求证全等三角形的几种方法

1 求证全等三角形的几种方法求证全等三角形的几种方法 课程解读课程解读 全等三角形是初中数学中的重要内容之一 是今后学习其他知识的基础 判断三角形全等的公理有 SAS ASA AAS SSS 和 HL 如果所给条件充足 则 可直接根据相应的公理证明 但是如果给出的条件不全 就需要根据已知的条 件结合相应的公理进行分析 先推导出所缺的条件然后再证明 一些较难的证 明题要构造合适的全等三角形 把条件相对集中起来 再进行等量代换 就可 以化难为易了 典型例题典型例题 全等三角形辅助线全等三角形辅助线 找全等三角形的方法 找全等三角形的方法 1 可以从结论出发 寻找要证明的相等的两条线段 或两个角 分别 在哪两个可能全等的三角形中 2 可以从已知条件出发 看已知条件可以确定哪两个三角形全等 3 可从条件和结论综合考虑 看它们能确定哪两个三角形全等 4 若上述方法均不可行 可考虑添加辅助线 构造全等三角形 三角形中常见辅助线的作法 三角形中常见辅助线的作法 延长中线构造全等三角形 利用翻折 构造全等三角形 引平行线构造全等三角形 作连线构造等腰三角形 常见辅助线的作法有以下几种 常见辅助线的作法有以下几种 1 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一三线合一 的性质解题 的性质解题 思维模式是全等变换中的思维模式是全等变换中的 对折对折 例例 1 1 如图 ABC 是等腰直角三角形 BAC 90 BD 平分 ABC 交 AC 于 点 D CE 垂直于 BD 交 BD 的延长线于点 E 求证 BD 2CE 解答过程解答过程 证明 延长 BA CE 交于点 F 在 BEF 和 BEC 中 1 2 BE BE BEF BEC 90 BEF BEC EF EC 从而 CF 2CE 又 1 F 3 F 90 故 1 3 在 ABD 和 ACF 中 1 3 AB AC BAD CAF 90 ABD ACF BD CF BD 2CE 2 2 2 若遇到三角形的中线 可倍长中线 使延长线段与原中线长相等 若遇到三角形的中线 可倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 旋转旋转 例例 2 如图 已知 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 AD 又是 BC 边上的中线 求证 ABC 是等腰三角形 解答过程 解答过程 证明 延长证明 延长 AD 到到 E 使 使 DE AD 连接 连接 BE 又因为又因为 AD 是是 BC 边上的中线 边上的中线 BD DC 又又 BDE CDA BED CAD 故故 EB AC E 2 AD 是是 BAC 的平分线的平分线 1 2 1 E AB EB AB EB 从而 从而 AB ACAB AC 即 即 ABC ABC 是等腰三角形 是等腰三角形 解题后的思考 题目中如果出现了三角形的中线 常加倍延长此线段 再解题后的思考 题目中如果出现了三角形的中线 常加倍延长此线段 再 将端点连结 便可得到全等三角形 将端点连结 便可得到全等三角形 3 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 利 用的思维模式是三角形全等变换中的 对折 所考知识点常常是角平分线的 性质定理或逆定理 例 3 已知 如图 AC 平分 BAD CD CB AB AD 求证 B ADC 180 3 解答过程解答过程 证明 作 CE AB 于 E CF AD 于 F AC 平分 BAD CE CF 在 Rt CBE 和 Rt CDF 中 CE CF CB CD Rt CBE Rt CDF B CDF CDF ADC 180 B ADC 180 解题后的思考 解题后的思考 关于角平行线的问题 常用两种辅助线 见中点即联想到中位线 4 4 过图形上某一点作特定的平行线 构造全等三角形 利用的思维模 过图形上某一点作特定的平行线 构造全等三角形 利用的思维模 式是全等变换中的式是全等变换中的 平移平移 或或 翻转折叠翻转折叠 例例 4 4 如图 ABC 中 AB AC E 是 AB 上一点 F 是 AC 延长线上一点 连 EF 交 BC 于 D 若 EB CF 求证 DE DF 4 解答过程 解答过程 证明 过 E 作 EG AC 交 BC 于 G 则 EGB ACB 又 AB AC B ACB B EGB EGD DCF EB EG CF EDB CDF DGE DCF DE DF 解题后的思考 解题后的思考 此题的辅助线还可以有以下几种作法 例例 5 5 ABC 中 BAC 60 C 40 AP 平分 BAC 交 BC 于 P BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q 求证 AB BP BQ AQ 解答过程解答过程 5 证明 如图 1 过 O 作 OD BC 交 AB 于 D ADO ABC 180 60 40 80 又 AQO C QBC 80 ADO AQO 又 DAO QAO OA AO ADO AQO OD OQ AD AQ 又 OD BP PBO DOB 又 PBO DBO DBO DOB BD OD 又 BPA C PAC 70 BOP OBA BAO 70 BOP BPO BP OB AB BP AD DB BP AQ OQ BO AQ BQ 解题后的思考 解题后的思考 1 本题也可以在 AB 上截取 AD AQ 连 OD 构造全等三角形 即 截长 法 2 本题利用 平行法 的解法也较多 举例如下 6 如图 2 过 O 作 OD BC 交 AC 于 D 则 ADO ABO 从而得以解决 如图 5 过 P 作 PD BQ 交 AC 于 D 则 ABP ADP 从而得以解决 小结 小结 通过一题的多种辅助线添加方法 体会添加辅助线的目的在于构造 全等三角形 而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的 体会 构造的全等三角形在转移线段中的作用 从变换的观点可以看到 不论是作平 行线还是倍长中线 实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换 构造了全等三角形 5 5 截长法与补短法 具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 截长法与补短法 具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某条线段延长 使之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加或是将某条线段延长 使之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加 以说明 这种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 以说明 这种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 例例 6 6 如图甲 AD BC 点E在线段AB上 ADE CDE DCE ECB 求证 CD AD BC 7 解答过程解答过程 证明 在CD上截取CF BC 如图乙 FCE BCE SAS 2 1 又 AD BC ADC BCD 180 DCE CDE 90 2 3 90 1 4 90 3 4 在 FDE与 ADE中 FDE ADE ASA DF DA 8 CD DF CF CD AD BC 解题后的思考 解题后的思考 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时 一般方法是截 长法或补短法 截长 在长线段中截取一段等于另两条中的一条 然后证明剩下部分等于 另一条 补短 将一条短线段延长 延长部分等于另一条短线段 然后证明新线段 等于长线段 1 对于证明有关线段和差的不等式 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边 之 差小于第三边 故可想办法将其放在一个三角形中证明 2 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 如直接证明不出来 可连 接两点或延长某边构成三角形 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再运用三角形三边的不等关系证明 小结小结 三角形 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 线段和差及倍半 延长缩短可试验 线段和差不等式 移到同一三角形 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 9 同步练习同步练习 答题时间 90 分钟 这几道题一定要认真思考啊 都是要添加辅助线的 开动脑筋好好想一想吧 加油 你一 定行 1 已知 如图 1 在四边形ABCD中 BC AB AD DC BD平分 ABC 求证 BAD BCD 180 2 已知 如图 2 1 2 P为BN上一点 且PD BC于点 D AB BC 2BD 求证 BAP BCP 180 3 已知 如图 3 在 ABC中 C 2 B 1 2 求证 AB AC CD 10 11 试题答案试题答案 1 分析 因为平角等于 180 因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转 化成为平角 图中缺少全等的三角形 因而解题的关键在于构造直角三角形 可通过 截长法或补短法 来实现 证明 过点D作 DE 垂直BA的延长线于点E 作DF BC于点F 如图 1 2 Rt ADE Rt CDF HL DAE DCF 又 BAD DAE 180 BAD DCF 180 即 BAD BCD 180 2 分析 与 1 相类似 证两个角的和是 180 可把它们移到一起 让它们 成为邻补角 即证明 BCP EAP 因而此题适用 补短 进行全等三角形的 构造 证明 过点P作 PE 垂直 BA 的延长线于点E 如图 2 2 12 Rt APE Rt CPD SAS PAE PCD 又 BAP PAE 180 BAP BCP 180 3 分析 从结论分析 截长 或 补短 都可实现问题的转化 即延长 AC至E使CE CD 或在AB上截取AF AC 证明 方法一 补短法 延长AC到E 使DC CE 则 CDE CED 如图 3 2 13 AFD ACD SAS DF DC AFD ACD 又 ACB 2 B FDB B FD FB 14 AB AF FB AC FD AB AC CD 4 证明 方法一 将 DE 两边延长分别交 AB AC 于 M N 在 AMN 中 AM AN MD DE NE 在 BDM 中 MB MD BD 在 CEN 中 CN NE CE 由 得 AM AN MB MD CN NE MD DE NE BD CE AB AC BD DE EC 方法二 图 4 2 延长 BD 交 AC 于 F 延长 CE 交 BF 于 G 在 ABF GFC 和 GDE 中有 AB AF BD DG GF GF FC GE CE DG GE DE 由 得 AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE EC 5 分析 要证 AB AC 2AD 由图想到 AB BD AD AC CD AD 所以有 AB AC BD CD AD AD 2AD 左边比要证结论多 BD CD 故不能直接证出此题 而 由 2AD 想到要构造 2AD 即加倍中线 把所要证的线段转移到同一个三角形中 去 15 ACD EBD SAS BE CA 全等三角形对应边相等 在 ABE 中有 AB BE AE 三角形两边之和大于第三边 AB AC 2AD 6 分析 欲证 AC BF 只需证 AC BF 所在两个三角形全等 显然图中没有 含有 AC BF 的两个全等三角形 而根据题目条件去构造两个含有 AC BF 的全 等三角形也并不容易 这时我们想到在同一个三角形中等角对等边 能够把这 两条线段转移到同一个三角形中 只要说明转移到同一个三角形以后的这两条 线段 所对的角相等即可 思路一 以三角形 ADC 为基础三角形 转移线段 AC 使 AC BF 在三角形 BFH 中 方法一 延长 AD 到 H 使得 DH AD 连结 BH 证明 ADC 和 HDB 全等 得 AC BH 通过证明 H BFH 得到 BF BH 16 ADC HDB SAS AC BH H HAC EA EF HAE AFE 又 BFH AFE BH BF BF AC 方法二 过 B 点作 BH 平行 AC 与 AD 的延长线相交于点 H 证明 ADC 和 HDB 全等即可 小结 对于含有中点的问题 通过 倍长中线