2013高考数学三轮押题冲刺 基础知识最后一轮拿分测验 数列的概念

1 数列的概念数列的概念 考点导读 1 了解数列 含等差数列 等比数列 的概念和几种简单的表示方法 列表 图象 通 项公式 了解数列是一种特殊的函数 2 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系 3 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题 n 基础练习 1 已知数列满足 则 n a 13 3 0 11 Nn a a aa n n n 20 a3 分析 由 a1 0 得 由此可知 13 3 1 Nn a a a n n n 0 3 3 432 aaa 数列是周期变化的 且三个一循环 所以可得 n a 3 220 aa 2 在数列中 若 则该数列的通项 2n 1 n a 1 1a 1 2 1 nn aan n a 3 已知数列 满足 则的通 n a 11231 1 23 1 2 nn aaaaanan n a 项 1 n 1 n 2 答案 n a 2 n 4 设数列的前 n 项和为 且 则 n a n S 1 3 1 2 n n a SnN 4 54a 2 1 a 5 已知数列的前项和 则其通项 n an 51 2 n nn S n a 52n 范例导析 例 1 设数列的通项公式是 则 n a 2 85 n ann 1 70 是这个数列中的项吗 如果是 是第几项 2 写出这个数列的前 5 项 并作出前 5 项的图象 3 这个数列所有项中有没有最小的项 如果有 是第几项 分析 分析 70 是否是数列的项 只要通过解方程就可以知道 而作图时则要 2 7085nn 注意数列与函数的区别 数列的图象是一系列孤立的点 判断有无最小项的问题可以用函 数的观点来解决 一样的是要注意定义域问题 2 解 1 由得 或 2 7085nn 13n 5n 所以 70 是这个数列中的项 是第 13 项 2 这个数列的前 5 项是 图象略 2 7 10 11 10 3 由函数的单调性 是减区间 是增区间 2 85f xxx 4 4 所以当时 最小 即最小 4n n a 4 a 点评 点评 该题考察数列通项的定义 会判断数列项的归属 要注重函数与数列之间的联系 用函数的观点解决数列的问题有时非常方便 例 2 设数列的前 n 项和为 点均在函数 y 3x 2 的图像上 n a n S n S nnN n 求数列的通项公式 设 是数列的前 n 项和 求使 n a 1 3 nn n aa b n T n b 得对所有都成立的最小正整数 20 n m T nN m 分析 分析 根据题目的条件利用与的关系 要特别注意讨论 n S n a n a 1 1 2 n Sn Sn 当时 当时 n 1 的情况 先求出数列的通项 再利用裂项法对数列进行求和 从而解决第 2 n a n b 问的恒成立问题 解 I 依题意得 即 32 n n n S 2 32 n nn S 当 n 2 时 2 2 32 312 1 65 1 n annnnn nn SS 当 n 1 时 所以 11 1aS 65 n annN II 由 I 得 1 31111 65 6 1 52 6561 n nn b a annnn 故 1 111111 1 277136561 n i n i b nn T 11 1 261n 因此 使得 成立的 m 必须满足 即 m 10 11 1 261n 20 m nN 1 220 m 故满足要求的最小整数为 10 m 3 点评 点评 本题两个小问中涉及的方法都是非常常规的 与的关系的转化和裂项法求和 n S n a 都要求大家掌握 例 3 已知数列 a 满足 n 1 1 a 12 1 Nnaa nn 求数列的通项公式 n a 若数列满足 证明 是等差数列 n b 12 111 44 4 1 nn bbbb n anN n b 分析 分析 本题第 1 问采用构造等比数列来求通项问题 第 2 问依然是构造问题 解 I 1 21 nn aanN 1 12 1 nn aa 是以为首项 2 为公比的等比数列 1 n a 1 12a 12 n n a 即 21 n n anN II 12 111 44 4 1 nn bbbb n a 12 42 nn bbbnnb 12 2 nn bbbnnb 1211 2 1 1 nnn bbbbnnb 得即 11 2 1 1 nnn bnbnb 1 1 20 nn nbnb 21 1 20 nn nbnb 得 即 21 20 nnn nbnbnb 21 20 nnn bbb 是等差数列 211 nnnn bbbb nN n b 点评 点评 本小题主要考查数列 不等式等基本知识 考查化归的数学思想方法 考查综合解 题能力 备用题 在数列中 若 a1 a2 是正整数 且 3 4 5 则称 n a 12nnn aaa n 为 绝对差数列 n a 举出一个前五项不为零的 绝对差数列 只要求写出前十项 若 绝对差数列 中 数列满足 n a 20 3a 21 0a n b 12nnnn baaa n 1 2 3 判断当时 与能否无限趋近于一个常数 如果存在 求出其n n a n b 常数 否则说明理由 证明 任何 绝对差数列 中总含有无穷多个为零的项 解 1234567 3 1 2 1 1 0 1aaaaaaa 8910 1 0 1 aaa 4 答案不惟一 因为在绝对差数列中 所以自第 20 项开始 该数列是 n a 20 3a 21 0a 20 3a 即自第 20 项开始 每三个相 21 0a 222324252627 3 3 0 3 3 aaaaaao 邻的项周期地取值 3 0 3 所以当时 不能无限趋近于一个常数 所以该常n n a 数不存在 而当时 所以能无限趋近于一个常数 6 20n 12 6 nnnn baaa n b 证明 根据定义 数列必在有限项后出现零项 证明如下 n a 假设中没有零项 由于 所以对于任意的 n 都有 n a 12nnn aaa 1 n a 从而 当时 12nn aa 121 1 3 nnnn aaaan 当 时 12nn aa 212 1 3 nnnn aaaan 即的值要么比至少小 1 要么比至少小 1 n a 1n a 2n a 令则 21212 2212 nnn n nnn aaa C aaa 1 2 3 n 1 01 2 3 4 An CCn 由于是确定的正整数 这样减少下去 必然存在某项 这与 1 C 1 0C 0 n C 矛盾 1 2 3 n 从而必有零项 n a 若第一次出现的零项为第项 记 则自第项开始 每三个相邻的项n 1 0 n aA A n 周期地取值 0 即AA 3 31 32 0 0 1 2 3 nk nk nk a aA k aA 所以绝对差数列中有无穷多个为零的项 n a 反馈演练 1 若数列前 8 项的值各异 且对任意n N N 都成立 则下列数列中可取遍 n a 8nn aa 前 8 项值的数列为 2 n a 1 2 3 4 21k a 31k a 41k a 61k a 5 2 设Sn是数列的前n项和 且Sn n2 则是 等差数列 但不是等比数列 n a n a 3 设f n n N N 那么f n 1 f n 等于 nnnn2 1 3 1 2 1 1 1 22 1 12 1 nn 4 根据市场调查结果 预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn 万件 近似地满足Sn 21n n2 5 n 1 2 12 按此预测 在本年度内 需求量 90 n 超过1 5 万件的月份是 7 月 8 月 5 在数列中 则 505 n a 1234 1 23 456 789 10 aaaa 10 a 6 数列的前项的和是 22321 1 12 122 1222 1222 n n 1 22 n n 7 在数列中 已知则数列的前项的和是 n a 11 2 23 nn aaa n an5 235 n n 8 在数列中 若它的前项的和 则 6 n a 21 2 n n n a n 321 64 n S n 9 在数列中 则它的前 10 项的和是 n a 1 1 n anN nn 11 1 10 在数列中 若 则 10 n a 1 1 21 n n an 172350 SSS 11 数列中 已知 n a 2 1 3 n nn anN 1 写出 2 是否是数列中的项 若是 是第几项 10 a 1n a 2 n a 2 79 3 解 1 2 1 3 n nn anN 10 a 2 1010 1109 33 1n a 2 2 11131 33 nnnn 2 n a 2 22 42 1 1 33 nn nn 2 令 解方程得 2 79 3 2 1 3 nn 15 16nn 或 即为该数列的第 15 项 nN 15n 2 79 3 6 1212 数列的前项和为 已知 n an n S 2 1 1 1 1 2 2 nn aSn an nn 写出与的递推关系式 并求关于的表达式 n S 1n S 2n n Sn 设 求数列的前项和 1 n n nnn S fxxbfppR n n bn n T 解 由得 2 1 nn Sn an n 2n 2 1 1 nnn SnSSn n 即 所以对成立 22 1 1 1 nn nSn Sn n 1 1 1 1 nn nn SS nn 2n 由 相加得 1 1 1 1 nn nn SS nn 12 1 1 12 nn nn SS nn 21 32 1 21 SS 又 所以 当时 也成立 1 1 21 n n SSn n 11 1 2