2019_2020学年高中数学第二章直线与平面垂直的判定限时规范训练新人教A版.docx

2.3.1 直线与平面垂直的判定【基础练习】1(2019年江西抚州校级月考)下面四个命题：过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个其中正确的是()ABCD【答案】C【解析】过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故不正确；易知均正确故选C2已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在【答案】B【解析】若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在3线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为()A30B45C60 D120【答案】C【解析】如图，AC，ABB，则BC是AB在平面内的射影，则BCAB，所以ABC60，它是AB与平面所成的角4空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交【答案】C【解析】如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，BD平面AOC，BDAC.又BD，AC异面，故选C5已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是ABC的_【答案】外心【解析】P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等，所以是外心6如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数有_【答案】4【解析】PA平面ABC，PAAC，PAAB，PABC.又BCAC，PAACA，BC平面PAC.BCPC.四面体PABC中直角三角形有PAC，PAB，ABC，PBC，共4个7在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D.【证明】如图，连接AC，则ACBD.BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1AC.A1C平面A1AC，BDA1C.同理可证BC1A1C.又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，A1C平面BC1D.8如图，在直角三角形BMC中，BCM90，MBC60，BM5，MA3且MAAC，AB4，求MC与平面ABC所成角的正弦值【解析】因为BM5，MA3，AB4，所以AB2AM2BM2，所以MAAB.因为MAAC，AB，AC平面ABC，ABACA，所以MA平面ABC.所以MCA即为MC与平面ABC所成的角因为MBC60，所以MC.所以sinMCA.【能力提升】9已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直且A，B，C在同一平面内，P在平面ABC外，PH平面ABC于点H，则垂足H是ABC的()A外心B内心C垂心 D重心【答案】C【解析】易证AHBC，BHAC，CHAB，故点H为ABC的垂心10在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD且PA，则PC与平面ABCD所成角的大小为()A30B45C60 D90【答案】C【解析】如图，连接AC.PA平面ABCD，PCA就是PC与平面ABCD所成的角AC，PA，tanPCA.PCA60.11(2019年重庆模拟)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD.再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD.而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而AC垂直于SB，A正确因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD，B正确设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是ASO，SC与平面SBD所成的角就是CSO，易知这两个角相等，C正确AB与SC所成的角等于SCD，而DC与SA所成的角是SAB，这两个角不相等，D错误故选D12如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M.(1)求证：PD平面ABM；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值【解析】(1)证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AD平面PAD，PA平面PAD，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD.BMPD，ABBMB，AB平面ABM，BM平面ABM，PD平面ABM.(2)由(1)知AMPD.又PAAD，则M是PD的中点在RtPAD中，AM.在RtCDM中，MC.可证AM平面PCD，则AM