辽宁省沈阳市2016届高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 30 页） 2016 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科） 一选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知 i 为虚数单位，则复数 所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2设全集 U=R，集合 A=x|y= B= 1， 1，则下列结论正确的是（ ） A AB= 1 B（ B=（ ， 0） C A B=（ 0， +） D（ B= 1 3下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ） A y=2x B y=2|x| C y=2x 2 x D y=2x+2 x 4已知两个非零向量 ， 满足 （ ） =0，且 2| |=| |，则 ， =（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 5 “牟合方盖 ”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所 作的辅助线当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ） A B C D 6设等差数列 足 ， ， 前 n 项和，则使得 0 最大的自然数 n 是（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 7某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（ ） 第 2 页（共 30 页） A B C D 8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ） A B 0 C D 9实数 x， y 满足 ，则 z=|x y|的最大值是（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 10已知 P 是双曲线 上任意一点，过点 P 分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A、B，则 的值是（ ） A B C D不能确定 11将 3 本相同的小说， 2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每名同学至少 1 本，则不同的分法有（ ） A 24 种 B 28 种 C 32 种 D 36 种 12已知函数 y=图象在点（ 的切线 为 l，若 l 也与函数 y=x（ 0， 1）的图象相切，则 满足（ ） A 0 B 1 C D 第 3 页（共 30 页） 二 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13已知 ，则 14已知抛物线 y 的集点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点，过 P 作 l 于点 A，当 0（ O 为坐标原点）时， | 15设数列 前 n 项和为 ， =2，则 16已知函数 ，若方程 f（ x） = 恰有一个解时，则实数 a 的取值范围 三 本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在 ，角 A、 B、 C 对应的边分别是 a、 b、 c， C= ，且 A+B） （ 1）证明： （ 2）若 面积是 1，求边 c 18已知长方体 B=2， ， E 为 图所示 （ ）在所给图中画出平面 平面 交线（不必说明 理由）； （ ）证明： 平面 （ ）求平面 1成锐二面角的大小 19某中学根据 2002 2014 年期间学生的兴趣爱好，分别创建了 “摄影 ”、 “棋类 ”、 “国学 ”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立， 2015 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的 “摄影 ”、 “棋类 ”、 “国学 ”三个社团的概率依次为 m， ， n，已知三个社团他都能进入的概 率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且 m n （ 1）求 m 与 n 的值； 第 4 页（共 30 页） （ 2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入 “摄影 ”社的同学增加校本选修字分 1 分，对进入 “棋类 ”社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入 “国学 ”社的同学增加校本选修学分 3 分求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望 20已知椭圆 E 的中心在坐标原点，左、右焦点 别在 x 轴上，离心率为 ，在其上有一动点 A， A 到点 离的最小值是 1，过 A、 一个平行四边形，顶点 A、 B、 C、 D 都在椭圆 E 上，如图所示 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）判断 否为菱形，并说明理由 （ ）当 面积取到最大值时，判断 形状，并求出其最大值 21已知函数 （ aR）在其定义域内有两个不同的极值点 （ ）求 a 的取值范围； （ ）记两个极值点分别 为 知 0，若不等式 恒成立，求的范围 请考生在 22， 23， 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2选修 4何证明选讲】 22如图所示，两个圆相内切于点 T，公切线为 圆的弦 别交内圆于 A、 B 两点，并且外圆的弦 切内圆于点 M （ ）证明： （ ）证明： D=M 第 5 页（共 30 页） 【选修 4标系与参数方程】 23在以直角坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线 =1，将上平移 1 个单位得到曲线 （ ）求曲线 极坐标方程； （ ）若曲线 切线交曲线 不同两点 M， N，切点为 T，求 |取值范围 【选修 4等式选讲】 24已知命题 “a b c， ”是真命题，记 t 的最大值为 m，命题 “nR，”是假命题，其中 （ ）求 m 的值； （ ）求 n 的取值范围 第 6 页（共 30 页） 2016 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知 i 为虚数单位，则复数 所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形 式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 【专题】 计算题；规律型；数系的扩充和复数 【分析】 利用复数的除法的运算法则化简求解，等等复数的对应点，即可判断选项 【解答】 解： = =1+i，其对应的点为（ 1， 1）， 故选： A 【点评】 本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力 2设全集 U=R，集合 A=x|y= B= 1， 1，则下列结论正确的是（ ） A AB= 1 B（ B=（ ， 0） C A B=（ 0， +） D（ B= 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 集合思想；综合法；集合 【分析】 先求出集合 A，根据补集和交集以及并集的运算性质分别判断即可 【解答】 解：根据对数函数的定义，得 x 0， 集合 A=x|x 0， AB=x|x 0 1， 1=1， A 错误； （ B=x|x0 1， 1=x|x0 或 x=1， B 错误； A B=x|x 0 1， 1=x|x 0 或 x= 1， C 错误 ； （ B=x|x0 1， 1= 1， D 正确； 故选： D 【点评】 本题考察了集合的运算性质，考察对数函数的定义域，是一道基础题 第 7 页（共 30 页） 3下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ） A y=2x B y=2|x| C y=2x 2 x D y=2x+2 x 【考点】 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 【专题】 函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断 【解答】 解： A 虽增却非奇非偶， B、 D 是偶函数， C 由奇偶函数定 义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或 y=2 0）， 故选 C 【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质 4已知两个非零向量 ， 满足 （ ） =0，且 2| |=| |，则 ， =（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 根据题意， （ ） =0，则 = ，即 | |2= ，结合 2| |=| |，将其代入 ， = 中可得 ， 的值，进而可得 ， 的值，即可得答案 【解答】 解：根据题意， （ ） =0，则 = ，即 | |2= ， 又由 2| |=| |， 则 ， = = = ； 即 ， =60； 故选： B 【点评】 本题考查向量的数量积的运算，关键是 5 “牟合方盖 ”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起 第 8 页（共 30 页） 的方形伞（方盖）其直观图如图，图中四边 形是为体现其直观性所作的辅助线当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【专题】 应用题；数形结合；定义法；空间位置关系与距离 【分析】 相对的两个曲面在同一个 圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案 【解答】 解： 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖） 其正视图和侧视图是一个圆， 俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形， 故选： B 【点评】 本题考查了几何体的三视图，属于基础题 6设等差数列 足 ， ， 前 n 项和，则使得 0 最大的自然数 n 是（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 【考点】 等差数列的前 n 项和 【专题】 方程思想；转化思想；等差数列与等比数列 【分析】 利用等差数列的通项公式可得： 2n+11，可见 减数列，且 0 a5+，再利用前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 差为 d， ， ， 第 9 页（共 30 页） ，解得 d= 2， 2（ n 1） = 2n+11， 数列 减数列，且 0 a5+， 于是 ， ， ， 故选： A 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（ ） A B C D 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定 A 的值，分析出函数的周期，确定 的值，将（ ， 0）代入解析式，可求出 值，进而求出函数的解析式 【解答】 解：不妨令该函数 解析式为 y=x+），由图知 A=1， = ， 于是 ，即 ， 因 是函数减时经过的零点， 于是 ， kZ， 所以 可以是 ， 故选： C 第 10 页（共 30 页） 【点评】 本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出 A， 和 值，属于基本知识的考查 8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ） A B 0 C D 【考点】 程序框图 【专题】 计算题；图表型；转化思想；分析法；算法和程序框图 【分析】 根据题中的流程图，模拟运行，依次根据条件计算 s 和 n 的值，直到 n 2016 运行结束，输出此时的 s 的值即为答案 【解答】 解：由框图知输出的结果为： ， 因为函数 的周期是 6， 所以 =3360=0 故选： B 【点评】 本题考查了程序框图根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一 模块最重要的题型，要按照流程图中的运行顺序进行求解是关键属于基础题 9实数 x， y 满足 ，则 z=|x y|的最大值是（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 简单线性规划 【专题】 对应思想；数形结合法；不等式 第 11 页（共 30 页） 【分析】 根据题意，作出不等式组 的可行域，令 m=y x，分析可得 m 的取值范围，而 z=|x y|=|m|，分析可得 z 的最大值，即可得答案 【解答】 解：依题画出可行域如图，可见 内部区域为可行域， 令 m=y x，则 m 为直线 l： y=x+m 在 y 轴上的截距， 由图知在点 A（ 2， 6）处 m 取最大值是 4，在 C（ 2， 0）处最小值是 2， 所以 m 2， 4， 而 z=|x y|=|m|， 所以 z 的最大值是 4， 故选： B 【点评】 本题考查线性规划求不等式的最值问题，关键是正确作出不等式的可行域 10已知 P 是双曲线 上任意一点，过点 P 分别作曲线的两条渐近线的垂 线，垂足分别为 A、B，则 的值是（ ） A B C D不能确定 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系 【专题】 计算题；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 设 P（ m， n），则 ，即 3，求出渐近线方程，求得交点 A， B，再求向量 坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到 【解答】 解：设 P（ m， n），则 ，即 3， 第 12 页（共 30 页） 由双曲线 的渐近线方程为 y= x， 则由 解得交点 A（ ， ）； 由 解得交点 B（ ， ） =（ ， ）， =（ ， ）， 则 = + = = = 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题 11将 3 本相同的小说， 2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每名同学至少 1 本，则不同的分法有（ ） A 24 种 B 28 种 C 32 种 D 36 种 【考点】 排列、组合的实际应用 【专题】 计算题；分类讨论；转化法；排列组合 【分析】 分三类，有一个人分到一本小说和一 本诗集，有一个人分到两本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得 【解答】 解：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这中情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有 4 种分法，将剩余的 2 本小说， 1 本诗集分给剩余 3 个同学，有 3 种分法，那共有 34=12 种 第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上，有 4 种情况，将剩余的 3 本小说分给剩余 3 个人，只有一种分法那共有： 41=4 种， 第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上， 有 4 种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的 3 个人，有 3 种分法那共有： 43=12 种， 综上所述：总共有： 12+4+12=28 种分法， 故选： B 第 13 页（共 30 页） 【点评】 本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题 12已知函数 y=图象在点（ 的切线为 l，若 l 也与函数 y=x（ 0， 1）的图象相切，则 满足（ ） A 0 B 1 C D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】 方程思想；分析法；导数的概念及应用 【分析】 求出函数 y=导数， y=导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得 2， = 由零点存在定 理，即可得到所求范围 【解答】 解：函数 y=y=2x， 在点（ 的切线的斜率为 k=2 切线方程为 y x 设切线与 y=切的切点为（ m， 0 m 1， 即有 y=导数为 y= ， 可得 2，切线方程为 y （ x m）， 令 x=0，可得 y=1= 由 0 m 1，可得 ，且 1， 解得 1， 由 m= ，可得 2 1=0， 令 f（ x） =2x） 1， x 1， f（ x） =2x 0， f（ x）在 x 1 递增， 且 f（ ） =2 1 0， f（ ） =3 1 0， 则有 2 1=0 的根 ， ） 故选： D 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题 第 14 页（共 30 页） 二 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答卷纸的 相应位置上） 13已知 ，则 【考点】 二倍角的正弦 【专题】 三角函数的求值 【分析】 由 ，两边平方，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出 【解答】 解：由 ，两边平方可得： 2，化为 1 ， 则 故答案为： 【点评】 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，属于基础题 14已知抛物线 y 的集点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点，过 P 作 l 于点 A，当 0（ O 为坐标原点）时， | 【考点】 抛物线的简单性质 【专题】 综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 由抛物线 y，可得焦点 F（ 0， 1），准线 l 的方程为： y= 1由 0，可得 由于 l，可得 ， ，再利用 | 即可得出 【 解答】 解：由抛物线 y，可得焦点 F（ 0， 1），准线 l 的方程为： y= 1 0， l， ， ， |= 故答案为： 【点评】 本题考查了抛物线的定义标准方 程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题 15设数列 前 n 项和为 ， =2，则 66 第 15 页（共 30 页） 【考点】 数列递推式 【专题】 转化思想；等差数列与等比数列 【分析】 利用递推关系与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解： =2， 1+3（ n2）， 可得 =3n2， 数列 第二项起是公比为 3 的等比数列， ， =66 故答案为： 66 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16已知函数 ，若方程 f（ x） = 恰有一个解时，则实数 a 的取值范围 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【专题】 计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用；导数的概念及应用 【分析】 由题意作函数 与 y= 的图象，利用斜率公式求求直线n， l 的斜率，利用导数求直线 m 的斜率，从而解得 【解答】 解：作函数 与 y= 的图象如下， 第 16 页（共 30 页） ， y= 恒过点（ 0， 1）， 当直线 y= 过点（ 2， 2）时，则 ，满足方程有两个解； 当直线 y= 与 相切时，则 ，满足方程有两个解； 直线 l 的斜率为 a= =1， 故所求范围为 ， 故答案为： 【点评】 本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用，同时考查了方程的根与函数的图象的关系应用 三 本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在 ， 角 A、 B、 C 对应的边分别是 a、 b、 c， C= ，且 A+B） （ 1）证明： （ 2）若 面积是 1，求边 c 【考点】 正弦定理；余弦定理 【专题】 方程思想；转化法；解三角形 【分析】 （ 1）利用正弦定理、诱导公式即可得出 （ 2）利用三角形面积计算公式可得： 与 立，解得 a， b再利用余弦定理即可得出 第 17 页（共 30 页） 【解答】 （ 1）证明： A+B）， b=2a（ b= 2a ， （ 2）解： S= = ，化为 联立 ，解得 a= ， b=2 =10， 解得 c= 【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18已知长方体 B=2， ， E 为 图所示 （ ）在所给图中画出平面 平面 交线（不必说明理由）； （ ）证明： 平面 （ ）求平面 1成锐二面角的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【专题】 数形结合；向量法；空间位置关系与距离 【分析】 （ ）连接 1C 于 M 即可得到平面 平面 交线； （ ）根据线面平行的判定定理即可证明： 平面 （ ）方法 1，根据几何法作出二面角的平面角即可求平面 平面 成锐二面角的大小 方法 2，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解 【解答】 解：（ ）连接 1C 于 M，则直线 为平面 1 交线， 如图所示； 第 18 页（共 30 页） （ ）由（ ）因为在长方体 ，所以 M 为 中点，又 E 为 所以在 中位线，所以 又 面 面 所以 平面 （ ）因为在长方体 以 平面 平面 点 ，如平面图 ， 因为在长方体 ， 平面 面 以 B=B， 所以 平面 F 过点 F 作直线 垂线于 N，如平面图 ， 连接 三垂线定理可知， 二面角的平面角定义可知，在 ， 1成锐二面角的平面角 因长方体 ， B=2， ，在平面图 中， ， 第 19 页（共 30 页） ， ， ，在平面图 中，由 知= = ， 所以 = ， 所以平面 1成锐二面角的大 小为 空间向量解法： （ ）见上述 （ ）因为在长方体 以 是以 x， y， z 轴，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为 B=2， ，所以 D（ 0， 0， 0）， 0， 0， 1）， B（ 2， 2， 0）， 2， 2， 1），C（ 0， 2， 0）， E（ 0， 1， 1）所以 ， ， 令平面 一个法向量为 所以 ， ，从而有， ，即 ，不妨令 x= 1， 得到平面 一个法向量为 ， 而 ，所以 ，又因为 面 所以 平面 第 20 页（共 30 页） （ ）由（ ）知 ， ，令平面 所以 ， ，从而有， ，即 ，不妨令 x=1， 得到平面 因为 = 所以平面 1成锐二面角的大小为 【点评】 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，利用几何法以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间二面角的常用方法，综合性较强，运算量较大 19某中学根据 2002 2014 年期间学生的兴趣爱好，分别创建了 “摄影 ”、 “棋类 ”、 “国学 ”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立， 2015 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的 “摄影 ”、 “棋类 ”、 “国学 ”三个社团的概率依次为 m， ， n，已知三个社团他都能进入的概 率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且 m n （ 1）求 m 与 n 的值； （ 2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入 “摄影 ”社的同学增加校本选修字分 1 分，对进入 “棋类 ”社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入 “国学 ”社的同学增加校本选修学分 3 分求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【专题】 应用题；转化思想；综合法；概率与统 计 【分析】 （ 1）根据假设他通过考核选拔进入该校的 “摄影 ”、 “棋类 ”、 “国学 ”三个社团的概率依次为m， ， n，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且 m n，建立方程组，即可求 m 与 n 的值； （ 2）确定学分 X 的可能取值，求出相应的概率，可得 X 的分布列与数学期望 第 21 页（共 30 页） 【解答】 解：（ 1）由题意， ， m n m= ， n= ； （ 2）学分 X 的取值分别为 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6，则 P（ X=0） = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = + = ， P（ X=4） = = ， P（ X=5） = = ， P（ X=6） = X 的分布列 X 0 1 2 3 4 5 6 P 期望 +1 +2 +3 +4 +5 +6 = 【点评】 本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键 20已知椭圆 E 的中心在坐标原点，左、右焦点 别在 x 轴上，离心率为 ，在其上有一动点 A， A 到点 离的最小值是 1，过 A、 一个平行四边形，顶点 A、 B、 C、 D 都在椭圆 E 上，如图所示 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）判断 否为菱形，并说明理由 （ ）当 面积取到最大值时，判断 形状，并求出其最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【专题】 数形结合；分类讨论；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程 第 22 页（共 30 页） 【分析】 （ I）由 题意可得： ，解得 c， a， 可得出 （ 设 为菱形，则 1分类讨论： 当 x 轴时，把 x= 1代入椭圆方程，解出即可判断出； 当 x 轴不垂直时，设直线 方程为： y=k（ x+1）， A（ B（ 把直线 方程与椭圆方程联立化为：（ 3+412=0，利用根与系数的关系及其斜率计算公式 1，看此方程是否有解即可判断出 （ 当 x 轴时，由（ 得： |2， |3，此时 矩形， S 矩形 当 x 轴不垂直时，设直线 方程为： y=k（ x+1）， A（ B（ 直线方程与椭圆方程联立化为：（ 3+412=0，利用根与系数的关系可得| ，点 O 到直线 距离 d= S 平行四边形S ，即可得出 【解答】 解：（ I）由题意可得： ，解得 c=1， a=2， 椭圆 E 的方程为 =1 （ 设 为菱形，则 1 当 x 轴时，把 x= 1 代入椭圆方程可得： =1，解得 y= ， 取 A ，则 |2， |3，此时 能为菱形 当 x 轴不垂直时，设直线 方程为： y=k（ x+1）， A（ B（ 联立 ，化为：（ 3+412=0， x1+ ， 第 23 页（共 30 页） = = = ， 假设 = 1，化为 ，因此平行四边形 可能是菱形 综上可得：平行四边形 可能是菱形 （ 当 x 轴时，由（ 得： |2， |3，此时 矩形， S 矩形 当 x 轴不垂直时，设直线 方程为： y=k（ x+1）， A（ B（ 联立 ，化为：（ 3+412=0， x1+ ， | = 点 O 到直线 距离 d= S 平行四边形 S =2 = 则 = 36， S 6 因此当平行四边形 矩形面积取得最大值 6 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、平行四边形菱形矩形的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题 第 24 页（共 30 页） 21已知函数 （ aR）在其定义域内有两个不同的极值点 （ ）求 a 的取值范围； （ ）记两个极值点分别为 知 0，若不等式 恒成立，求的范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【专题】 计算题；作图题；数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用 【分析】 （ ）由导数与极值的关系知可转化为方程 f（ x） = 在（ 0， +）有两个不同根；再转化为函数 y=函数 y=图象在（ 0， +）上有两个不同交点，或转化为函数与函数 y=a 的图象在（ 0， +）上有两个不同交点；或转化为 g（ x） =两个不同零点，从而讨论求解； （ ） 可化为 1+ 合方程的根知 1+ a（ 从而可得 ；而 ，从而化简可得 ，从而可得恒成立；再令 ， t（ 0， 1），从而可得不等式在 t（ 0， 1）上恒成立，再令 ，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可 【解答】 解：（ ）由题意知，函数 f（ x）的定义域为（ 0， +）， 方程 f（ x） =0 在（ 0， +）有两个不同根； 即方程 在（ 0， +）有两个不同根； （解法一）转化为函数 y=函数 y=图象在（ 0， +）上有两个不同交点， 如右图 可见，若 令过原点且切于函数 y=象的直线斜率为 k，只须 0 a k 令切点 A（ 故 ，又 ， 第 25 页（共 30 页） 故 ， 解得， x0=e， 故 ， 故 （解法二）转化为函数 与函数 y=a 的 图象在（ 0， +）上有两个不同交点 又 ， 即 0 x e 时， g（ x） 0， x e 时， g（ x） 0， 故 g（ x）在（ 0， e）上单调增，在（ e， +）上单调减 故 g（ x） 极大 =g（ e） = ； 又 g（ x）有且只有一个零点是 1，且在 x0 时， g（ x） ，在在 x+时， g（ x） 0， 故 g（ x）的草图如右图， 可见，要想函数 与函数 y=a 的图象 在（ 0， +）上有两个不同交点， 只须 （解法三）令 g（ x） =而转化为函数 g（ x）有两个不同零点， 而 （ x 0）， 若 a0，可见 g（ x） 0 在（ 0， +）上恒成立，所以 g（ x）在（ 0， +）单调增， 此时 g（ x）不可能有两个不同零点 若 a 0，在 时， g（ x） 0，在 时， g（ x） 0， 所以 g（ x）在 上单调增，在 上单调减，从而= ， 又因为在 x0 时， g（ x） ，在在 x+时， g（ x） ， 于是只须： g（ x） 极大 0，即 ，所以 综上所述， 第 26 页（共 30 页） （ ）因为 等价于 1+ 由（ ）可知 别是方程 的两个根， 即 以原式等价于 1+ a（ 因为 0， 0 所以原式等价于 又由 ，即 所以原式等价于 ， 因为 0 式恒成立，即 恒成立 令 ， t（ 0， 1）， 则不等式 在 t（ 0， 1）上恒成立 令 ， 又 = ， 当 21 时，可见 t（ 0， 1）时， h（ t） 0， 所以 h（ t）在 t（ 0， 1）上单调增，又 h（ 1） =0， h（ t） 0 在 t（ 0， 1）恒成立，符合题意 当 2 1 时，可见 t（ 0， 2）时， h（ t） 0， t（ 2， 1）时 h（ t） 0， 所以 h（ t）在 t（ 0， 2）时单调增，在 t（ 2， 1）时单调减，又 h（ 1） =0， 所以 h（ t）在 t（ 0， 1）上不能恒小于 0，不符合题意，舍去 综上所述 ，若不等式 恒成立，只须 21，又 0，所以 1 第 27 页（共 30 页） 【点评】 本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方