【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第7篇 第4讲 基本不等式限时训练 理

1 第第 4 4 讲讲 基本不等式基本不等式 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2013 宁波模拟 下列函数中 最小值为 4 的个数为 y x y sin x 0 x y ex 4e x y log3x 4logx3 4 x 4 sin x A 4 B 3 C 2 D 1 解析 中 由于x的符号不确定 故不满足条件 中 01 的最小值是 x2 2 x 1 2 A 2 2 B 2 2 33 C 2 D 2 3 解析 x 1 x 1 0 y x2 2 x 1 x2 2x 1 2 x 1 3 x 1 x 1 2 2 2 x 1 2 2 x 1 3 x 1 3 x 13 当且仅当x 1 即x 1 时取等号 3 x 13 答案 A 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 2012 黄冈二模 若a b是正数 则 这四个数的大小顺序 a b 2ab 2ab a b a2 b2 2 是 解析 a b是正数 2ab a b 2ab 2abab 而 又a2 b2 2ab ab a b 2 所以 2 a2 b2 a b 2 a b 2 a2 b2 2 故 2ab a bab a b 2 a2 b2 2 答案 2ab a bab a b 2 a2 b2 2 6 2013 北京朝阳期末 某公司购买一批机器投入生产 据市场分析 每台机器生产的产 品可获得的总利润y 单位 万元 与机器运转时间x 单位 年 的关系为 y x2 18x 25 x N N 则当每台机器运转 年时 年平均利润最大 最大 值是 万元 解析 每台机器运转x年的年平均利润为 18 而x 0 故 y x x 25 x 18 2 8 当且仅当x 5 时等号成立 此时年平均利润最大 最大值为 8 万 y x25 元 答案 5 8 三 解答题 共 25 分 7 12 分 已知x 0 y 0 且 2x 8y xy 0 3 求 1 xy的最小值 2 x y的最小值 解 x 0 y 0 2x 8y xy 0 1 xy 2x 8y 2 8 xy 64 16xyxy 故xy的最小值为 64 2 由 2x 8y xy 得 1 2 y 8 x x y x y 1 x y 2 y 8 x 10 10 8 18 2x y 8y x 故x y的最小值为 18 8 13 分 已知x 0 y 0 且 2x 5y 20 1 求u lg x lg y的最大值 2 求 的最小值 1 x 1 y 解 1 x 0 y 0 由基本不等式 得 2x 5y 2 10 xy 2x 5y 20 2 20 xy 10 当且仅当 2x 5y时 等号成立 10 xy 因此有Error 解得Error 此时xy有最大值 10 u lg x lg y lg xy lg 10 1 当x 5 y 2 时 u lg x lg y有最大值 1 2 x 0 y 0 1 x 1 y 1 x 1 y 2x 5y 20 1 20 7 5y x 2x y 1 20 7 2 5y x 2x y 当且仅当 时 等号成立 7 2 10 20 5y x 2x y 由Error 解得Error 的最小值为 1 x 1 y 7 2 10 20 分层 B 级 创新能力提升 1 2013 韶关一模 当点 x y 在直线x 3y 2 0 上移动时 表达式 3x 27y 1 的最 小值为 A 3 B 5 C 1 D 7 解析 由x 3y 2 0 得 3y x 2 3x 27y 1 3x 33y 1 3x 3 x 2 1 4 3x 1 2 1 7 9 3x 3x 9 3x 当且仅当 3x 即x 1 时取得等号 9 3x 答案 D 2 已知x 0 y 0 且 1 若x 2y m2 2m恒成立 则实数m的取值范围是 2 x 1 y A 2 4 B 4 2 C 2 4 D 4 2 解析 x 0 y 0 且 1 2 x 1 y x 2y x 2y 4 2 x 1 y 4y x x y 4 2 8 当且仅当 4y x x y 4y x x y 即x 4 y 2 时取等号 x 2y min 8 要使x 2y m2 2m恒成立 只需 x 2y min m2 2m恒成立 即 8 m2 2m 解得 4 m 2 答案 D 3 若正数a b满足ab a b 3 则ab的取值范围是 解析 由a b R R 由基本不等式得a b 2 ab 则ab a b 3 2 3 ab 即ab 2 3 0 3 1 0 3 abababab ab 9 答案 9 4 已知两正数x y满足x y 1 则z 的最小值为 x 1 x y 1 y 解析 z xy xy xy 2 令 x 1 x y 1 y 1 xy y x x y 1 xy x y 2 2xy xy 2 xy t xy 则 00 16x x2 8 1 求f x 的最大值 2 证明 对任意实数a b 恒有f a b2 3b 21 4 1 解 f x 2 16x x2 8 16 x 8 x 16 2 x 8 x2 当且仅当x 时 即x 2时 等号成立 8 x2 所以f x 的最大值为 2 2 2 证明 b2 3b 2 3 21 4 b 3 2 当b 时 b2 3b 有最小值 3 3 2 21 4 由 1 知 f a 有最大值 2 2 对任意实数a b 恒有f a b2 3b 21 4 6 桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式 某研究单位 打算开发一个桑基鱼塘项目 该项目准备购置一块 1 800 平方 米的矩形地块 中间挖出三个矩形池塘养鱼 挖出的泥土堆在 池塘四周形成基围 阴影部分所示 种植桑树 池塘周围的基围 宽均为 2 米 如图 设池塘所占的总面积为S平方米 1 试用x表示S 2 当x取何值时 才能使得S最大 并求出S的最大值 解 1 由图形知 3a 6 x a x 6 3 则总面积S a 2a 1 800 x 4 1 800 x 6 a 5 400 x 16 x 6 3 5 400 x 16 1 832 10 800 x 16x 3 即S 1 832 x 0 10 800 x 16x 3 2