平面向量及其应用

平面向量及其应用 考点解读 1 掌握平面向量的加减运算 平面向量的坐标表示 平面向量数量积等基本概念 运算及其简单 应用 复习时应强化向量的数量积运算 向量的平行 垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重 视 2 在复习中要注意数学思想方法的渗透 如数形结合思想 转化与化归思想等 会用向量解决某 些简单的几何问题 第一课时 基础训练 1 设 1 2 a 1 b 0 a 0 b 0 O 为坐标原点 若 A B C 三点 OA OB OC 共线 则 的最小值是 1 a 2 b 2 与向量平行的单位向量 垂直的单位向量 5 12 a 3 在边长为 1 的正三角形 ABC 中 设 2 3 则 BC BD CA CE AD BE 4 在平行四边形 ABCD 中 AC 为一条对角线 若 2 4 1 3 则 AB AC BD 5 已知 a 2 1 b 3 若 a 与 b 的夹角为钝角 则 的取值范围是 6 如图 设点 P 是三角形 ABC 内一点 不包括边界 且 m n m n R 则AP AB AC m2 n 2 2的取值范围为 例题选讲 例 1 如图 以向量 a b 为边作 OADB 用 a b 表示 OA OB BM 1 3BC CN 1 3CD OM ON MN 练习 1 如图所示 在 ABO 中 AD 与 BC 相交 OC 1 4OA OD 1 2OB 于点 M 设 a b 试用 a 和 b 表示向量 OA OB OM 例 2 在三角形 ABC 中 已知2AB ACABAC 设 CAB 1 求角 的值 2 若 4 3 cos 7 其中 5 36 求cos 的值 练习 2 已知向量 a sin 1 b cos 且 a b 其中 0 3 2 1 求 的值 2 若 sin x 0 x 求 cosx 的值 3 5 2 例 3 如图 已知的长为 求0 135 120 GAGBGCAGBAGCGB 2 3 GA GC 的长 练习 3 1 已知向量 满足 则向量 的夹角的大小为 a b 22 4ab 38 16ab a b 2 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 x 1 2 y 1 2 4 C 为圆心 点 P 为圆上任意一点 则 的最大值为 OP CP 3 如图 在等腰三角形ABC中 底边 2 BC DCAD 1 2 AEEB 若 1 2 BD AC 则 ABCE 4 如图 在等腰三角形中 已知分别是边上的点 且ABCFEAACAB 120 1 ACAB 其中若的中点分别为且则的最 ACnAFABmAE 1 0 nmBCEF NM 14 nmMN 小值是 5 在菱形中 则 ABCD2 3AB 2 3 B 3BCBE 3DADF EF AC 第二课时 1 向量的数量积问题主要涉及向量的模 夹角 坐标这三个基本方面 有关向量数量积的运算都是 这三个方面的运算 2 处理向量问题 一般有两个途径 一是建立直角坐标系用坐标运算研究向量间的问题 二是用基 底表示后直接运算 3 平面向量的线性运算中应注意以下几个关键要素 基底向量的建立 未知向量与基底向量的关系 向量条件的几何意义 参数取值范围的几何解法 例题 1 如图 在等腰直角ABO 中 设 1 OAa OBb OAOBC 为AB上靠近点A的 四等分点 过C作AB的垂线l 设P为垂线上任一点 OPp 则 pba 练习 1 如图 在矩形 ABCD 中 AB BC 2 点 E 为 BC 的中点 点 F 在边 CD 上 若 2 则 的值是 AB AF 2 AE BF 例题 2 如图 在正方形 ABCD 中 E 为 AB 的中点 P 为以 A 为圆心 AB 为半径的圆弧上的任意一点 设向量 则 的最小值为AC DE AP O A B P C A B M N E C F 第 4 题图 第 3 题图 练习 2 设 e1 e2是夹角为 60 的两个单位向量 已知 e1 OM e2 x y x y 为实数 若 PMN 是以 MON OP OM ON 为直角顶点的直角三角形 则 x y 取值的集合为 练习 1 已知且 则 最 2 4 2 3 OAOBAOBOCxOAyOB x yR 21xy OC 小值是 2 如图 A B 是半径为 1 的圆 O 上两点 且 AOB 若点 C 是圆 O 上任意一点 则 的取 3 OA BC 值范围为 3 如图 ABC 是边长为2 3的等边三角形 P 是以 C 为圆心 1 为半径的圆上的任意一点 则 AP BP A 4 在锐角ABC 中 角A B C的对边分别为a b c 且满足 2 coscosacBbC 1 求角B的大小 2 设 sin 1 3 cos2 mAnA 试m n 求的取值范围 5 如图 半径为 1 圆心角为圆弧上有一点 C 2 3 AB 1 当 C 为圆弧 中点时 D 为线段 OA 上任一点 求的最小值 AB ODOC 2 当 C 在圆弧 上运动时 D E 分别为线段 OA OB 的中点 求 的取值范围 AB CEDE 平面向量练习 1 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 设向量 x sin B sin C 向量 y cos B cos C 向量 z cos B cos C 若 z x y 则 tan B tan C 的值为 2 若 O 是所在平面内一点 且满足 则的形状为ABCA2OBOCOBOCOA ABCA 3 如图 AB 是半圆 O 的直径 C D 是弧 AB 三等分点 M N 是线段 AB 的三等分点 若 OA 6 则 的值是 MD NC 4 平面内两个非零向量 满足 1 且 与 夹角为 135 则 的取值范围 5 等边三角形 ABC 中 P 在线段 AB 上 且 若 则实数 的值AP AB CP AB PA PB 是 6 如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A D 分别在 x 轴 y 轴正半轴上 含原点 滑动 则 A E D C B 的最大值是 OB OC 7 等腰直角三角形 ABC 中 A 90 AB AD 是 BC 边上的高 P 为 AD 的中点 点 2 M N 分别为 AB 边和 AC 边上的点 且 M N 关于直线 AD 对称 当 时 PM PN 1 2 AM MB 8 设向量 a cos sin b cos sin 其中 0 若 2a b a 2b 则 9 在 ABC 中 AB 1 AC 2 O 为 ABC 外接圆的圆心 则 AO BC 10 在平面直角坐标系 xOy 中 设 A B C 是圆 x2 y2 1 上相异三点 若存在正实数 使 得 则 2 3 2的取值范围是 OC OA OB 11 已知点 A 2 0 B 0 2 点 C x y 在以原点为圆心的单位圆上 1 若 O 为坐标原点 求向量与的夹角 OA OC 7 OB OC 2 若 求点 C 的坐标 AC BC 12 已知在锐角 ABC 中 两向量 p 2 2sin A cos A sin A q sin A cos A 1 sin A 且 p 与 q 是共线向量 1 求 A 的大小 2 求函数 y 2sin2B cos取最大值时 B 的大小 C 3B 2 13 已知函数的图象在点P 1 f 1 处的切线方程是y 1 其中实数a b是常bx x xa xf ln 数 求实数 a b 的值 若 x 1 是函数的唯一零点 求实数 c 的取值范围 2 ln1 xxcxg 若对任意的正实数 x 以及任意大于 m 的实数 t 都有恒成立 求实数 m t t x tx txln ln 的最小值 22 解 解 函数的图象在点 P 1 f 1 处的切线方程是 y 1 b x xa xf 2 ln1 xf 即 3 分 0 1 1 1 f f 0 1 ba b 1 1 b a 定义域为 0 4 分 xg x cx x x c xg 2 2 2 若 c 0 则 在 0 上是减函数 0 0 2 2 x x cx xg xg 又 x 1 是函数的唯一零点 符合条件 5 分0 1 g xg 若 c 0 则由得 0 0 2 2 x x cx xg 2 c x 列表 6 分 i 若 即 2 c 0 则 又1 2 c 0 1 2 g c g lim 0 xg x 在 0 内有 1 个零点 从而有两个零点 不合条件 7 分 xg 2 c xg x 0 2 c 2 c 2 c xg 0 xg ii 若 即 c 2 则 当且仅当 x 1 时取 1 2 c 0 1 2 g c gxg x 1 是函数的唯一零点 符合条件 8 分 xg iii 若 即 c1