高等数学答案[1]1

1 高等数学答案高等数学答案 第一章第一章 函数函数 1 填空题 1 2 11 2 二 选择题 1 B 2 D 3 解 12 02 01 x x x 4 解 x fxf 2 2 x x xx 3 122 1 2 2 2 2 5 解 设池底半径为米 总造价为元xy 2 250 2 2 2 r r a ray 250 2 r ra 0 r 6 解 设圆锥体积为 圆形铁片半径为 则VR 圆锥底面半径 高 2 R r 2 222 2 R RrRh 所以圆锥体积 22 2 23 2 4 243 1 R hrV 2 0 第二章第二章 极限与连续极限与连续 1 填空题 1 3 x 2 一 3 水平 4 无穷小 2 5 同阶 6 2 e 7 无限增大 或 8 0 9 x3sin9 10 2 1 e 2 选择题 1 A 2 B 3 D 4 D 5 D 6 A 7 C 8 D 9 D 10 C 11 C 12 B 13 C 14 B 15 C 16 B 17 B 18 B 3 计算 1 解 解 1 12 lim 2 2 1 x xx x 45 86 lim 2 2 1 xx xx x 1 1 lim 1 x x x 1 2 lim 1 x x x 0 4 解 解 x x x x 1 1 lim x x x 2 3tan lim 0 3 1 2 2 1 1 2 1lim x xx x x 2 e x x x 2 3 lim 0 2 3 5 6 2 2 1 lim x x x22 4sin lim 0 x x x 解 解 2 2 1lim x x x22 4sin lim 0 x x x x xx x x 22 2 2 1lim x xx x 224sin lim 0 2 e x xx x 224 lim 0 28 7 8 1 2 1 1 lim 2 1 xx x 2 cos lim x x x 解 当时 是无穷小量 1 2 1 1 lim 2 1 xx x x0 1 2 x 为有界函数 11 21 lim 1 xx x x 1cos xxcos 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小 2 1 1 1 lim 1 x x 0 cos lim 2 x x x 9 10 xx xx x 5sin 2sin lim 0 1 2 1 lim 1 x x 解 解 1 2 1lim 1 x x xx xx x 5sin 2sin lim 0 1 2 lim1 1 x x x x x x ox5sin 1 2sin 1 lim x x x x ox ox 5sin 1lim 2sin 1lim 4 6 1 51 21 11 12 1 3 1 0 2 1 lim x x x 13 lim 24 2 xx xx x 解 解 1 3 1 0 2 1lim x x x 13 lim 24 2 xx xx x 1 3 1 2 2 0 2 1lim x x x x x 22 13 11 lim xx x x 26 12 0 2 1lim x x x x 0 6 1 e 13 1 3 1 1 lim 3 1 xx x 14 12 1 4 lim x x x x 解 解 3 1 1 3 1 1 lim xx x 12 1 4 lim x x x x 2 2 1 11 31 lim xxx xx x 1 125 5 1 1 5 1lim x xx x x 1 2 lim 2 1 xx x x 1 10 e 15 16 x x x x sin 1 sin lim 2 0 x x x arctan lim 解 解 x x x x sin 1 sin lim 2 0 x x x arctan lim 当时 x x x x xx 1 sinlim sin lim 00 x0 1 x 为有界函数 x x x 1 sinlim 0 2 arctan xxarctan 当时 为无穷小 0 xx 因此0 arctan lim x x x 为有界函数 1 1 sin xx 1 sin 5 因此0 1 sinlim sin 1 sin lim 0 2 0 x x x x x xx 17 18 xx x x sin 2cos1 lim 0 4523 252 lim 74 46 xxx xxx x 解 解 4523 252 lim 74 46 xxx xxx x xx x x sin 2cos1 lim 0 652 52 4 52 3 2 52 lim xxxx xx x 2 2 0 2 2 1 lim x x x 0 2 19 20 求 3 0 sintan lim x xx x 8 2 lim cx cx x c 解 解 3 0 sintan lim x xx x x x cx cx 2 lim 3 0 cos1tan lim x xx x cx cx c cx x cx c 3 3 3 1lim 3 2 0 2 1 lim x xx x 8 3 c e 2 1 2ln38ln3 c 2ln c 21 2 2 2 x x x 2 2sin2 lim 0 2 1 2 1 2 0 2 1 1 lime x x x 23 24 2 2 4 lim 0 x x x 0 sin 1 1 sin 1 1 lim 0 x x x x x 4 求下列函数的间断点 并指出其类型 1 解 函数在处无定义 必为间断点 23 1 2 xx x y2 1 xx 由于 故为可去间断点 属于第一类间断点 1 2 1 lim 23 1 lim 1 2 1 xxx x xx 1 x 由于 故为无穷间断点 属于第二类间断点 2 1 lim 23 1 lim 2 2 2 xxx x xx 2 x 6 2 解 函数在无定义 必为间断点 x y 1 cos 0 x 均不存在 是函数的振荡间断点 属于第二类 x x 1 coslim 0 x x 1 coslim 0 0 x x y 1 cos 间断点 3 解 11 11 1 1 23 2 xxx xx x x y 函数在无定义 必为间断点 1 1 3 2 x x y1 x 3 2 1 1 lim 1 1 lim 2 1 3 2 1 xx x x x xx 是函数的可去间断点 属于第一类间断点 1 x 1 1 3 2 x x y 由于 0 1 1 lim 1 1 x x x e 1 1 1 lim 1 1 x x x e 是函数的跳跃间断点 属于第一类间断点 1 x 5 求 x xf 1 x xfxxf x lim 0 解 2 000 11 lim 11 limlim xxxxx xxx x xfxxf xxx 第三章第三章 导数与微分导数与微分 1 填空题 1 1 1 2 3 4 3 1 xy 3 可导 4 24 5 12 4 x 6 13 6 x 7 7 dx x x dy 2 2 2 8 2 y 9 dx x x dy 2 2 2 2 选择题 1 B 2 C 3 B 4 D 5 B 6 D 3 求下列函数的导数 dx dy 1 解 32 8 7 8 3 1 1 8 cos 1ln sin x x x xxxy 2 解 2 2 1 1cos x xx y 3 解 x x xx x x y cos cos2 sin xxlnsin 4 解 2 1 sin3cossincos2 x xx e xexexx y 5 6 secln2xy 22 1 xa y ax 解 解 ln sectan2xxy 322 xa x y 7 8 2 1arccosxy x ey 1 sec2 解 解 4 1 1 1 2 x x y x e xxx y 1 sec 2 2 2 1 tan 1 sec 1 2 9 10 1 ln sin x y xy31arcsin 解 解 xx y 1 cot 1 2 31 32 3 xx y 8 11 求 12 求ayx dx dy ty tx 1 1 dx dy 解 两边对求导数得 解 x t t td td dx dy 1 1 1 1 0 2 1 2 1 y yx 解得 x a x xa x y y 1 从而 xx a x a y 2 1 13 求 14 cos sin xat ybt dx dy 023 3 xyy 解 解 两边对求导数得 t a b xda tdb dx dy cot cos sin x 0233 2 yyy 解得 2 33 2 y y 15 16 x xy sin tan x xy sin2 1 解 两边取对数得 解 两边取对数得 xxytanlnsinln 1ln sinln 2 xxy 两边对求导数得 两边对求导数得 xx x x xxx y y tan tan sintanlncos 2 2 1 2 sin 1ln cos x x xxx y y 解得 x xxxxy sin tansectanln cos x x x xx xxy sin2 2 2 1 1 sin2 1ln cos 17 求 18 求xey x 3sin 2 1 y y xey 1 0 y 解 解 xexey xx 3cos33sin2 22 y y xe e y 1 ey 0 9 3cos33sin2 1 22 eey 19 设 求1lnln xyyx 1 y 解 两边对求导数得 x0lnln x y xy y y xy xxyx yxyy y ln ln 2 2 ey 1 eeeeey 22 ln 1 20 2 3 22 t t dx dy 21 2 6 23 t t dx dy 22 23 6 23 23 6 2 xx x dx dy 23 22 31 43 31 43 t t dtt dtt dx dy 24 xxylncosln cos lnsin 1 coslnsin cos x x xxxy x xxx y y x 25 23sin 6 23 23sin 2 xxxy 4 求下列函数的微分 1 2 55 55 x xy x x y sin1 cos1 解 解 dx x x dy x 5ln5 5 1 2 54 dx x x dy sin1 cos1 dx x xx 2 sin1 1cossin 3 解 dx x x dy 2 3 3 2 4 1ln sinln 3 xxy 10 dx x xx xxxyd x x xxx y y x 1 sin3 1ln cos 1 1 3 sin 1ln cos 3 2 3sin3 3 2 3 5 dx x x dx xx x dy 2 tan4 2 sec 2 2 sec 2 tan2 1 2 2 5 求下列函数的二阶导数 xd yd 2 2 1 解 x dx dy x 22ln2 2 2 ln2 2 2 2 x dx yd 2 解 22 2 2 2 1 1 1 12 2 1 1 1 xxx x x xx xx y 32 1 x x y 6 解 2 1 ln arctan 2 t td ttd dx dy 7 解 y p dx dy 1 2 p y 切线方程为 2 p xy 法线方程为 pxy 2 3 第四章中值定理与导数应用第四章中值定理与导数应用 填空题 1 0 1 0 2 ba 3 0 4 下 选择题 1 D 2 B 3 A 4 A 11 5 C 6 C 7 D 3 求极限 1 解 1 3 3 2 2 lim 0 x x x 2 解 3 解 1 tan sin lim cotcsc 1 lim csc ln limlnsinlim 00 00 x x x xx x x x xx xx xx ee ee 2 1 01 lim 2 x e x x 1 1 lim 2 2 1 0 2 x x e x x 4 解 5 解 1 sin tan lim 1 csc cot 1 lim ln cotln lim 2 0 2 0 0 e e e e x xx x x x x x x x x x x x1 arctan 2 lim 2 2 1 1 1 lim x x x 1 6 解 2 1 2 cos lim sectan2 sin lim 3 2 x xx x x x 7 解 8 解 0 lim 1 limlim 2 21 xn x x n x x n x e n e xnn e nx 1 sin 1 1 sin 1 1 lim x x x x x 9 解 10 解 12 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 x x x e x e x x x x 其中 1 1 1 1 lim cot 1 lim 2 2 x x xarc x x x 11 解 12 解 3 3 lim 0 x x x 0 9 4 lim 3 4 lim 33 x x x x ee x 13 解 0 lim 1 1 lim 1 ln lim 0 2 00 x x x x x xxx 4 解 函数的定义域是 32 3xxy 令 求得驻点为 2 336 2 xxxxy0 y 2 0 xx 函数单调递减 0 0 yx 函数单调递增 0 2 0 yx 函数单调递减 0 2 yx 5 解 bxaxy23 2 baxy26 因为点是曲线的拐点 而且曲线无无意义的点 3 1 y 所以 即 0 1 3 1 y y 026 3 ba ba 所以 2 9 2 3 b a 6 解 函数的定义域是xxy arctan 令 求得驻点为 2 2 1x x y 0 y 0 x 函数单调递减0 0 yx 函数单调递减0 0 yx 13 所以在上函数单调递减 无极值 7 解 函数的定义域是 23 32xxy 令 求得驻点为 1 666 2 xxxxy0 y 1 0 xx 函数单调递增 0 0 yx 函数单调递减 0 1 0 yx 函数单调递增 0 1 yx 是极大值点 极大值为0 x0 0 y 是极小值点 极小值为1 x1 1 y 8 解 函数的定义域是553 32 xxxy 2 3103xxy 106 xy 令 求得 0 y 3 5 x 27 20 3 5 f 曲线是凸的 0 3 5 yx 曲线是凹的 0 3 5 yx 拐点是 27 20 3 5 9 解 函数的定义域是 1ln 2 xy 1 2 2 x x y 22 1 1 1 2 x xx y 令 求得 0 y 1 x2ln 1 1 ff 曲线是凸的 0 1 yx 曲线是凹的 0 1 1 yx 曲线是凸的 0 1 yx 拐点是和 2ln 1 2ln 1 14 10 解 令 求得驻点为 1 4 4 3 x x y0 y 0 x 17ln 2 2ln 1 0 0 yyy 所以最大值是 最小值是17ln 2 y0 0 y 11 解 令 求得驻点为123 2 xy0 y 2 x 26 4 10 0 6 2 26 2 yyyy 所以最大值是 最小值是26 4 2 yy6 2 y 12 解 无驻点 不存在的点为 但 x y 45 2 y 4 5 x 1 1 4 5 x 1 1 3 1 yy 所以最大值是 最小值是3 1 y1 1 y 13 解 baxxy 23 2 axy26 因为函数有拐点 所以 即 1 1 1 1 0 1 y y 11 026 cba a 因为在处有极大值 1 所以 即 带入上式得0 x0 0 y 0 b 1 0 3 c b a 14 定义域为 0 2 0 2 336 2 xxxxxxy 为单调减函数 0 0 xfy 为单调增函数 0 2 0 xfy 为单调减函数 0 2 xfy 15 定义域为 0 15 舍去 2 1 2 1 0 141 4 2 xx x x x xy 为单调减函数 0 2 1 0 xfy 为单调增函数 0 2 1 xfy 16 1 2 0 1 2 6 2 6 2 xxxxxxy 为单调增函数 0 1 xfy 为单调减函数 0 2 1 xfy 为单调增函数 0 2 xfy 17 解 设宽为米 则长为 米 xx220 面积 xxxxxS202 220 2 10 0 x 令 驻点为204 xxS0 x S5 x 开区间内唯一驻点取得最大值 此时小屋的长为 10 米 宽为 5 米 04 5 S 18 解 设矩形的长为 则宽为x x s 周长 2 x s xl 0 x 令 求得驻点为 1 2 2 x s l 0 l sx 0 sl 开区间内唯一驻点取得最小值 所以其周长最小者是长和宽都为的矩形 s 19 解 如图设内接梯形顶点和圆心的连线与竖直方向夹角为 根据题 意 内接梯形的面积 2 0 2sin2 cos 2 1 rrrS 令 求得驻点为 sin2 cos 2 rS0 S 6 由实际问题可知梯形面积有最大值 开区间内唯一驻点取得最大值 20 解 根据题意可知 容积 2 22 xaxV 0 ax 令 求得驻点为 舍去 22 62 xaxaxV 0 x V 3 a x ax x 16 是开区间内唯一驻点 由实际问题可知容积有最大值 所以在边长时 3 a x 3 a x 容积最大 21 解 设底边长为 高为xx 2 h 0 3 3 0 0 216 8 216 4 2 72 22 2 72 24 2 72 722 2 2 22 2 2 sxxs x xs x x x x x xxs x hhxx 所以 x 3 时取最小值 各边长分别为 3 4 6 第五章第五章 积分积分 1 填空题 1 12sin 2 x 2 0 3 x e2 2 1 4 0 5 x2sin 2 1 6 0 2 2 1 4 ee 2 1 B 2 C 3 A 4 C 6 A 7 A 8 A 9 C 3 1 dxx 3 cos xdxsin sin1 2 Cxx 3 sin 3 1 sin 2 dt t t sin tdt sin2Ct cos2 17 3 dx xx 1 1 1 1 2xd x Cx 1ln 2 4 2 1 x x e dx e 2 1 x x e de Cex arctan 5 dx x x 2 ln xxd lnln2Cx 3 ln 3 1 6 dx x x 12 3 tx 12 dtt 5 2 1 2 C tt 2 5 6 3 12 xtCxx 12 2 5 12 6 1 3 7 dxxsintx tdttsin2 ttd cos2Cttt sin2cos2xt Cxxx sin2cos2 8 2 112txxtdxtdt 11 222 2 1 1 xttttx edxetdttdeteeCexC t x 1 9 2 2222 lnlnlnln2 lnln2 lnln xdxxxxdxxxxdxxxxxxdx 2 ln2 ln2xxxxxC 10 xdxxarctan 2222 2 1 arctan arctan arctan 2222 1 xxxx xdxxdx x 22 2 111 arctan 1 arctan arctan 22122 xx xdxxxxC x 11 2 2 111 sin 1 cos2 sin2 2222 x xxdxxx dxxdx 22 111 sin2sin2 sin2cos2 44442 xx xxxdxxxxC 12 322 22 222 111 1 ln 1 1122122 xxxx dxxdxd xxC xxx 13 23 1x dx xx tx 3 dttt 3 25 Ctt 14 3 4 3 3 xt Cxx 3 1 3 4 3 4 3 14 dx x x 2 2 1 3 1 1 Cxx arcsin3arctan 18 15 3x x e dx dxe x 3 C ex x 3ln1 3 16 2 11 sin dx xx 1 1 sin x d x C x 1 cos 17 xdx 2 cos dx x 2 12cos C xx 4 22sin 18 dx x x 1 tx dt t 1 1 1 2 2 Ctt arctan22xt Cxx arctan22 19 23 2 xx dx dx xx 1 1 2 1 C x x 1 2 ln 20 dx xx 2 32 dx xxx 6294C xxx 6ln 62 3ln2 9 4ln 4 21 3333 2222 1 11 111 3232 32 32 233 xdxxdxx 22 222 0 00 cos1 1 sin ln 1 sin ln2 1 sin1 sin x dxdxx xx 23 令1tx 101 11 0 010 222 2 xtttt edxte dtte dttee 24 3 222 0 22 coscossincos2sincosxxdxxxdxxxdx 2 0 4 2coscos 3 xdx 25 11 1 lnln 1 e ee xdxxxx 26 dx x x 2 1 2 1 3 2 22 1 2 1 1129 2 2 36 x xdxx xx 27 dxx 2 0 1 22 12 12 01 01 1 1 1 22 xx x dxxdxxx 28 dxxe x 1 0 2221 21 0 0 111 1 222 xx e d xee 29 dxxx 0 2 sin 22 0 00 cos cos 2cos x dxxxxxd x 222 00 0 2 sin 2sin2cos 4xxxdxx 30 2 1 ln1 e xx dx 2 2 1 1 1 1 ln 2 1 ln 2 32 1 ln e e dxx x 19 31 4 1 1x dx 22 11 213 2 1 2 1 ln 112 tx t dtdt tt 32 1 0 1 0 1 0 1 1 eedxexexde xxx 33 原式 12 2 1 2 1 222 2 eeexde xx 34 原式 2 1 4 arctan 2 1 81 11 2 1 812 1 8 arctan 2 arctan 22 arctan 1 0 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 xxdx x x dx x x xd x x xx xd 35 原式 3 1 1 3 1 2 1 1 1 1 0 2 3 22 1 0 2 xxdx 4 1 广义积分发散 1 1 2 dx x x 2 2222 00 00 111 244 xxxx xedxxeedxe 3 dx x e x 0 0 0 2 2 2 xx edxe 4 dx xx84 1 22 2 112 2 2 422 1 2 dxx d x x 12 arctan 222 x 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 解 因为 所以 xy2 1 2 1 y 抛物线在点处的法线方程为 2 xy 4 1 2 1 即 2 1 1 4 1 xy 4 3 xy 求得抛物线与其法线的交点为 4 1 2 1 4 9 2 3 图形面积 2 1 2 3 2 3 4 4 3 dxxxS 20 2 解 求得交点为 8 2 绕轴旋转所产生的旋转体的体积为x 2 0 6 7 128 dxxVx 绕轴旋转所产生的旋转体的体积为y 8 0 3 2 2 5 64 82 dxyVy 3 解 求得交点 2 1 2 1 3 8 3 28 2 2 2 0 dy y yS 4 解 求得交点为 1 1 0 0 1 0 42 15 2 dyyyVy 5 解 求得交点为 1 0 1 0 1 2 eedxeeS xx 第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 1 填空题 1 xyxyx 2 母线为轴 为准线的圆柱面z 22 4 0 xy z 3 2 1 yx 4 dyedxe 12 21 5 极大值 极小值 6 0 yx 7 xx y z y ln 8 1 y yx x z 2 选择 1 B 2 C 3 B 4 D 3 1 22 1 yx x yxfx 5 2 4 3 x f 22 1 yx y yxfy 5 1 4 3 x f 2 2332 3 3xyx y z yyx x z 3 2 22 22 2 22 22 2 2 yx yxx y z yx xyy x z 4 xy x yxyxy y z xy x yxy y z z xyyz xyy x z y y 1 1ln1 1 1ln 1 1lnln 1 1 5 yx x y z yx x yx x z ln 6 yx x z 33 2 xy y z 32 7 cos 2 2 yxxy x z cos 22 yxx y z 8 yx x z 22 xy y z 23 2 4 1 因为所以 yxe y z yxeyxe x z xxx cos cossin yxe y z yxe x z xx sin cos2 2 2 2 2 22 yxeyxe yx z xx sincos 2 yxeyxe xy z xx sincos 2 2 x xy z yx z y y z yx x z yx y z xyx x z 6 12 66 43 63 22 2 2 2 2 2 322 3 22 222222 22 2211 11 11 xyxyzzzz xyxy xyxy xyxy 2 2 22 1 2 yx yx xy z yx z 5 1 y y x x z1 1 1 2 2 2 1 1 y x y x y z dy y x y x dx y x y dy y z dx x z dz 2 2 2 11 1 2 3 yx x z 34 yx y z 23 1 cos cos 2 xx y y z x y x y x z dyyxdxyxdz 23 34 dy x y x dx x y x y dzcos 1 cos 2 6 1 xy xyx xy y xy v u y vx v v z x u u z x z 22 cos sincos cos cos sincos 1 xy yx xy yx x v u yx vy v v z y u u z y z cos cos cos sin cossin 1 22 2 23 3 23ln 2 3 1 ln2 2 2 2 2 yxy x yx y x v u y vu x v v z x u u z x z 23 2 23ln 2 2 ln2 2 2 3 22 2 yxy x yx y x v u y x vu y v v z y u u z y z 7 解 333233 3 cos6sin2 3 cos2sin2 sin2 ttttttt dt dz ttz 23 8 1 驻点 02 02 yyxf xyxf y x 0 0 2 0 2 yxfyxfyxf yyxyxx 在处 于是此函数不存在极值 0 004 2 BAC 2 得驻点 012 022 yx y z yx x z 0 1 2 1 2 yyxyxx fff 故在点处 0 102 05 2 ABAC 故函数在点处有极小值 极小值为 yxf 0 1121 0 1 f 9 解 设长方体的长 宽 高分别为zyx 依题意 xy V zVxyz x V y V xyyzxzxyS 22 2 0 2 0 2 2 2 y V x y S x V y x S 求得驻点 因驻点唯一 故当 时 表面积最小 2 2 33 VV 3 2Vyx 3 4 V z 第八章第八章 二重积分二重积分 1 改变下列二次积分的次序 1 e ey dxyxfdy 1 0 2 2 2 1 1 1 0 y y dxyxfdy 3 y y dxyxfdy 21 0 4 x dyyxfdx 1 0 2 0 24 5 x x x x dyyxfdxdyyxfdx 24 1 1 0 6 2 2 11 11 1 0 y y dxyxfdy 7 x x dyyxfdx 2 1 0 8 yy dxyxfdydxyxfdy 1 0 1 2 1 0 2 1 0 2 解 140 33 2 2 1 0 2 dxyxdydxdyyx y y D 3 解 D dxdyyx 6 6 13 2 13 6 3 000 ydydxyxdy y 4 解 D dxdyyx 22 6 5 3 10 1 0 3 2 22 1 0 dxxdyyxdx x x 5 解 D dxdyyx 55 6 3 2 1 0 4 4 7 1 0 2 dxxxdyyxdx x x 6 解 D xydxdy 24 1225 84 2 3 1 4 23 2 4 1 4 dxxxxxydydx x x 7 解 D y dxdyex 2 2 1 0 2 1 0 3 0 2 1 0 222 6 1 3 1 yy y y deydyeydxexdy 21 6 1 6 1 6 1 1 1 0 2 1 0 2 22 edyeey yy 8 解 2 1 cos coscos 6 0 6 00 6 0 6 xdxdy x x dxdx x x dy x y 9 解 1 2 1 2 2 0 2 0 22 00 222 edyyedxedydyedx y x y yy 10 解 D ydxdy 3 0 22 00 3 1 2 1 22 adxxaydydx aaxa 11 解 D dxdyyx cos 2 1 1cos2cos 2 1 sin2 sin cos 1 00 1 0 dyyydxyxdy y 12 解 dxdy y x D 2ln62ln 4 2 24 2 dxxdy y x dx x x 25 13 求交点 1xy xy 1x 2 1 3 x x 1 2 1 2 2 1 x x 1 2 2 4 9 dx xx x y x y y x xddd 14 12 1 2 1 1 1 0 32 1 0 1 0 2 2 dxxxxdxyxdyxdx x x x x 第九章第九章 微分方程及其应用微分方程及其应用 1 填空题 1 2 2 3 1 3 1 3 xy 3 04 2 选择题 1 B 2 A 3 C 4 C 求下列微分方程的解 1 解 分离变量得xdxydycottan 两边积分得 xdxydycottan 从而 sinarccos xCy 2 解 分离变量得 xy e dx e dy 2 两边积分得 解得 xy e dx e dy 2 2 1 ln 2 Cey x 又由得 从而 1 0 y 2 1 1 eC 2 1 2 1 ln 12 eey x 3 解 分离变量得 4 解 原方程对应的齐次方程为 x dx yy dy sinln 0 yy 两边积分得 分离变量得 解得 x dx yy dy sinln dx y dy x Cey 26 解得 又由得 设原方程的解为 2 tan x C ey ey 2 1 C x exhy 从而原方程的特解为 代入原方程得 2 tan x ey xx eyexh dx d 解得 x eCxy 5 解 原方程对应的齐次方程为 0 y dx dy x 分离变量得 解得 设原方程的解为 x dx y dy Cxy xxhy 代入原方程得 2 xyxxh dx d x 解得 xCxy 6 7 解 该方程的特征方程为 解 该