2011高考数学二轮复习教案(13)不等式 新人教A版

用心 爱心 专心1 第第 1313 章章 不等式不等式 专题要点专题要点 1 不等关系与不等式的性质是不等式的理论基础 是证明不等式和求解不等式的主要依据 也是 高考的重要内容 在高考中一般不单独命题 而是以其他知识 如函数 集合 充要条件等 为载体进行 考查 主要体现它的基础性和工具性 若直接考查 则常以选择题和填空题形式出现 2 不等式的解法 要理解 三个二次 之间的关系 熟练掌握一元一次不等式的解法 一元二次不等式的解法 这是 解其它不等式的基础 会解含参数的一元二次不等式 会解绝对值不等式 能将分式不等式转化为整式不等式 组 求解 3 简单的线性规划 能从实际问题中抽象出二元一次不等式组 理解二元一次不等式组表示平面 的区域 能够准确的画出可行域 能够将实际问题抽象概括为线性规划问题 培养应用线性规划的知识解 决实际问题的能力 4 均值定理 理解均值不等式的概念 掌握均值不等式的证明过程 能够利用均值不等式求函数 的最值问题 能利用均值不等式解答实际问题 5 不等式的综合应用 能够运用不等式的性质 定理 不等式的解法及不等式的证明有关的数学问 题和实际问题 考纲要求考纲要求 1 了解日常生活中的不等关系 了解不等式的有关概念及其分类 2 掌握不等式的性质及其应用 明确各个性质中结论成立的前提条件 3 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的联系 会解一元二次不等式 对给定的一元二次不等式 会设计求解的程序框图 4 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域表示二元一次不等式组 了解线性规划的意义并会简 单应用 5 掌握两个 不扩展到三个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理 并会简单应用 6 掌握用比较法 分析法 综合法证明简单的不等式 知识纵横知识纵横 用心 爱心 专心2 教法指引教法指引 1 从近几年高考题目来看 不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现 且多与集合 简易逻辑 函数知识相结合 难度较低 在复习复习时应高度重视 对每一条性质 要弄清楚条件和结 论 注意条件加强和放宽后 条件和结论之间发生的变化 记住了不等式运算法则的结论形式 还要掌 握运算法则的条件 避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误 掌握证明不等式性质的方法 可以进 一步提高逻辑推理能力 在解不等式时 可结合函数的定义域 值域和单调性 2 均值不等式是历年高考的重点考查内容 考查方式多样 在客观题中出现 一般只有一个选择或填空 考查直接 难度较低 在解答题中出现 其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节 且常考常新 难度较 高 利用均值不等式解决问题的关键是要注意定理成立的三个条件 一正二定三相等 3 不等式证明也是高考的一个重点内容 且多以解答题的一个分支出现 常与函数 导数 数列 解 析几何等知识结合 题目往往非常灵活 难度高 线性规划问题是近几年高考的一个新热点 在考题种主 要以选择 填空形式出现 当然 也可以实际问题进行考查 考查了优化思想在解决问题的广泛应用 体 现了数学的应用价值 从而形成解决简单实际问题的能力 进一步考查了考生的数学应用意识 4 线性规划等内容已成为高考的热点 在复习时要给于重视 另外 不等式的证明 繁琐的推理逐渐趋于 淡化 在复习时也应是注意 5 要注意利用导数与不等式的联系来研究函数的性质和求最值问题 3 预计在 2010 年高考中 对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法 仍会继续渗透在其 他知识中进行考查 对不等式的应用 突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用 特别是求最值问 题 不等式证明问题 将继续强调考查逻辑推理能力 尤其是不等式与函数 数列 三角 解析几何的综 合题型将会继续出现在高考的中 高档题中 这也是我们复习本章的重中之重 无理不等式 不 等 式 不等式的性质均值不等式 不等式的解法 比较法 综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 函数法 导数法 不等式的证明 有理不等式 超越不等式 绝对值不等式 一元一次不等式 组 一元二次不等式 组 整式高次不等式 组 分式高次不等式 组 指数不等式 组 对数不等式 组 三角不等式 组 不等式的应用 函数的定义域 值域与单调性 取值范围问题 最值问题 方程根的分布 数列不等式 函 数不等式的证明 实际应用问题 线性规划 用心 爱心 专心3 典例精析典例精析 考点考点 1 1 不等式的性质不等式的性质 例 1 1 2009 安徽卷文 是 且 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 易得abcd 且 且时必有acbd 若acbd 时 则可能有adcb 且 且 选 A 答案 A 2 2009 四川卷文 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 B B 解析解析 显然 充分性不成立 又 若a c b d和c d都成立 则同向不等式相加得a b 点评 这类题目主要考察不等式的性质成立的条件 以及条件与结论的充要关系 考点考点 2 2 比较大小比较大小 例例 2 2 2006 陕西卷 已知函数 2 24f xaxax a 0 若 12 xx 12 0 xx 则 A 12 f xf x B 12 f xf x C 12 f xf x D 1 f x与 2 f x的大小不能确定 分析分析 本题是比较两个数的大小关系 比较法是比较两个数的大小的最常用的方法 解法解法 1 1 22 121122 24 24 f xf xaxaxaxax 22 12121212 2 2 a xxa xxa xxxx 12 2 0a xx 故 12 f xf x 解法解法 2 2 函数 2 24f xaxax a 0 二次函数的图象开口向上 对称轴为1x a 0 x1 x2 0 x1与x2的中点为 0 x1 x2 x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离 f x1 f x2 选 A 点点评 在比较实数大小的过程中 要遵循异中求同 即先将这些数的部分因式化成相同的部分 再去比 较它们剩余部分的规律 一般地 在数的大小比较中 常用的有以下方法 1 作差比较法和作商比较法 前 者和零比较 后者和 1 比较大小 2 找中间量 往往是 1 在这些数中 有的比 1 大 有的比 1 小 3 计算 所有数的值 4 选用数形结合的方法 画出相应的图形 5 利用函数的单调性等等 考点考点 3 3 解不等式解不等式 高考要求掌握简单不等式的解法 解不等式是研究函数和方法的重要工具 是求函数的定义域 值域 最值 单调性 求反函数和参数的取值范围的重要手段 不等式的变形 是研究数学的基本手段之一 它渗透到高中数学的每个角落中 如函数 方程 集合 数列 平面向量 三角函数 解析几何 立体几 何 概率与统计 导数等 其基本思想是转化思想 转化的方法是 超越式 分式 整式 高次 整式 低次 一次 或二次 不等式 其中准确熟练求解一元二次 一次 不等式是解其他不等式的 基础 解一元高次不等式的有效方法是序轴法 此外 要重视数形结合 分类讨论思想的运用 不等式的解法是高考必考内容 直接考查主要以选择题 填空题为主 这类题小巧灵活 常考常新 但有时也以解答题形式出现 主要考查含参数的不等式的解法 间接考查则更多 常以工具作用出现在函 数 数列 三角函数 导数 解析几何 平面向量等问题之中 考查时重点考查一元二次不等式 分式不 等式 含绝对值不等式 但偶尔也会涉及无理不等式 指数和对数不等式的解法 例 3 2009 山东卷理 不等式0212 xx的解集为 用心 爱心 专心4 解析 原不等式等价于不等式组 2 21 2 0 x xx 或 1 2 2 21 2 0 x xx 或 1 2 21 2 0 x xx 不等式组 无解 由 得 1 1 2 x 由 得 1 1 2 x 综上得11x 所 以原不等式的解集为 11 xx 答案 11 xx 点评 本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法 需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号 最后把各 种情况综合得出答案 本题涉及到分类讨论的数学思想 但若两边同时平方则更为简单 例 4 2008 天津卷 8 已知函数 2 0 2 0 xx f x xx 则不等式 2 f xx 的解集是 A A 1 1 B 2 2 C 2 1 D 1 2 解析 原不等式可转化为不等式组 22 00 22 xx xxxx 或 可解得11x 故选A 点评 分段函数问题是高考中的热点问题 例 5 2009 天津卷理 ab 10 若关于 x 的不等式 2 xb 2 ax的解集中的整数恰有 3 个 则 A 01 a B 10 a C 31 a D 63 a 解析 由题得不等式 2 xb 2 ax即02 1 222 bbxxa 它的解应在两根之间 故有 04 1 44 22222 baabb 不等式的解集为 11 a b x a b 或 11 0 a b x a b 若 不等式的解集为 11 a b x a b 又由ab 10得1 1 0 a b 故2 1 3 a b 即 3 1 2 a b 点评 本小题考查解一元二次不等式 考点考点 4 4 求最值求最值 例 6 2009 天津卷理 设0 0 ab 若 11 333 ab ab 是与的等比中项 则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 1 4 解析 因为333 ba 所以1 ba 用心 爱心 专心5 4222 11 11 b a a b b a a b ba ba ba 当且仅当 b a a b 即 2 1 ba时 成立 故选择 C 点评 本小题考查指数式和对数式的互化 以及均值不等式求最值的运用 考查了变通能力 例 7 2009 重庆卷文 已知0 0ab 则 11 2 ab ab 的最小值是 A 2B 2 2C 4D 5 解析 因为 1111 2222 4ababab ababab 当且仅当 11 ab 且 1 ab ab 即ab 时 取 号 答案 C 例 8 2009 重庆卷理 不等式 2 313xxaa 对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围为 A 1 4 B 2 5 C 1 2 D 1 2 解析 因为不等式 2 313xxaa 对任意实数x恒成立 故 2 max 31 3xxaa 即 22 343041aaaaaa 即 解得或 答案 A 点评点评 恒成立问题是高考考试的热点问题 常将其转化为最值问题去处理 不等式有解 无解与恒成立 的关系如下 f x有最大值或最小值 af x 有解 min afx af x 有解 max afx af x 无解 max afx af x 无解 min afx af x 恒成立 max afx af x 恒成立 min afx 考点考点 5 5 线性规划线性规划 线性规划是高考热点之一线性规划是高考热点之一 考查内容设计最优解考查内容设计最优解 最值最值 区域面积与形状等区域面积与形状等 通常通过画可行域通常通过画可行域 移线移线 数形结数形结 合等方法解决问题合等方法解决问题 例例 7 7 2009 天津卷理 设变量 x y 满足约束条件 3 1 23 xy xy xy 则目标函数 z 2x 3y 的最小值为 A 6 B 7 C 8 D 23 解析 画出不等式 3 1 23 xy xy xy 表示的可行域 如右图 用心 爱心 专心6 让目标函数表示直线 33 2zx y 在可行域上平移 知在点 B 自目标函数取到最小值 解方程组 32 3 yx yx 得 1 2 所以734 min z 故选择 B 8 6 4 2 2 4 15 10 551015 2x y 3 x y 1 x y 3 q x 2 x 3 7 h x 2 x 3 g x x 1 f x x 3 A B 例 8 2009 福建卷文 在平面直角坐标系中 若不等式组 10 10 10 xy x axy 为常数 所表示的平面区域 内的面积等于 2 则a的值为 A 5 B 1 C 2 D 3 解析解析解析 如图可得黄色即为满足 010101 yaxyxx的可行域 而与的直线恒过 0 1 故看作直线绕点 0 1 旋转 当 a 5 时 则可行域不是一个封闭区域 当 a 1 时 面积是 1 a 2 时 面积是 2 3 当 a 3 时 面积恰好 为 2 故选 D 例 9 2009 四川卷理 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利 润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最 大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元解析 设甲 乙种两种产品各需生产 x y吨 可使利润z最大 故本题即 用心 爱心 专心7 已知约束条件 0 0 1832 133 y x yx yx 求目标函数yxz35 的最大 值 可求出最优解为 4 3 y x 故271215 max z 故选择 D 考点考点 6 6 不等式的证明不等式的证明 高考要求掌握分析法 综合法 比较法证明简单的不等式 不等 式证明是高中数学的重要内容 同时也是高中数学的难点 加之题 型广泛 涉及面广 证法灵活 因而备受命题者的青睐 成为高考 的