【教学设计】《三角形中的几何计算 》（2011年人教版）

三角形中的几何计算三角形中的几何计算 本节课是继学习了正弦定理 余弦定理之后安排的一节课 可以说是对正弦定理 余 弦定理的应用进行的小结课或习题课 为后面的实际应用举例奠定基础 因此本节课的学 习具有承上启下的桥梁作用 在本节课的教学中 要用方程的思想作统帅 具体问题具体 分析作指导 引领学生认识问题 分析问题并最终解决问题 在本节课中 首先帮助学生回忆并用文字语言复述出正弦定理和余弦定理 并指出正 弦定理和余弦定理是相通的 凡是能用正弦定理解的三角形 用余弦定理也可以解 反之 亦然 但解题的时候 应有最佳选择 教学过程中 我们应指导学生结合利用正弦定理和 余弦定理解三角形的问题进行归纳剖析 以提高学生的思维层次 本节课的重点是正确运用正弦定理 余弦定理解斜三角形 而正确运用两个定理的关 键是要结合图形 明确各已知量 未知量以及它们之间的相互关系 通过例题的活动探究 要让学生结合图形理解题意 学会分析问题的状态 确定合适的求解顺序 明确所用的定 理 在教学中还要让学生分析讨论 在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路 在练习 与变式例题中同样牢牢抓住正弦定理 余弦定理和三角形内角和定理 用方程的思想指导 思路 正弦定理 余弦定理可以解决四类有关三角形的问题 为了把它们融入到学生的认知 结构中 设计了变式例题 以提高学生观察 识别 分析 归纳等思维能力 同时应指出 教材分析教材分析 在解斜三角形问题时 经常要利用正弦 余弦定理进行边角转化 转化的主要途径有两条 1 化边为角 然后通过三角变换找出角与角之间的关系 进而解决问题 2 化角为边 将三角问题转化为代数问题加以解决 一般地 当已知三角形三边或三边数量关系时 常 用余弦定理 若既有角的条件 又有边的条件 通常利用正弦定理或余弦定理 将边化为 角的关系 利用三角函数公式求解较为简便 总之 关键在于根据条件 结合图形 准确 判断解的情况 灵活选用定理及公式 知识与能力目标 通过回顾正弦定理 余弦定理的表达式及文字语言的叙述 进一步熟悉正 余弦定理的内 容 作用及所解三角形的类型 能够联系勾股定理 三角形面积定理及三角形内角和公式 等有关三角形问题灵活地解三角形 过程与方法目标 善于利用分类讨论的思想 先易后难 逐层推进的思想解决一些繁 难三角形问题 把对 学生的思维训练贯穿整节课的始终 情感态度价值观目标 通过本节课的探究 培养学生勇于探索 勇于创新 善于分析以及具体问题具体分析的科 学精神和良好的学习习惯 并对正弦定理 余弦定理的反射美产生愉悦感 从而激发学生 热爱数学 热爱科学的追求精神 教学重点 灵活选用正弦定理 余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算 教学难点 利用正 余弦定理进行边角互化及正弦 余弦定理与三角形有关性质的综合应用 电子课件调整 相应的教具带好 熟悉学生名单 电子白板要调试好 一 一 新课导入新课导入 回忆正弦定理 余弦定理的表达式 并用文字语言叙述其内容 你能写出定理的哪些变 教学重难点教学重难点 课前准备课前准备 教学过程教学过程 教学目标教学目标 式 解三角形常用的有关三角形的定理 性质还有哪些 二 研探新知 建构概念二 研探新知 建构概念 解斜三角形时可用 的定理和公式 适用类型备注 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcaacB 222 2coscababC 1 已知三边 来源 Z xx k Com 2 已知两边及其夹角 类型 1 2 有解时只有一解 正弦定理 2R sinsinsin abc ABC 3 已知两角和一边 4 已知两边及其中一边的对 角 类型 3 在有解时只有一解 类型 4 可有两解 一解或无 解 三角形面积公式 S 1 sin 2 bcA 1 sin 2 acB 1 sin 2 abC 5 已知两边及其夹角 三 质疑答辩 发展思维三 质疑答辩 发展思维 例例 1 1 如图 1 所示 在梯形 ABCD 中 AD BC AB 5 AC 9 BCA 30 ADB 45 求 BD 的长 图 1 活动 活动 教师与学生一起探究 点拨学生找出相关的三角形 解 解 在 ABC 中 AB 5 AC 9 BCA 30 由正弦定理 得 sinsin ABAC BCAABC sin9sin 309 sin 510 ACBCA ABC AB 因为 AD BC 所以 BAD 180 ABC 于是 sin BAD sin ABC 9 10 同理 在 ABD 中 AB 5 sin BAD ADB 45 9 10 解得 BD 92 2 答 BD 的长为 92 2 点评 点评 找出相关的三角形后 关键要根据题目的条件与所求 选 定运用哪个定理 达到优化解题过程 灵活解题的目的 变式训练变式训练 1 1 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 解在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 222 2 ADDCAC AD DC A 10036 1961 2 10 62 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 sinsin ABAD ADBB AB 3 10 sin10sin60 2 5 6 sinsin452 2 ADADB B A 例例 2 2 如图 2 所示 已知 O 的半径是 1 点 C 在直径 AB 的延长线上 BC 1 点 P 是 O 上半圆弧上的一个动点 以 PC 为边作等边 PCD 且点 D 与圆心分别在 PC 的两 侧 A B C D 图 2 1 若 POB 试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 的函数 来源 学 sin sinsin 2 22 2 22 C BA c ba 2 222 2coscoscosabcbcAcaBabC 分析 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题 观察式子左右两边的特点 联想 到用正弦定理来证明 证明 1 根据正弦定理 可设 k A a sinB b sinC c sin 显然 k0 所以 左边 Ck BkAk c ba 22 2222 2 22 sin sinsin 右边 C BA 2 22 sin sinsin 2 根据余弦定理的推论 右边 2 bc ca ab bc acb 2 222 ca bac 2 222 ab cba 2 222 b c a c a b a b c 222222222 a b c 左边 222 四 课堂小结 四 课堂小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式 然 后化简并考察边或角的关系 从而确定三角形的形状 特别是有些条件既可用正弦定理也 可用余弦定理甚至可以两者混用 五 作业布置 五 作业布置 1 已知在ABC 中 B 30 b 6 c 6 求 a 及ABC 的面积 S 3 提示 解有关已知两边和其中一边对角的问题 注重分情况讨论解的个数 答案 a 6 S 9 a 12 S 1833 2 判断满足下列条件的三角形形状 1 acosA bcosB 2 sinC BA BA coscos sinsin 提示 利用正弦定理或余弦定理 化边为角 或 化角为边 1 法一 余弦定理 得 a b bc acb 2 222