浙江省杭州市萧山区2016届中考数学模拟试卷（3月份）含答案解析

第 1 页（共 28 页） 2016 年浙江省杭州市萧山区中考数学模拟试卷（ 3 月份） 一 题有 10 个小题，每小题 3分，共 30 分） 1下列式子的计算结果为 26 的是（ ） A 23+23 B 2323 C（ 23） 3 D 21222 2 会来了，在全民的公益热潮中，杭州的志愿者们摩拳擦掌，想为世界展示一个美丽幸福文明的杭州据统计，目前杭州市注册志愿者已达 05人而这个数字，还在不断地增加请问近似数 05的精确度是（ ） A百分位 B个位 C千位 D十万位 3下列等式成 立的是（ ） A B（ x 1）（ 1 x） =1 D（ x 1） 2=x+1 4下列关于方程 x2+x 1=0 的说法中正确的是（ ） A该方程有两个相等的实数根 B该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数 C该方程有一根为 D该方程有一根恰为黄金比例 5下列命题中，正确的是（ ） A菱形的对角线相等 B平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C正方形的对角线相等且互相垂直 D矩形的对角线不能相等 6在平面直角坐标系 ，经过点（ 的直线，与以原点为圆心， 2 为半径的圆的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D以上三者都有可能 第 2 页（共 28 页） 7若 ，且 x+y=5，则 x 的取值范围是（ ） A x B x 5 C x 7 D x7 8如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为 120、半径长为 6，圆锥的高与母线的夹角为 ，则（ ） A圆锥的底面半径为 3 B C圆锥的表面积为 12 D该圆锥的主视图的面积为 8 9设函数 y=kx+k 1（ k 为常数），下列说法正确的是（ ） A对任意实数 k，函数与 x 轴都没有交点 B存在实数 n，满足当 xn 时，函数 y 的值都随 x 的增大而减小 C k 取不同的值时，二次函数 y 的顶点始终在同一条直线上 D对任意实数 k，抛物线 y=kx+k 1 都必定经过唯一定点 10如图， O 是 外接圆，已知 分 O 于点 D，连结 长 交于点 F现给出下列结论： 若 ， ，则 ； 若直径 点 H， C=4， ，则 ； 则正确的结论是（ ） A B C D 第 3 页（共 28 页） 二认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4分，共 24 分） 11数据 2， 2， 2， 5， 6， 8 的中位数是 ；众数是 12分解因式： 4 13一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为 8 ，则 a 的值为 14已知二次函数 y=x2+bx+c（其中 b， c 为常数， c 0）的顶点恰为函数 y=2x 和 y= 的其中一个交点则当 a2+ab+c 2a 时， a 的取值范围是 15如图，将正方形 边 边 叠，使点 C 与点 D 重合于正方形内部一点 O，已知点 O 到边 距离为 a，则点 O 到边 距离为 （用 a 的代数式表示） 16如图，已知 ， 0， ， ，点 E、 M 是线段 的两个不同的动点（不与端点重合），分别过 E、 M 作 垂线，垂足分别为 K、 L 积 S 的最大值为 ； 若以 边构造平行四边形 ， L= 三全面答一答（本题有 7 个小题，共 66 分） 第 4 页（共 28 页） 17化简： ，并回答：对于任何的 a 的值，原式都有意义吗？如果不是，则写出所有令原式无意义的 a 的值 18在 ， C，点 E， F 分别在 ， F， 交于点 P求证：C，并直接写出图中其他相等的线段 19如图，是杭州市 2016 年 2 月份的空气质量指数的 线统计图，空气质量指数 值在不同的区间，就代表了不同的空气质量水平（如在 0 50 之间，代表 “优 ”； 51 100 之间，代表 “良 ”； 101 150 之间，代表 “轻度污染 ”等）以下是关于杭州市 2016 年 2 月份空气质量天数情况统计图 （ 1）根据三个图表中的信息，请补全条形统计图和扇形统计图中缺失的数据（扇形统计图中的数据精确到 1%） （ 2）求出图 3 中表示轻度污染的扇形圆心角的度数（结果精 确到度） （ 3）在杭州，有一种 “蓝 ”叫 “西湖蓝 ”现在的一年中，我们至少有超过一半以上的时间能看见 “西湖蓝 ”请估算 2016 年一年杭州的空气质量为优良的天数（一年按 365 计，精确到天） 20已知 y 是关于 x 的函数，且 x， y 满足方程组 ， 第 5 页（共 28 页） （ 1）求函数 y 的表达式； （ 2）若点 P 的坐标为（ m， 0），求以 P 为圆心、 1 为半径的圆与函数 y 的图象有交点时， m 的取值范围 21平面直角坐标系中，有 A、 B、 C 三点，其中 A 为原点，点 B 和点 C 的坐标分别为（ 5， 0）和（ 1， 2） （ 1）证明： （ 2）请你在直角坐标系中找一点 D，使得 似，写出所有满足条件的点 D 的坐标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形 （ 3）在第（ 2）题所作的图中，连接任意两个直角三角形（包括 直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，求取到长度为无理数的线段的概率 22设函数 y=（ 3）（ x+1）（其中 k 为常数） （ 1）当 k= 2 时，函数 y 存在最值吗？若存在，请求出这个最值 （ 2）在 x 0 时，要使函数 y 的值随 x 的增大 而减小，求 k 应满足的条件 （ 3）若函数 y 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，求能使 等腰三角形的 分母保留根号，不必化简） 23如图， 是边长为 4 的等边三角形， 顶点 D 为 一边 中点， 点 D 旋转，且边 终分别交 边 点 H、 G，图中直线侧的图形关于直线 轴对称连结 HG，其中 别交 点 I、 J （ 1）求证： （ 2）设 CG=x，四边形 G 的面积为 y， 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围 求当 x 为何值时， y 的值最大，最大值为多少？ 第 6 页（共 28 页） 2016 年浙江省杭州市萧山区中考数学模拟试卷（ 3 月份） 参考答案与试题解析 一 题有 10 个小题，每小题 3分，共 30 分） 1下列式子的计算结果为 26 的是（ ） A 23+23 B 2323 C（ 23） 3 D 21222 【考点】 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】 计算题；实 数 【分析】 各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】 解： A、原式 =23（ 1+1） =24，不合题意； B、原式 =23+3=26，符合题意； C、原式 =29，不合题意； D、原式 =212 2=210，不合题意 故选 B 【点评】 此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键 2 会来了，在全民的公益热潮中，杭州的志愿者们摩拳擦掌，想为世界展示一个美丽幸福文明的杭州据统计，目前杭州市注册志愿者已达 05人而这个数字， 还在不断地增加请问近似数 05的精确度是（ ） A百分位 B个位 C千位 D十万位 【考点】 近似数和有效数字 【分析】 根据近似数的精确度求解 【解答】 解：近似数 05精确到千位 故选 C 【点评】 本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是 0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法 第 7 页（共 28 页） 3下列等式成立的是（ ） A B（ x 1）（ 1 x） =1 D（ x 1） 2=x+1 【考点】 分式的混合运算；整式的混合运算 【分析】 利用分式的性质以及整式混合运算的计算方法逐一计算结果，进一步判断得出答案即可 【解答】 解： A、 不能约分，此选项错误； B、（ x 1）（ 1 x） = 1+选项错误； C、 = ，此选项错误； D、（ x 1） 2=x+1，此选项正确 故选： D 【点评】 此题考查分式的混合运算，整式的混合运算，掌握分式的性质和整式混合运算的方法是解决问题的关键 4下列关于方程 x2+x 1=0 的说法中正确的是（ ） A该方程有两个相等的实数根 B该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数 C该方程有一根为 D该方程有一根恰为黄金比例 【考点】 根的 判别式；解一元二次方程 【分析】 根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及一元二次方程根的意义逐一进行判断即可 【解答】 解： A、 =12+41 0， 程 x2+x 1=0 有两个不相等的实数根，此选项错误； B、方程两根的和为 1，它们不互为相反数，此选项错误； C、把 x= 代入 x2+x 1 得 x2+x0，故此选项错误； D、把 x= 代入 x2+x 1 得 x2+x=0，故此选项正确 故选 ： D 第 8 页（共 28 页） 【点评】 此题考查了一元二次方程的解，根的情况与判别式 的关系：（ 1） 0方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0方程有两个相等的实数根；（ 3） 0方程没有实数根 5下列命题中，正确的是（ ） A菱形的对角线相等 B平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C正方形的对角线相等且互相垂直 D矩形的对角线不能相等 【考点】 命题与定理 【分析】 根据菱形的性质对 A 进行判断；根据平行四边形的性质和轴对称的定义对 B 进行判断；根据正方形的性质对 C 进行判断；根据矩形的性质对 D 进行判断 【解答】 解： A、菱形的对角线相互垂直平分，所以 A 选项错误； B、平行四边形不是轴对称图形，只是中心对称图形，所以 B 选项错误； C、正方形的对角线相等且互相垂直，所以 C 选正确； D、矩形的对角线相等，所以 D 选项错误 故选 C 【点评】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成 “如果 那么 ”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 6在平面直角坐标系 ，经过点（ 的直线，与以原点为圆心， 2 为半径的圆的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D以上三者都有可能 【考点】 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；特殊角的三角函数值 【分析】 设直线经过的点为 A，若点 A 在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算 长和半径 2 比较大小再做选择 【解答】 解：设直线经过的点为 A， 点 A 的坐标为（ ， 第 9 页（共 28 页） = ， 圆的半径为 2， 2， 点 A 在圆内， 直线和圆一定相交， 故选 A 【点评】 本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，判定点 A 和圆的位置关系是解题关键 7若 ，且 x+y=5，则 x 的取值范围是（ ） A x B x 5 C x 7 D x7 【考点】 二次根式的乘除法 【分析】 直接利用二次根式有意义的条件，得出 y 的取值范围，进而得出答案 【解答】 解： ， y+20， 2x 1 0， 解得： y 2， x ， x+y=5， x7 故选： D 【点评】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，得出 y 的取值范围是解题关键 第 10 页（共 28 页） 8如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为 120、半径长为 6，圆锥的高与母线的夹角为 ，则（ ） A圆锥的底面半径为 3 B C圆锥的表面积为 12 D该圆锥的主视图的面积为 8 【考点】 圆锥的计算 【分析】 根据圆锥的侧面展开图的弧长 =2r= ，求出 r 以及圆锥的高 h 即可解决问题 【解答】 解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h 由题意： 2r= ，解得 r=2， h= =4 ， 所以 = ，圆锥的主视图的面积 = 44 =8 ，表面积 =4+26=16 选项 A、 B、 C 错误， D 正确 故选 D 【点评】 本题考查圆锥的有关知识，记住侧面展开图的弧长 =2r= ，圆锥的表面积 =解决问题的关键，属于中考常考题型 9设函数 y=kx+k 1（ k 为常数），下列说法正确的是（ ） A对任意实数 k，函数与 x 轴都没有交点 B存在实数 n，满足当 xn 时，函数 y 的值都随 x 的增大而减小 C k 取不同的值时，二次函数 y 的顶点始终在同一条直线上 D对任意实数 k，抛物线 y=kx+k 1 都必定经过唯一定点 【考点】 二次函数的性质 【分析】 A、计算出 ，根据 的值进行判断； B、根据二次函数的性质即可判断； C、得到抛物线的顶点，写成方程组，消去 k 得 y= x 1，即可判断； D、令 k=1 和 k=0，得到方程组，求出所过点的坐标， 再将坐标代入原式验证即可； 第 11 页（共 28 页） 【解答】 解： A、 =（ 2k） 2 4（ k 1） =44k+4=4（ k ） 2+3 0， 抛物线的与 x 轴都有两个交点，故 A 错误； B、 a=1 0，抛物线的对称轴 x= = k， 在对称轴的左侧函数 y 的值都随 x 的增大而减小， 即当 x k 时，函数 y 的值都随 x 的增大而减小， 当 n= k 时，当 xn 时，函数 y 的值都随 x 的增大而增大，故 B 错误； C、 y=kx+k 1=（ x+k） 2 k2+k 1， 抛物线的顶点为（ k， k2+k 1）， ， 消去 k 得， y= x 1 由此可见，不论 k 取任何实数，抛物线的顶点都满足函数 y= x 1， 即在二次函数 y= x 1 的图象上故 C 错误； D、令 k=1 和 k=0，得到方程组： ，解得 ， 将 代入 kx+k 1 得， k+k 1= ，与 k 值无关，不论 k 取何值，抛物线总是经过一个定点（ ， ），故 D 正确 故选 D 【点评】 本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键 10如图， O 是 外接圆，已知 分 O 于点 D，连结 长 交于点 F现给出下列结论： 若 ， ，则 ； 第 12 页（共 28 页） 若直径 点 H， C=4， ，则 ； 则正确的结论是（ ） A B C D 【考点】 圆的综合题 【分析】 只需证明 用对 应线段成比例求解即可； 连接 设 出与题意不符即可判断； 由公共角和同弧所对的圆周角相等即可判断； 先证明 出 长度，根据垂径定理求出 合三角函数即可求解 【解答】 解： 如图 1， 分 ， 由 ， ，可求 ， 第 13 页（共 28 页） 不正确； 如图 2， 连接 80， 80， 若 为 则有： 已知不符， 故 不正确； 如图 3， F= F， 故 正确； 如图 4， 第 14 页（共 28 页） 连接 知： 又 F= F， ， 由 C=4， ，可求： ， ， F ， 直径 ， ， = ， 故 正确； 故选： C 【点评】 此题主要考查圆的综合问题，熟悉圆的相关性质，会证明三角形相似并解决相关问题，能灵活运用垂径定理和三角函数是解题的关键 二认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4分，共 24 分） 11数据 2， 2， 2， 5， 6， 8 的中位数是 众数是 2 【考点】 众数；中位数 【分析】 根据中位数以及众数的定 义解答即可，解答时要特别注意先把数据排序 【解答】 解：数据 2， 2， 2， 5， 6， 8 的中位数是 为 2 出现的次数最多，所以此数据的众数是 2 第 15 页（共 28 页） 故答案为： 2 【点评】 本题考查了众数与中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错 12分解因式： 4m+2）（ m 2） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【专题】 计算题；因式分解 【分析】 原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】 解：原式 =4） =m+2）（ m 2）， 故答案为： m+2）（ m 2） 【点评】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 13一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为 8 ，则 a 的值为 【考点】 由三视图判断几何体 【分析】 根据左视图中的 a 就是俯视图等边三角形的高，由此根据侧面积列出方程即可解决 【解答】 解：由题意： 3 a =8 ， 解得 a= 故答案为 【点评】 本题考查三视图的有关知识，解题关键是理解左视图中的 a 就是俯视图等边三角形的高，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型 第 16 页（共 28 页） 14已知二次函数 y=x2+bx+c（其中 b， c 为常数， c 0）的顶点恰为函数 y=2x 和 y= 的其中一个交点则当 a2+ab+c 2a 时， a 的取值范围是 1 a 0 或 a 3 【考点】 二次函数与不等式（组） 【专题】 数形结合 【分析】 只需先求出抛物线的 顶点坐标，再求出抛物线与直线 y=2x 的交点，然后结合函数图象就可解决问题 【解答】 解：解方程组 ，得 ， 当抛物线 y=x2+bx+c 顶点为（ 1， 2）时， 抛物线的解析式为 y=（ x 1） 2+2=2x+3 解方程组 ，得 ， 结合图象可得： 当 a2+ab+c 2a 时， a 的取值范围是 1 a 0 或 a 3； 当抛物线 y=x2+bx+c 顶点为（ 1， 2）时， 抛物线的解析式为 y=（ x+1） 2 2=x 1 c= 1 0，与条件 c 0 矛盾，故舍去 故答案为 1 a 0 或 a 3 第 17 页（共 28 页） 【点评】 本题主要考查了直线与反比例函数图象的交点、抛物线的顶点坐标公式、 直线与抛物线的交点等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键 15如图，将正方形 边 边 叠，使点 C 与点 D 重合于正方形内部一点 O，已知点 O 到边 距离为 a，则点 O 到边 距离为 （ 3+2 ） a （用 a 的代数式表示） 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 作 G，交 H，根据翻转变换的性质得到 D， C， D=90， C=90，根据直角三角形的性质和勾股定理求出 到正方形的边长，计算即可 【解答】 解：作 G，交 H， H， 由翻转变换的性质可知， D， C， D=90， C=90， 等边三角形， 20， 0， a， a， E=2a， C=2a， a， a+2 a， 点 O 到边 距离为 4a+2 a a=3a+2 a=（ 3+2 ） a 故答案为：（ 3+2 ） a 第 18 页（共 28 页） 【点评】 本题考查的是翻转变换的性质和等 边三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 16如图，已知 ， 0， ， ，点 E、 M 是线段 的两个不同的动点（不与端点重合），分别过 E、 M 作 垂线，垂足分别为 K、 L 积 S 的最大值为 ； 若以 边构造平行四边形 ， L= 【考点】 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】 根据条件证明 到比例式，用含 式子表示 据三角形的面积公式，列出关于 关系式即可； 根据菱形的性质和勾股定理，利用一元二次方程根与系数的关系，求出答案 【解答】 解： 0， = ， ， ， S= E= ， 设 OK=x，则 S= = ， 当 x= 时， S 有最大值，最大值为 ； 解：当 ，平行四边形 菱形， 取值范围为 3， 设 OK=a， OL=b， 由（ 1）得， ， ， 第 19 页（共 28 页） 由 M 得 2= 2 设 y= 2= x+9， 则当 x1=a， x2=b 时，函数 y 的值相等 函数 y 的对称轴为直线 x 即 = 解得 a+b= ，即 L= 故答案为： ， 【点评】 本题综合考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、二次函数的知识，综合性很强，属于较难题，需要学生有综合运用知识的能力 三全面答一答（本题有 7 个小题，共 66 分） 17化简： ，并回答： 对于任何的 a 的值，原式都有意义吗？如果不是，则写出所有令原式无意义的 a 的值 【考点】 分式的混合运算；分式有意义的条件 【分析】 首先把分子分母因式分解，把除法改为乘法约分化简得出答案，进一步利用分式有意义与无意义的条件判定 a 的数值即可 【解答】 解：原式 = = 对于任何的 a 的值，不是原式都有意义，当 a=3， 2， 2， 0 时原式无意义 【点 评】 此题考查分式的混合运算，分式有意义的条件，掌握分式的运算方法是解决问题的关键 18在 ， C，点 E， F 分别在 ， F， 交于点 P求证：C，并直接写出图中其他相等的线段 第 20 页（共 28 页） 【考点】 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 【专题】 几何图形问题 【分析】 可证明 E，再证明 C，从而可得出 F，F 【解答】 解：在 ， ， 等三角形的对应角相等）， E（全等三角形的对应边相等）， C， F， F， 在 ， ， C， E， F， 图中相等的线段为 F， F， E 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质以 及等腰三角形的性质，是基础题，难度不大 第 21 页（共 28 页） 19如图，是杭州市 2016 年 2 月份的空气质量指数的 线统计图，空气质量指数 值在不同的区间，就代表了不同的空气质量水平（如在 0 50 之间，代表 “优 ”； 51 100 之间，代表 “良 ”； 101 150 之间，代表 “轻度污染 ”等）以下是关于杭州市 2016 年 2 月份空气质量天数情况统计图 （ 1）根据三个图表中的信息，请补全条形统计图和扇形统计图中缺失的数据（扇形统计图中的数据精确到 1%） （ 2） 求出图 3 中表示轻度污染的扇形圆心角的度数（结果精确到度） （ 3）在杭州，有一种 “蓝 ”叫 “西湖蓝 ”现在的一年中，我们至少有超过一半以上的时间能看见 “西湖蓝 ”请估算 2016 年一年杭州的空气质量为优良的天数（一年按 365 计，精确到天） 【考点】 折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图 【分析】 （ 1）根据图 1 中的数据整理出四个等级的数目，补全图 2，将图 2 中中度、轻度污染天数分别除以总天数得百分率，补全图 3； （ 2）轻度污染的扇形圆心角的度数 =轻度污染百分率 360； （ 3）一年的空气质量为优良 的天数 =365优良天数占抽查总天数得比例 【解答】 解：（ 1）补全统计图如下： （ 2）轻度污染的扇形圆心角的度数为： 31%360112； 第 22 页（共 28 页） （ 3） 2016 年一年杭州的空气质量为优良的天数为： 365239（天） 【点评】 此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体 的百分比大小 20已知 y 是关于 x 的函数，且 x， y 满足方程组 ， （ 1）求函数 y 的表达式； （ 2）若点 P 的坐标为（ m， 0），求以 P 为圆心、 1 为半径的圆与函数 y 的图象有交点时， m 的取值范围 【考点】 直线与圆的位置关系；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）把 a 作为已知数，分别得到 x、 y 和 a 的数量关系即可求出函数 y 的表达式； （ 2）易求点 A 和点 B 的坐标，当圆 P 与直线 y 相切时，设切点为 C，则 直线 y，求出此时 可得到函数 y 的图象有交点时， m 的取值范围 【解答】 解：（ 1） ， 3，得 3x+9y=12 3a， +，得 4x+8y=12，即 x+2y=3， 得， ； （ 2）当 y=0 时， x=3，即函数 y 的图象与 x 轴交于点 A（ 3， 0）， 当 x=0 时， y= ，即函数 y 的图象与 y 轴交于点 B（ 0， ）， 当圆 P 与直线 y 相切时，设切点为 C，则 直线 y， 此时 0 且 第 23 页（共 28 页） ，即 ， ， 此时， P 的横坐标为 3 或 3+ ， 当圆 P 与直线 y 有交 点时， 3 m3+ 【点评】 本题考查直线和圆的位置关系、一次函数和坐标轴的交点、相似三角形的判定和性质以及切线的性质，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题 21平面直角坐标系中，有 A、 B、 C 三点，其中 A 为原点，点 B 和点 C 的坐标分别为（ 5， 0）和（ 1， 2） （ 1）证明： （ 2）请你在直角坐标系中找一点 D，使得 似，写出所有满足条件的点 D 的坐 标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形 （ 3）在第（ 2）题所作的图中，连接任意两个直角三角形（包括 直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，求取到长度为无理数的线段的概率 【考点】 相似形综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式 【专题】 综合题；分类讨论 【分析】 （ 1）过点 C 作 x 轴于 H，如图 1，只需运用勾股定理求出 后运用勾股定理的逆定理就可解决问题； （ 2） 似，对应关系不确定，故需分六种情况（ 若 若 若 若 若 若 论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （ 3）图中的直角三角形的直角顶点有 A、 B、 C、 需求出任意两直角顶点的连线段的条数和长度为无理数的线段的条数，就可解决问题 【解答】 解：（ 1）过点 C 作 x 轴于 H，如图 1， 第 24 页（共 28 页） A（ 0， 0）， B（ 5， 0）， C（ 1， 2）， 2+22=5， 5 1） 2+22=20， 2=25， （ 2） 若 有 1， 2）； 若 有 4， 1）， 4， 1）； 若 有 5， 10）， 5， 10）； 若 有 5， 5， 若 有 0， 10）， 0， 10）； 若 有 0， 0， 所有符合要 求的三角形如图所示 （ 3）图中的直角三角形的直角顶点有 A、 B、 C、 第 25 页（共 28 页） 任意两直角顶点的连线段共有 =15 条， 其中 ， 2， 1， 1， 故长度为有理数的线段共 7 条，长度为无理数的线段共 8 条， 则取到长度为无理数的线段的概率为 p= 【点评】 本题主要考查了勾股定理及其逆 定理、相似三角形的性质、概率公式等知识，运用分类讨论的思想是解决第（ 2）小题的关键 22设函数 y=（ 3）（ x+1）（其中 k 为常数） （ 1）当 k= 2 时，函数 y 存在最值吗？若存在，请求出这个最值 （ 2）在 x 0 时，要使函数 y 的值随 x 的增大而减小，求 k 应满足的条件 （ 3）若函数 y 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，求能使 等腰三角形的 分母保留根号，不必化简） 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值 【分析】 （ 1）把 k= 2 代入抛物线解析式得到 y= 25x 3，根据顶点坐标公式即可解决 （ 2）分两种情形讨论当 k=0 时， y= 3x 3 为一次函数， k= 3 0，则当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小；当