多元函数的极限与连续习题

多元函数的极限与连续习题多元函数的极限与连续习题 1 用极限定义证明用极限定义证明 14 23 lim 1 2 yx y x 2 讨论下列函数在 讨论下列函数在 0 0 处的两个累次极限 并讨论在该点处的二重极限的 处的两个累次极限 并讨论在该点处的二重极限的 存在性 存在性 1 yx yx yxf 2 yx yxyxf 1 sin 1 sin 3 yx yx yxf 2 33 4 x yyxf 1 sin 3 求极限求极限 1 22 0 lim 22 0 yx x yx y 2 11 lim 22 22 0 0 yx yx y x 3 22 0 0 1 sin lim yx yx y x 4 22 22 0 0 sin lim yx yx y x 4 试证明函数试证明函数在其定义域上是连续的 在其定义域上是连续的 0 0 1ln xy x x xy yxf 1 用极限定义证明用极限定义证明 14 23 lim 2 1 2 yx y x 因为因为 不妨设 不妨设 1 2 yx0 1 0 2 yx 有有 54 2 42 2 xxx 22123 1423 22 yxyx 1 2 2 15 1 2 2 2 3 yxyxx 1 2 15 yx 要使不等式 要使不等式0 成立成立 1 2 15 1423 2 yxyx 取取 于是 于是 1 30 min 0 0 1 30 min yx 1 2 yx 且且 有 有 即证 即证 1 2 yx 1423 2 yx 2 讨论下列函数在 讨论下列函数在 0 0 处的两个累次极限 并讨论在该点处的二重极限 处的两个累次极限 并讨论在该点处的二重极限 的存在性 的存在性 1 yx yx yxf 1limlim 00 yx yx yx 1limlim 00 yx yx xy 二重极限不存在 二重极限不存在 或或 0lim 0 yx yx xy x 3 1 lim 2 0 yx yx xy x 2 yx yxyxf 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 0yx yx yx 可以证明可以证明 所以所以 0 lim 0 0 yx y x 0 lim 0 0 yxf y x 当当 时 时 极限不存在 极限不存在 k x 1 0 y yx yxyxf 1 sin 1 sin 因此因此 不存在 不存在 yx yx yx 1 sin 1 sin limlim 00 同理同理 不存在 不存在 yx yx xy 1 sin 1 sin limlim 00 3 yx yx yxf 2 33 0 2 lim lim 2 3 00 xx x yxf x xy x 当当 P x y 沿着沿着趋于 趋于 0 0 时有 时有 32 xxy 1 lim lim 232 3233 0 32 0 xxx xxx yxf x xxy x 所以所以 不存在 不存在 lim 0 0 yxf y x 0 limlim 00 yxf yx 0 limlim 00 yxf xy 4 x yyxf 1 sin 1 sin 0y x y 0 lim 0 0 yxf y x 不存在 不存在 0 1 sinlimlim 00 x y yx x y xy 1 sinlimlim 00 3 求极限求极限 1 22 0 lim 22 0 yx x yx y ln 4 ln 0 22 222 2222 yx yx yxyx 又又 0ln 4 lim ln 4 lim 2 0 22 222 0 0 t t yx yx t y x 1 lim 22 ln 22 0 0 lim 22 22 0 0 yxyx yxyx y x eyx 2 11 lim 22 22 0 0 yx yx y x 2 11 11 lim 11 lim 22 2222 0 0 22 22 0 0 yx yxyx yx yx y x y x 3 22 0 0 1 sin lim yx yx y x 1 sin 22 yx yx yx 而而 0 lim 0 0 yx y x 故故 0 1 sin lim 22 0 0 yx yx y x 4 22 22 0 0 sin lim yx yx y x 令令 cosrx sinry 时 时 0 0 yx0 r 1 sin lim sin lim 2 2 0 22 22 0 0 r r yx yx r y x 4 试证明函数试证明函数在其定义域上是连续的 在其定义域上是连续的 0 0 1ln xy x x xy yxf 证明 显然证明 显然 f x y 的定义域是的定义域是 xy 1 当当时 时 f x y 是连续的 是连续的 只需证明其作为二元函数在只需证明其作为二元函数在 y 轴的每一点上连续 轴的每一点上连续 0 x 以下分两种情况讨论 以下分两种情况讨论 1 在原点 在原点 0 0 处 处 f 0 0 0 当当时时0 x 0 1ln 00 1ln 1 yxyy y x xy yxf xy 由于由于 1 1ln lim 1 0 0 xy y x xy 不妨设不妨设 1 1 1ln 1 xy xy2 1ln 1 xy xy 从而从而 取取 当 当时 时 0 2 0 0yx 1ln 0 1ln 1 xy xyy x xy 2 1ln 1 yxyy xy 于是 无论于是 无论 当 当时 都有时 都有0 0 xx yx 0 0 0 lim 0 0 fyxf y x 2 在在处 处 0 y 0 y 当当时 时 0 x 1ln 0 1 yxyyyfyxf xy 1 1 ln 1 yyxyy xy 1 1ln 1 yyxyy xy 当当 x 0 时时 0 yyyfyxf 注意到 当注意到 当时时 0 y