北京市房山区2016届高三第二次(4月)模拟数学文科试题有答案

房山区 2015 年高三二模 数 学（文科） 本试卷共 4 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。 （ 1） 若 集合 | 2 1A x x ， B 0，则 （ A） ( ,0) （ B） ( ,1 （ C） 2,0) （ D） (1, ) （ 2） 下列函数中，既是奇函数又在区间 (0, ) 上单调递增的 是 （ A） 3 （ B） （ C） （ D） 2 （ 3） 在 ，“3A ” 是 “ 1 的 （ A） 充分而不必要条件 （ B） 必要而不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 （ 4） 若 ,1, 则 2z x y 的最大值为 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D）2（ 5） 执行如图所示的程序框图 ，若输入 A 的值为 2， 则输出的 n 值为 （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 6 （ 6） 已知 接圆的圆心为 O ，且 1 ()2A O A B A C 夹角为 （ A）6（ B）4（ C）3（ D）2（ 7） 直线 3y 被 圆 22( 2 ) ( 3 ) 4 截得的弦长为 23，则 k （ A） 33（ B） 3 （ C） 33（ D） 3 （ 8） 为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民 生活用电试 行阶梯电价 . 其 电价标准如下表： 用户 类别 分档电量 （千瓦时 /户 电价标准 （元 /千瓦时） 试行阶梯电 价的用户 一档 1） 档 241） 档 400 以上 京市 某户 居民 2016 年 1 月的平均电费为 /千瓦时） ，则该用户 1 月份的 用电量为 （ A） 350 千瓦时 （ B） 300 千瓦时 （ C） 250 千瓦时 （ D） 200 千瓦时 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （ 9） 若 ( 2 i)i ，其中 ,， i 是虚数单位，则 22_. （ 10） 为了调查野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天 捕 到这种动物 120 只，做好标记后放回，经过一星期后， 又捕 到这 种动物 100 只，其中做过标记的有 8 只，按概率方法估算， 该 保护区内有 _只这种动物 . （ 11）33 , 0 ,()1 l o g , 0 则 ( ( 1)等于 _. （ 12）某几何体的正 （主） 视图和俯视图如图所示， 则该几何体的体积的最大值为 _ . （ 13） 抛物线 2 4 的坐标为 _，过 F 的直线与抛物线交于 ,线段 中点 M 的纵坐标为 4，则线段 长度为 _. 正 （ 主 ） 视图俯视图4114（ 14）观察下面的数表 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 该表中第 6 行最后一个数是 _；设 2016 是该 表的 m 行第 n 个数，则 三、解答题 共 6 小题，共 80 分 。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 。 （ 15） （ 本小题 13 分） 已知函数 2( ) 3 c o s ( ) 2 c o x x . （） 求 ()3f 的 值和 () （） 求 ()0, 上的取值范围 （ 16） （本小题 13 分） 已知数列 n 项和 2 26nS n n （） 求 通项公式 ； （）求 2 5 8 3 1na a a 值 . （ 17） （本小题 13 分） 随着 2022 年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式 为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营 其中一班有 3 名男生和 1 名女生参加，二班有 1 名男生和 2 名女生参加 活动结束时，要 从 参加冬令营的 学生中选出 2 名进行展示 （） 若要 从 一 班和二班参加冬令营的学生中各任选 1 名，求选出的 2 名学生性别相同的 概率 ； （）若 要 从 参加冬令营的这 7 名 学生中任选 2 名，求选出的 2 名学生来自不同班级且性 别不同的 概率 （ 18） （ 本小题 14 分） 如图，等腰直角三角形 正方形 在的平面互相垂直， E ， 2， 面 且 1 （）求证： 平 面 ； （）求证： 平面 （）求点 C 到平面 距离 （ 19） （本小题 13 分） 已知函数 1()e xf x x. （） 求函数 () （） 若 直线 y 曲线 ()y f x 没有公共点，求 实数 k 的取值范围 . （ 20） （ 本小题 14 分） 已知 椭圆 C ： 221( 0)， 点 ( 4,0)A ， (0,2)B 和 点 ( , ) ( 0 )P m n m 都在椭圆 C 上， B ，且直线 x 轴交于 点 M . （）求椭圆 C 的标准方程和离心率； （）求 点 P 的坐标 ； （ ）若以 M 为圆心、 r 为 半径的圆在 椭圆 C 的内部，求 r 的取值范围 . 数学（文）答案及评分标准 201604 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D C D A B 二、 填空题：每小题 5 分，共 30 分（ 第一空 3 分，第二空 2 分） 9. 5 10. 1500 11. 2 12. 4 13. (0,1) 10 14. 126, 507 三 、 解答题： 本大题共 6 小题 ,共 80 分 15（共 13 分） 解 : 2( ) 3 c o s ( ) 2 c o s 3 s i n c o s 122 xf x x x x 4 分 2 s ) 16x 6 分 （ ） ( ) 2 s i n ( ) 1 33 3 6f 8 分 () 9 分 （ ） 因为 0, x， 所以 7 , 6 6 6x 所以 1s i n ( ) ,1 62x 所以 2 s i n ( ) 1 0 , 3 6x 即 ( ) 0,3 13 分 16（共 13 分） 解： （） 当 1n 时， 1 25a 2 分 当 2n 时， 221 ( 2 6 ) ( 2 6 ) 2 2 7n n S n n n n n 4 分 1 25a 也满足上式 5 分 所以 27 6 分 （）由（）知 2 23a ，31 2 ( 3 1 ) 2 7 6 2 9na n n 8 分 所以 31是首项为 23，公差为 等差数列 10 分 所以 22 5 8 3 1 ( 2 3 6 2 9 ) 3 2 62n a a a n 13 分 17（共 13 分） 解 ：一班的 3 名男生记作1 2 3,A A A,1 名女生记作 B ；二班的 1 名男生记作 a , 2 名女生记作12,） 从 一班和二班的学生中各任选 1 名的所有可能结果为 (a)， ( ( (a)， ( ( (a)， ( ( (B， a)， (B， (B， 共 12 种情况 2 分 其中 2 名学生性别相同的情况有 (a)， (a)， (a)， (B， (B， 共 5 种 4 分 所以 所求概率为 512 6 分 （） 从 7 名学生中任选 2 名学生 的所有可能的情形为 ( ( (B)， (a)， ( ( ( (B)， (a)， ( (B)， (a)， ( ( (B， a)， (B， (B， (a， (a， (b1， 21 种情况 9 分 2 名学生来自不同班级且性别不同的有 ( ( ( ( ( (B， a)， 共 7 种情况 11 分 故所求概率为 7121 3 13 分 18（共 14 分） （） 因为 平面 平面 所以 B 2 分 因为 正方形，所以 C 所以 平面 4 分 （） 设 点为 O ，连结 ,因为 斜边长为 2 等腰直角 三角形 所以 B 且 1 5 分 因为 平面 平面 平面 面 B 所以 平面 6 分 平面 所以 且 1C 7 分 所以 平行四边形 所以 8 分 又 平面 平面 所以 平面 9 分 （） 在直角三角形 , 2 , 1B C D C F C 所以 5F 在正方形 22 所以 1 2 2 5 2 62B D 11 分 设 点 C 到平面 距离 h 由 F 1 1 13 2 3 B D D C F C S h 13 分 解得 63h 14 分 19（共 13 分） 解 （ ） 11( ) 1 x 2 分 令 ( ) 0f x 得 0x , ( ), ( )x f x f x 变化情况 x ( ,0) 0 (0, ) ()f x - + () 增 所以 函数 () ,0) 为减函数，在区间 (0, ) 为增函数 5 分 （） 解法一： 直线 y 曲线 ()y f x 没有公共点，等价于 方程 1x 1( 1)当 1k 时，显然方程无实数解； 6 分 当 1k 时，方程变形为 11 设 () xg x 则 ( ) ( 1 )x x x e x e e x 7 分 令 ( ) 0g x 得 1x 在区间 ( , 1) 上 ( ) 0g x ，在区间 ( 1, ) 上 ( ) 0g x 所以 ()区间 ( , 1) 上单调递减， ()区间 ( 1, ) 上单调递增 9 分 所以，当 1x 时， ()得最小值 1( 1) 10 分 要使方程 11 需 111 11 分 解得 11 13 分 综上 k 的取值范围为 (1 ,1e 解法二： 直线 y 曲线 ()y f x 没有公共点，等价于 方程 1x 0x 不是该方程的解，所以等价 方程 11xk 设 1( ) 1 ( 0 )xg x 2 2 2( 1 ) ( 1 )() x x xx x xe x e e x x x e x e x e 令 ( ) 0g x 得 1x 在区间 ( , 1) 上 ( ) 0g x ， 在区间 ( 1,0) 上 ( ) 0g x ，在区间 (0, ) 上 ( ) 0g x 所以 () ( , 1) 上递增，在 ( 1,0) 上递减 ， 在 (0, ) 上递减 所以，当 1x 时， ()得 极大 值 ( 1) 1 x 无 限增大时 ， () 所以 ()( ,1 (1, )e U 方程 11xk k 的取值范围为 (1 ,1e 解法三： 因为 直线 y 曲线 ()y f x 没有公共点， 所以 方程 1x e，即 1( 1)所以直线 ( 1)y k x 与 曲线 1()有公共点， 设过点 (0,0)O 的 直线 l 与 曲线 ()xh x e 相切于点001( , )xx ( )e， 所以直线 l 的 斜率001xk e所以直线 l 的 方程为00 011()x 因为 直线 l 过点 (0,0)O ， 所以0 1x ， 所以0 11 因为 直线 ( 1)y k x 与 曲线 1()交点 所以 10 ，即 11 20（共 14 分） 解： （） 易知 4, 2 所以 22 23c a b 所以 椭圆 C 的标准方程是 22116 4； 2 分 离心率为 32ce a 4 分 （） 易知 12 5 分 因为 P ， 所以 2 6 分 所以 方程为 22 7 分 所以 2222116 4 解 得32173017 或 00（舍） 所以点