2012年重点中学高考数学复习 第5课时 实数与向量的积（2）学案 湘教版

用心 爱心 专心1 课课 题题 实数与向量的积 实数与向量的积 2 2 教学目的 教学目的 1 了解平面向量基本定理 2 掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 理解这 是应用向量解决实际问题的重要思想方法 3 能够在具体问题中适当地选取基底 使其他向量都能够用基底来表达 教学重点 教学重点 平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 教学难点 教学难点 平面向量基本定理的理解 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 1 向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量 有二个要素 大小 方向 2 向量的表示方法 用有向线段表示 用字母 等表示 3 零向量 单位向量概念 长度为 0 的向量叫零向量 长度为 1 个单位长度的向量 叫单位向量 4 平行向量定义 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规定 0 0 与任一向量平行向量 平行 记作 5 相等向量定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6 共线向量与平行向量关系 平行向量就是共线向量 7 7 向量的加法 向量的加法 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 8 8 向量加法的交换律 向量加法的交换律 a b ba 9 9 向量加法的结合律 向量加法的结合律 a bc ab c 1010 向量的减法向量a a加上的b b相反向量 叫做 a a与b b的差即 a a b b a a b b 11 差向量的意义 a a b b 则 a a b bOAOBBA 即a a b b可以表示为从向量b b的终点指向向量a a的终点的向量 1 12 实数与向量的积 实数 与向量的积是一个向量 记作 a a 1 2 0 时 与方向相同 0 时 与a a a a a 方向相反 0 时 a a 0 用心 爱心 专心2 13 运算定律 结合律 a a 分配律 a a a a b a b 14 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是 有且只有b a 一个非零实数 使 b a 二 讲解新课 二 讲解新课 共面向量定理 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量 那么对 1 e 2 e 于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 1 2使 1 2a a 1 e 2 e 探究 1 我们把不共线向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底 2 基底不惟一 关键是不共线 3 由定理可将任一向量 在给出基底 的条件下进行分解 4 基底给定时 分解形式惟一 1 2是被 唯一确定的数量a 1 e 2 e 三 讲解范例 三 讲解范例 例例 1 1 已知向量 求作向量 25 3 1 e 2 e 1 e 2 e 作法 1 取点 O 作 25 3OA 1 eOB 2 e 2 作 OACB 即为所求 25 3OC 1 e 2 e 例例 2 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点 M 且 用 表ABa ADb a b 示 和 MAMBMCMD 解 在 ABCD 中 ACABADa b DBABADa b MA 2 1 AC 2 1 a b 2 1 a 2 1 b MB 2 1 DB 2 1 a b 2 1 a 2 1 b 用心 爱心 专心3 MC 2 1 AC 2 1 a 2 1 b MDMB 2 1 DB 2 1 a 2 1 b 例例 3 3 已知ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E O 是任意一点 求证 4OA OB OC ODOE 证明 E 是对角线 AC 和 BD 的交点 AEECCEBE EDDE 在 OAE 中 OA AE OE 同理 OBBE OEOC CE OEODDE OE 以上各式相加 得 4OA OB OC ODOE 例例 4 4 如图 不共线 t t R 用 表示OAOBAPABOA OBOP 解 t APAB t OP OA AP OAAB t t t 1 t OAOBOAOAOBOAOA t OB 四 课堂练习四 课堂练习 1 设e e1 e e2是同一平面内的两个向量 则有 Ae e1 e e2一定平行 Be e1 e e2的模相等 C 同一平面内的任一向量a a都有a a e e1 e e2 R R D 若e e1 e e2不共线 则同一平面内的任一向量a a都有a a e e1 ue e2 u R R 2 已知矢量a a e e1 2e e2 b b 2e e1 e e2 其中e e1 e e2不共线 则a a b b与c c 6e e1 2e e2的关系 A 不共线 B共线 C 相等 D 无法确定 3 已知向量e e1 e e2不共线 实数x y满足 3x 4y e e1 2x 3y e e2 6e e1 3e e2 则x y 的值等于 A3 B 3 C0 D2 4 若a a b b不共线 且 a a b b 0 0 R R 则 用心 爱心 专心4 5 已知a a b b不共线 且c c 1a a 2b b 1 2 R R 若c c与b b共线 则 1 6 已知 1 0 2 0 e e1 e e2是一组基底 且a a 1e e1 2e e2 则a a与e e1 a 与e e2 填共线或不共线 参考答案 1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6 不共线 不共线 五 小结五 小结 平面向量基本定理 其实质 同一平面内任一向量都可以表示为两 个不共线向量的线性组合 六 课后作业六 课后作业 1 如图 平行四边形ABCD中 H M是AD DC之ABAD 中点 F使BF BC 以 为基底分解向量与 3 1 AMHF 分析 以 为基底分解与 实为用 与 表示向量与ABHFAMHF 解 由H M F所在位置有 AMADDMAD 2 1 DCAD 2 1 AB 2 1 HFAFAHABBFAH ABADBC 2 1 3 1 AB 3 1 AD 2 1 AD 6 1 2 如图 O是三角形ABC内一点 PQ BC 且 求与 BC PQ OAOBOCOPOQ 分析 由平面几何的知识可得 APQ ABC 且对应边的比 为 转化向量的关系为 AC AQ AB AP AP 又由于已知和未知向量均以原点O为ABAQAC 起点 所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示 是解决问题的途径所在 解 PQ BC 且 有 APQ ABC 且对应边比为 BC PQ BC PQ 即 AC AQ AB AP 转化为向量的关系有 APABAQAC 用心 爱心 专心5 又由于 APOPOAAQOQOA ABOBOAACOCOA OPOAAPOAOBOA OQOAAQOAOCOA 七 板书设计七 板书设计 略 八 课后记 八 课后记 1 注意图形语言的应用 用向量法解平面几何问题 实质上是将平面几何问题的代数化处理 在解 题中应注意进行向量语言与图形语言的互译 例 1 如图 已知MN是 ABC的中位线 求证 MN BC且MN BC 2 1 分析 首先把图形语言 M N是AB AC的中点翻译成向量语言 AM 2 1 然后再把向量的一种语言转化为向ABAN 2 1 AC 量的另一种语言 即 MNANAM 2 1 AC 2 1 AB 2 1 ACAB 2 1 BC 最后又将向量语言 翻译成图形语言就是 MN BC且MN BCMN 2 1 BC 2 1 2 向量法应用 例 2 已知平行四边形ABCD E F分别是DC和 AB的中点 求证 AE CF 证明 因为E F为DC AB的中点 DE 2 1 DCBF 2 1 BA 由向量加法法则可知 AEADDEAD 2 1 DCCFCBBFCB 2 1 BA 四边形ABCD为平行四边形 用心 爱心 专心6 ADCBDCBA AECB 2 1 BACB 2 1 BACF AE CFAECF 强化训练 1 下面向量a a b b共线的有 1 a a 2e e1 b b 2e e2 2 a a e e1 e e2 b b 2e e1 2e e2 3 a a 4e e1 e e2 b b e e1 e e2 4 a a e e1 e e2 b b 2e e1 2e e2 e e1 e e2不共 5 2 10 1 线 A 2 3 B 2 3 4 C 1 3 4 D 1 2 3 4 2 设一直线上三点A B P满足 1 O是空间一点 则APPB 用 表示式为 OPOAOB A B 1 OP OAOBOPOAOB C DOP 1 OBOA OBOAOP 1 11 3 若a a b b是不共线的两向量 且 1a a b b a a 2b b 1 2 R R 则ABAC A B C三点共线的充要条件为 A 1 2 1 B 1 2 1 C 1 2 1 0 D 1 2 1 0 4 若a a e e1 3e e2 b b 4e e1 2e e2 c c 3e e1 12e e2 则向量a a写为 1b b 2c c的形式是 5 已知两向量e e1 e e2不共线 a a 2e e1 e e2 b b 3e e1 2 e2 若a a与b b共线 则实数 6 设平面内有四边形ABCD和点O a a b b c c OAOBOC d d a a c c b b d d 则四边形ABCD的形状是 OD 7 设 不共线 点P在O A B所在的平面内 且 1 t tOAOBOPOA t R R 求证A B P三点共线 OB 8 当不为零的两个向量a a b b不平行时 求使pa