，则 该 几何体的 体 积等于 （ A） 10 （ B） 20 （ C） 30 （ D） 60 (11) 过双 曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的 左 焦点 F 作一条渐近线的垂线 ，与 于点 A ，若 A ， 则 C 的 离心率 为 （ A） 2 （ B） 2 （ C） 5 （ D） 5 (12) 已知 aR ，函数321( ) 23f x x a x a x 的导函数 ()在 ,1 内有最小值 若 函数()() x ，则 （ A） 1, 上 有最大值 （ B） 1, 上有最小值 （ C） 1, 上 为 减函数 （ D） 1, 上为 增函数 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分第（ 13）题 第（ 21）题为必考题，每 道 试题考生都必须做答第（ 22）题 第（ 24）题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置 (13) 在平面直角坐标系 ，点 2( ,3)在 抛物线 2y 的 准线上， 则 实数 m (14) 若 , 0 ,2 0 ,2 2 0 , 则 2的最 大 值等于 (15) 已知两 个 同底的正四棱锥的 所有 顶点都在同一球面上， 它们的 底面边长为2，体积的比值为 12，则该球的 表面 积为 (16) 如图，在 中， ,33B ， D 为 上一点若 D ，则 的周长的取值范围为 三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) （ 本小题满分 12 分） 已知数列 n 项和 为 1,2a 2 0 2 )n n n nS a S a n （ （ ）求证： 数列 1是等差数列； （ ）求1 2 31 1 1+23 S L (18) （ 本小题满分 12 分） 某 媒体为调查喜欢娱乐节目 A 是否与 观众性别 有关，随机抽取了 30 名 男性 和 30 名 女性观众 ，抽查结果用等高条形图表示如下： 男性观众 女性观众 （）根据该 等高条形图 ， 完成 下列 22 列联表 ， 并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过 前提下 认为 喜欢娱乐节目 A 与 观众性别 有关？ 喜欢节目 A 不喜欢节目 A 总计 男性观众 女性观众 总计 60 （） 从 男性观众 中 按喜欢节目 A 与否， 用分层抽样的方法抽取 5 名 做进一步调查 从 这 5 名 中任选 2 名 ，求恰有 1 名 喜欢节目 A 和 1 名 不喜欢节目 A 的概率 2P K k k ： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d (19) （ 本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 P 的底面是梯形，且 / ,D 平面 E 是 点，12C D P D A D A B （ ）求证： B ； （）若 3 , 4B，求三棱锥 A 的高 (20) （ 本小题满分 12 分） 已知 椭圆 22:1（ 0 ） 的 焦距为 23，直线 1y k x（ 0k ）经过 E 的长轴的一个四等分点，且与 E 交于 , （）求 E 的方程； （）记线段 直径的圆为 判断点 2,0A 与 位置关 系，说明理由 (21) （ 本小题满分 12 分） 已知 aR ，函数 ( ) e 1xf x a x 的图象 与 x 轴相切 （ ）求 () （ ） 若 0x 时， 2()f x ，求实数 m 的取值范围 请考生在第（ 22）、 （ 23）、（ 24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 (22) （本小题满分 10 分）选修 4何证明选讲 如图所示， 内接于圆 O， D 是 中点 ， 平分线分别交圆 O 于点 E ,F （ ）求证： 外接圆的切线 ； （ ） 若 3, 2， 求 22A 的值 (23) （本小题满分 10 分） 选修 4标系与参数方程 在 平面 直角坐标系 ，曲线1 2 c o s ,2 （ 为参数）以 O 为极点， 正半轴为极轴建立极坐标系 （ ）写出1 （ ）设曲线 222 :14经伸缩变换 1 ,2后得到曲线3C， 曲线 3（ 0 ） 分别与1 ,B 两点，求 | (24) （本小题满分 10 分） 选修 4等式选讲 已知不等式 | 3 | 2 1 的解集为 | x x m （ ）求 m 的值 ； （ ）设 关于 x 的方程 1| | | |x t x （ 0t ）有实数根， 求实数 t 的值 福 州市 普通 高中毕业班质量检测 文科数学试题答案及评分参考 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 （ 1） C （ 2） B （ 3） C （ 4） A （ 5） A （ 6） B （ 7） D （ 8） B （ 9） C （ 10） B （ 11） C （ 12） D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （ 13） 14（ 14） 32（ 15） 9 （ 16） 2 3, 2 3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 17） 本小题主要考查差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分 （ ）证明： 因为 当 2n 时，1n n S ， 所以 211( ) 0n n n n n S S S S 1 分 所以110n n n S S , 2 分 因为1 1,2a所以2 16a ，所以1 0， 3 分 所以1111 4 分 所以 1是 以11 2S 为首项， 以 1 为公差的等差数列 6 分 （ ）由（ ）可得 12 1 1 ， 所以 11nS n . 8 分 所以 1 1 1 1( 1 ) 1n n n n 10 分 所以1 2 31 1 1 1 1 1 1 1+ + 1 + +2 3 2 2 3 1 S Sn n n 11 分 11 11 12 分 （ 18） 本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等满分 12 分 解：（ ）由题意得 22 列联表如下： 喜欢节目 A 不喜欢节目 A 总计 男性观众 24 6 30 女性观众 15 15 30 总计 39 21 60 3 分 假 设0: 与 观众 性 别无关 ， 则 2K 的观测值 26 0 2 4 1 5 1 5 6 540= 5 . 9 3 4 3 . 8 4 13 9 2 1 3 0 3 0 9 1k ， 5 分 所以 能在犯错误的概率不超过 前提下认为喜欢娱乐节目 A 与 观众 性 别 有关 6 分 （ ）利用分层抽样在 男性观众 30 名 中抽取 5 名 ， 其中 喜欢娱乐节目 A 的人数为 524 430， 不喜欢节目 A 的人数为 56 =130 7 分 被抽取的喜欢娱乐节目 A 的 4 名分别 记为 , , ,不喜欢节目 A 的 1 名 记为 B 则从 5 名 中任选 2 人的所有可能的结果为： , , , , , , , , , , , , ,a b a c a d a B b c b d b B , , , , ,c d c B d B， 共 有 10 种 9 分 其中恰有 1 名 喜欢节目 A 和 1 名 不喜欢节目 A 的 有 , , , , , , ,a B b B c B d B，共 4 种 10 分 所以 所抽取的 观众 中恰有 1 名 喜欢节目 A 和 1 名 不喜欢节目 A 的 观众 的概率是： 42=10 5 12 分 （ 19） 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱 锥的高等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分 （ ）证明：取 中点 F ，连结 ,如图所示 因为点 E 是 点， 所以 /B 且2 1 分 又因为 /D 且2 所以 /D 且 D ， 2 分 所以四边形 平行四边形， 所以 /F ， 3 分 因为 平面 平面 所以 F 4 分 所以 B 5 分 （ ）解：设点 O 为 中点，连结 如图所示， 因为 3 , 4B， 由（ ）知， 3, 6 分 又因为 4，所以 2D， 所以2 2 22 2 2 2 3 2 ,A P A F A D D F 7 分 所以 为正三角形， 8 分 所以 D ，且 3 9 分 因为 平面 /D ， 所以 平面 10 分 因为 平面 所以 O ， 11 分 又因为 D DI ，所以 平面 所以三棱锥 A 的高为 3 12 分 （ 20） 本小题考查 点与圆 、 直线与椭圆 的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力、推理 论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等 2 分 解法一：（）依题意得， 2 2 3 , 2 4， 2 分 所以 2 2 2 1b a c ， 3 分 所 以 E 的方程为 2 2 14x y 4 分 （）点 A 在 理由如下： 5 分 设 1 1 2 2, , ,P x y Q x y， 由22( 1),4 4,y k 得 2 2 2 2( 1 4 ) 8 4 4 0k x k x k ， 6 分 所以， 2 2 2 2 2( 8 ) 4 ( 4 1 ) ( 4 4 ) 4 8 1 6 0k k k k ， 所以 212 2814k， 212 24414k . 8 分 因为 1 1 2 22 , , 2 ,A P x y A Q x y u u ur u u 所以 Q 1 2 1 222x x y y ， 2 2 21 2 1 2( 1 ) ( 2 ) ( ) 4k x x k x x k 2 2 2 2 2224 ( 1 ) ( 1 ) 8 ( 2 ) 41 4 1 4k k k k 10 分 2214k k 因为 0k ，所以 0Q 所以点 A 在 12 分 解法二：（）同解法一 （）点 A 在 理由如下： 5 分 设 1 1 2 2, , ,P x y Q x y， 由22( 1),4 4,y k 得 2 2 2 2( 1 4 ) 8 4 4 0k x k x k ， 6 分 所以， 2 2 2 2 2( 8 ) 4 ( 4 1 ) ( 4 4 ) 4 8 1 6 0k k k k ， 所以 212 2814k， 212 24414k . 8 分 所以 1 2 1 2 222 14 ky y k x x k ， 所以圆心 M 坐标为 2224 ,1 4 1 4， 222212 224 1 1 3211142 1 4 k x x ， 9 分 所以 方程为 2 2222222 24 1 1 341 4 1 4 14 10 分 因为 2 2 2 2 2222222 224 1 1 3 4 142 0 01 4 1 4 1 4 1 4k k k ， 11 分 所以点 A 在 12 分 （ 21） 本小题主要考查 导数的几何意义、 函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分 12 分 解：（ ） e xf x a ，依题 意，设切点为0( ,0)x， 1 分 则00( ) 0,( ) 0, 即 000e ( 1) 0 ,e 0 , 解得0 0,1, 3 分 所以 ， 所以，当 0x 时， 0 ；当 0x 时， 0 所以， ,0) ，单调递增区间为 0, 5 分 （ ）令 2( ) ( )g x f x m x， 则 ( ) e 2 1xg x m x ， 令 ( ) ( )h x g x ，则 ( ) e 2xh x m ， 7 分 （ ）若 12m， 因为当 0x 时， ，所以 ( ) 0 ， 所以 () ()在 0, ) 上单调递增 又因为 (0) 0g ，所以当 0x 时， ( ) 0 0g x g， 从而 ()0, ) 上单调递增， 而 (0) 0g ，所以 ( ) 0 0g x g，即 2()f x 成立 9 分 （ ）若 12m， 令 ( ) 0 ，解得 ) 0， 当 (0, )， ( ) 0 ，所以 () ()在 0, )m 上单调递减， 又因为 (0) 0g ，所以当 (0, )时， ( ) 0 ， 从而 ()0, )m 上单调递减， 而 (0) 0g ，所以当 (0, )时， ( ) 0 0g x g，即 2()f x 不成立 综上所述， k 的取值范围是 1( , 2 12 分 请考生在第（ 22） ,（ 23） ,（ 24）题 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 （ 22） 选修 41 ：几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等满分 10 分 解： （ ） 设 外接圆的圆心为 O ， 连结 并延长交圆 O 于 G 点 ， 连结 则 90 , 因为 分 所以 =C ，所以 ， 2 分 所以 1 8 0 9 0F B G F B E E B G B G E E B G B E G ， 所以 F ， 所以 外接圆的切线 5 分 （）连接 则 C ， 所以 圆 O 的直径 ， 2 2F D F， 2 2 2