高中数学数形结合习题

1 1 若对任意x R 不等式 xax 恒成立 则实数a的取值范围是 C A 1a B 1a C 1a D 1a 2 若圆 22 44100 xyxy 上至少有三个不同点到直线l 0axby 的距离为 2 2 则直线l的倾斜角的取值范围是 5 12 12 3 在下列四个函数中 满足性质 对于区间 1 2 上的任意 1212 x x xx 1221 f xf xxx 恒成立 的只有 A A 1 f x x B f xx C 2xf x D 2 f xx 4 若直线kxy 与曲线 2 1yx 恰有一个公共点 则k的取值范围是 2 k或 1 1 4 kxy 表示一组斜率为 1 的平行直线 2 1yx 表示 y 轴的右半圆 如图可知 简要评述 数形结合思想的灵活运用 此题 可以进一步拓展 2 1yx 2 1xy 等 5 若关于 x 的方程有四个不相等的实根 则实数 m 的取值范围为 2 45xxm 15m 题型解析题型解析 例例 1 方程 sin2x sinx 在区间 0 2 解的个数为 y A 1 B 2 C 3 D 4 g o f x 分析 解方程 f x g x 的问题归结为两个函数 y f x 与 y g x 的交点横坐标 特别是求方程近似解时此方法非常有效 2 解 如图 在同一坐标系内 作出 y sin2x x 0 2 g sinx x 0 2 的图有三个 交点 故方程 sin2x sinx 在 0 2 内有三个解 一般情况下将方程化为一端为曲线 一端为动直线时 解题较为简单 考查逻辑思维能 力与计算能力 还体现了化归与转化和分类讨论的思想 练习练习 设 f x 是定义在 R 上以 2 为周期的函数 对于 K Z 用 k Z表示区间 2k 1 2k 1 已知 x 0 Z时 有 f x 2 x 1 求 f x 在 k Z上的解析式 2 对于自然数 K 求集合 K M a 使方程 f x ax 在 k Z上有两个不相等的实根 解 1 如右图 从图形可以看出 f x 2 2 xk y 2 如下图 由 f x ax x k Z 得 2 2 xk ax o x 即 2 x 4k a x 4 2 k 0 考察函数 f x 2 x 4k a x 4 2 k x 2k 1 2k 1 的图 象位置 依题意该函数图象在 2k 1 2k 1 内必与 x 轴有两个不同交点 则有 0 y f 2k 1 0 f 2k 1 0 2k 2k 1 4k a 2 2k 1 o 2k 1 2k 1 x 从中解得 0 a 1 2k 1 k N 故 K M a 0 a 1 2k 1 k N 例例 2 已知三点 12 15 2 43 0 AmB mC mmm 问 m 为何值时 dABBC 最小 并求最小值 分析 根据三个点横坐标的特点可知 它们在坐标系中是从左到右依次排列的 当且 仅当它们共线时 dABBC 最小 解 依题意知 当三点共线时dABBC 最小 此时 ABBC kk 523 1 1 AB mm k mm 435 42 21 BC m km mm 3 42 m m m 3 解得 3 4 m 舍去 或1m 1m 此时三个点分别为 13 2 5 3 7 ABC 22 73 3 1 2 5dABBCAC 练习 练习 已知点 35 M 在 y 轴和直线yx 上分别找一点 P 和 N 使得MNP 的周长最 小 分析 作点 35 M 关于 y 轴和直线yx 的对称点 12 MM 则 1 MPM P 2 MNM N 所以MNP 的周长等于 12 M PPNM N 当且仅当 12 MMP 三点共线时取最小值 所以点PN 应为直线 12 M M和 y 轴与直线yx 的 交点 解 作点 35 M 关于 y 轴和直线yx 的对称点 12 MM 则点 12 MM 的坐标分别为 35 5 3 由两点式得 53 3553 yx 整理得4170 xy 即为直线 12 M M的方程 易得它和 y 轴和直线yx 的交点坐标分别为 1717 17 0 455 即使得MNP 周长最小的点 P 和 N 的坐标分别为 1717 17 0 455 评注 本题利用对称思想为线段找到了 替身 从而将问题转化成了两点之间线段最 短的问题 例例 3 已知点 P ab 在直线10mxy 上 且 22 21aba 的最小值为2 求 m 的值 解 2222 21 1 abaab 它是点 P ab 和点 10 之间的距离 它的最小值就是点 10 到直线 4 10mxy 的距离 由点到直线的距离公式可得 2 1 2 1 m m 平方得 22 2122mmm 整理得 2 1 0m 1m 评注 本题通过挖掘代数式的几何意义 将点点距转化成了点线距 这种以距离为背 景的题型时有出现 请同学们注意训练和总结 练习练习 求点 14 P 到直线 1 2 50lmxm ym 的距离d的最大值 分析 对直线方程 1 2 50mxm ym 整理后 我们会发现它表示过定点 12 Q 的一条直线 因为点线之间垂线段最短 所以dPQ 当且仅当PQl 时取等 号 即此时d取得最大值PQ 解 1 2 50mxm ym 可化为25 1 0 xym xy 它表示过直线250 xy 和10 xy 交点的直线 解方程组 250 10 xy xy 得两直线交点为 12 Q 即直线l恒过定点 12 Q 当PQl 时d取最大值PQ 22 1 1 42 2 2PQ d的最大值为2 2 例例 4 已知 a2 a b 求证 分析与解 读完题目与任何一个图形似乎很难联系起来 我们在对已知条件的分析 中 去寻觅解题的灵感 5 a2 a b 即为 b a a2 要证 b 那么 a 与 k 如何取得联系呢 令 这样一来 一个二次函数的图形出现了 它对解题有帮助 吗 二次函数 g a 的图象的对称轴为上单调递增 又 b g a 反思 在分析已知条件时找到了一个能够帮助我们解决问题的图形 而正是这个图形 的启示 以后的思路畅通无阻了 数形结合 发生在解题过程中的任何时刻 我们绝不是刻意地去追求或精心地去构造直观 的几何图形 而这个在解题时十分有用的直观图往往总是在对问题透彻了解之后突然出现 的 这就是解题中的灵感 例例 5 已知实数 a b 满足 a b 1 求证 a 3 2 b 4 2 2 思考与分析 本题看似一不等式证明题 但是我们通过分析 不等式左端是距离的平 方的形式 由已知条件 我们可以把问题转化为点在直线上的位置关系 进而由点到直线 的距离公式求解 证明 不等式左端可视为点 P a b 到点 Q 3 4 的距离的平方 而点 P a b 可看作直线 l x y 1 上的任意 一点 于是问题转化为点 P 在直线 l 上什么位置时线段 PQ 最短 当然是 PQ l 时点 Q 到 l 的距离最短 所以如下图 反思 本题我们主要是利用点到直线的距离公式的几何意义解题 6 练习练习 已知 a b c 为正实数 求证 2 a b c 22 ab 22 bc 22 ca 2 a b c 分析 由欲证不等式中的 22 ab 联想到勾股定理 D a b c C 把 22 ab 看作边长分别为 a b 的矩形的对角线 因此 我们 c 可以构造如图所示的图形 以 a b c 为边构成正方形 ABCD b 则 AC 2 a b c AE 22 ab EF 22 bc FC 22 ca A B 而 AC AE EF FC AD CD 所以有 2 a b c 22 ab 22 bc 22 ca 2 a b c 注 观察 联想是构造图行 创新解题的关键 注 有些题目若按常规的代数解法需要讨论 比较烦琐且易产生遗漏现象 我们这样构 造利用图象分析 得出答案非常直观简洁 例例 6 6 不等式 2 4axxx 的解集是 0 4 则a的取值范围是 A 0a B 4a C 0a D 0a 分析 分别作出yax 与 2 4yxx 的图象 从图象上很容易得到结论 解 令yax 2 4yxx 04 x yax 是过原点且斜率为a的直线 2 4yxx 04 x 是圆心在 2 0 半径为 2 2 的圆在x轴及x轴上方的部分 不等式 2 4xxax 的几何意义是半圆在 0 4 上恒处于直线的上方 如图 可知0a 是 上述结论成立 a的取值范围是0a 选 C y 2 x 7 综合自测综合自测 1 设 bababa 则 62 22 R 的最小值是 3 2 设奇函数 f x 的定义域为 0 0 且在 0 上单调递增 f 1 0 则不等式 的解集是 1 0 2 f x x 2 解析 由已知画出 y f x 的图象可知 当 x 1 0 1 时 f x 0 当 x 1 0 1 时 f x 0 又 2 1111 1 241616 x xx 成立 则必有 1 0 2 f x x 0 x x 2 1 1 解之得 4 171 x 0 或 2 1 x 4 171 3 抛物线 2 2yx 上的点 P 到直线4yx 有最短的距离 则 P 的坐标是 解析解析 1 设直线yxm 与 2 2yx 相切 联立整理得 22 2 1 0 xmxm 由 22 4 1 40mm 得 1 2 m 这时得切点 1 2 1 4 设F为抛物线 2 4yx 的焦点 A BC 为该抛物线上三点 若FA FBFC 0 则 FAFBFC 6 5 已知向量 2 0 OB 向量 2 2 OC 向量 2cos 2sin CA 则向量 OA 与向量OB 的夹角的取值范围是 答案 1 由 2cos 2sin CA 知点 A 在以 C 2 2 为圆心 2为半径的圆周上 如图 过原点 O 作 圆 C 的切线 OA A为切点 由2 2OC 2AC 知 6 AOC 有 4612 AOB y 1O1x 8 过点 O 作另一切线 OA A为切点 则 5 4612 A OB 5 12 12 6 直线 2yk 与曲线 2222 918k xykx kR 且k0 的公共点的个数为 4 7 关于 x 的方程 222 1 1 0 xxk 给出下列四个命题 存在实数 k 使得方程恰有 2 个不同的实根 存在实数 k 使得方程恰有 4 个不同的实 根 存在实数 k 使得方程恰有 5 个不同的实根 存在实数 k 使得方程恰有 8 个不同的实 根 其中假命题的个数是 设 2 1ux 化原式为 2 uuk 画出函数 2 yuu 的图象 看使 u 1 的解的个数 可知假命题的个数为 0 8 对 Rba 记则 bab baa ba max 则函数 max1 2f xxxxR 的最小值是 解析 由 2 1 2121 22 xxxxx 1 1 2 1 2 2 xx f x xx 如右图 min 13 22 fxf 9 如果实数 x y 满足 32 2 yx 那么 x y 的最大值是 如图 联结圆心 C 与切点 M 则由 OM CM 又 Rt OMC 中 OC 2 CM 3 所以 OM 1 得 3 OM MC x y O M C y x y x 1 y x 2 y 1 2ox 9 10 求函数 x2 x1 y 2 的最大值 解 由定义知 1 2 x 0 且 2 x 0 1 x 1 故可设 x cos 0 则有 2 cos 0sin 2cos sin y 可看作是动点 M cos sin 0 与定点 A 2 0 连线的斜率 而动点 M 的轨迹方程 siny cosx 0 即 22 1xy y 0 1 是半圆 设切线为 AT T 为切点 OT 1 OA 2 3 1 kAT 0 kAM 3 1 即函数的值域为 0 3 3 故最大值为 3 3 11 求函数的最值 utt 246 解 设 则xtytuxy 246 且 xyxy 22 216 0402 2 uyxu 所给函数化为以为参数的直线方程 它与椭圆 22 216xy 在第一象限的部分 包括端点 有公共点 如图 umin 2 2 相切于第一象限时 u 取最大值 yxu xy xuxu 22 22 216 342160 解 得 取 uu2 62 6 umax 2 6 10 12 已知 acos bsin c acos bsin c ab 0 k k Z 求证 22 2 2 2 cos ba c 分析 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由 A B 两点坐标特点 知其在单位圆上 还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义 这样才能巧用数形结合 方法完成解题 证明 在平面直角坐标系中 点 A cos sin 与点 B cos sin 是直线 l ax by c 与单位圆 x2 y2 1 的两个交点如图 从而 AB 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2cos 又 单位圆的圆心到直线 l 的距离 22 ba c d 由平面几何知识知 OA 2 2 1 AB 2 d2即 ba c d 2 2 2 4 cos 22 1 22 2 2 2 cos ba c 13 若不等式 2 1 12 2 mxmx对满足 的所有 m 都成立 求 x 的取值范围 解 原不等式化为 2 x 1 m 2x 1 0 记 f m 2 x 1 m 2x 1 2 m 2 其图像是线段 结合图像和题意知 只须 f 2 2 2 x 1 2x 1 0 f 2 2 2 x 1 2x 1 0 即 2 2230 xx 11 2 2210 xx 解之 x 的取值范围为 2 31 2 71 x 14 已知二次函数 1 yf x 的图象