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数学试卷 第 1 页 共 6 页 2011 年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 学校 姓名 准考证号 考 生 须 知 1 本试卷共 6 页 共五道大题 25 道小题 满分 120 分 考试时间 120 分钟 2 在试卷和答题卡上准确填写学校名称 姓名和准考证号 3 试题答案一律填涂或书写在答题卡上 在试卷上作答无效 4 在答题卡上 选择题 作图题用 2B 铅笔作答 其他试题用黑色字迹签字笔作答 5 考试结束 将本试卷 答题卡和草稿纸一并交回 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 32 分 每小题分 每小题 4 分 分 下面各题均有四个选项 其中只有一个是符合题意的 1 的绝对值是 3 4 A B C D 4 3 4 3 3 4 3 4 2 我国第六次全国人口普查数据显示 居住在城镇的人口总数达到 665 575 306 人 将 665 575 306 用科学记数法表示 保留三个有效数字 约为 A B C D 7 66 6 10 8 0 666 10 8 6 66 10 7 6 66 10 3 下列图形中 既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A 等边三角形 B 平行四边形 C 梯形 D 矩形 4 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 相交于点 O 若 AD 1 BC 3 则 的值为 AO CO A B 1 2 1 3 C D 1 4 1 9 5 北京市今年 6 月某日部分区县的最高气温如下表 区 县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山 最高气温 32323032303229323032 则这 10 个区县该日最高气温的众数和中位数分别是 数学试卷 第 2 页 共 6 页 A 32 32 B 32 30 C 30 32 D 32 31 6 一个不透明的盒子中装有 2 个白球 5 个红球和 8 个黄球 这些球除颜色外 没有任何 其他区别 现从这个盒子中随机摸出一个球 摸到红球的概率为 A B C D 8 15 1 3 2 15 1 15 7 抛物线的顶点坐标为 2 65yxx A B C D 3 4 3 4 3 4 3 4 8 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 BAC 30 AB 2 D 是 AB 边上的一个动点 不与点 A B 重合 过点 D 作 CD 的 垂线交射线 CA 于点 E 设 AD x CE y 则下列图象中 能 表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是 A B C D 二 填空题二 填空题 本题共 本题共 16 分 每小题分 每小题 4 分 分 9 若分式的值为 0 则的值等于 8x x x 10 分解因式 32 1025aaa 11 若右图是某几何体的表面展开图 则这个几何体是 12 在右表中 我们把第 i 行第 j 列的数记为 其 i j a 中 i j 都是不大于 5 的正整数 对于表中的每个 数规定如下 当 时 当时 i j aij 1 i j a ij 例如 当 i 2 j 1 时 0 i j a 按此规定 表中的 2 1 1 i j aa 1 3 a 25 个数中 共有 个 1 计算 1 1 11 2 21 3 31 4 41 5 5iiiii aaaaaaaaaa 1 1 a 1 2 a 1 3 a 1 4 a 1 5 a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 2 4 a 2 5 a 3 1 a 3 2 a 3 3 a 3 4 a 3 5 a 4 1 a 4 2 a 4 3 a 4 4 a 4 5 a 5 1 a 5 2 a 5 3 a 5 4 a 5 5 a 数学试卷 第 3 页 共 6 页 的值为 三 解答题三 解答题 本题共 本题共 30 分 每小题分 每小题 5 分 分 13 计算 10 1 2cos3027 2 2 14 解不等式 4 1 56xx 15 已知 求代数式 的值 22 20aabb 4 2 2 a abab ab 16 如图 点 A C B D 在同一条直线上 BE DF AF ABFD 求证 AEFC 17 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数的图象2yx 与反比例函数的图象的一个交点为 A 1 n k y x 1 求反比例函数的解析式 k y x 2 若 P 是坐标轴上一点 且满足 PA OA 直接写出点P 的坐标 18 列方程或方程组解应用题 列方程或方程组解应用题 京通公交快速通道开通后 为响应市政府 绿色出行 的号召 家住通州新城的 小王上班由自驾车改为乘坐公交车 已知小王家距上班地点 18 千米 他用乘公交车的 方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的 2 倍还多 9 千米 他从家出发到达上班地点 乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间 的 小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米 3 7 四 解答题 本题共四 解答题 本题共 20 分 每小题分 每小题 5 分 分 19 如图 在 ABC 中 D 是 BC 的中点 90ACB CE AD 若 AC 2 CE 4 求四边形DEBC ACEB 的周长 数学试卷 第 4 页 共 6 页 20 如图 在 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 分O 别交 AC BC 于点 D E 点 F 在 AC 的延长线上 且 1 2 CBFCAB 1 求证 直线 BF 是 的切线 O 2 若 AB 5 求 BC 和 BF 的长 5 sin 5 CBF 21 以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据 绘制的统计图的一部 分 请你根据以上信息解答下列问题 1 2008 年北京市私人轿车拥有量是多少万辆 结果保留三个有效数字 2 补全条形统计图 3 汽车数量增多除造成交通拥堵外 还增加了碳排放量 为了解汽车碳排放量的情况 小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关 如 一辆排量为 1 6L 的轿车 如果一年行驶 1 万千米 这一年 它的碳排放量约为 2 7 吨 于是他调查 了他所居住小区的 150 辆私人轿车 不同排量的轿车数量如下表所示 如果按照小 明的统计数据 请你通过计算估计 2010 年北京市仅排量为 1 6L 的这类私人轿车 假设每辆车平均一年行驶 1 万千米 的碳排放总量约为多少万吨 小明居住小区不同排量的私人轿车的数量统计表 排量 L 小于 1 61 61 8大于 1 8 数量 辆 29753115 北京市 2006 2010 年 北京市 2006 2010 年 私人轿车拥有量的年增长率统计图 私人轿车拥有量统计图 数学试卷 第 5 页 共 6 页 22 阅读下面材料 小伟遇到这样一个问题 如图 1 在梯形中 AD BC 对角线 AC BD 相ABCD 交于点 O 若梯形的面积为 1 试求以的长度为三边长的ABCDACBDADBC 三角形的面积 小伟是这样思考的 要想解决这个问题 首先应想办法移动这些分散的线段 构 造一个三角形 再计算其面积即可 他先后尝试了翻折 旋转 平移的方法 发现通 过平移可以解决这个问题 他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E 得到的 BDE 即是以的长度为三边长的三角形 如图 2 ACBDADBC 请你回答 图 2 中 BDE 的面积等于 参考小伟同学思考问题的方法 解决下列问题 参考小伟同学思考问题的方法 解决下列问题 如图 3 ABC 的三条中线分别为 AD BE CF 1 在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD BE CF 的长 度为三边长的一个三角形 保留画图痕迹 2 若 ABC 的面积为 1 则以 AD BE CF 的长度为三边 长的三角形的面积等于 五 解答题五 解答题 本题共 本题共 22 分 第分 第 23 题题 7 分 第分 第 24 题题 7 分 第分 第 25 题题 8 分 分 23 在平面直角坐标系 xOy 中 二次函数 的图象与 x 轴 2 3 3ymxmx 0m 交于 A B 两点 点 A 在点 B 左侧 与 y 轴交于点 C 1 求点 A 的坐标 2 当 ABC 45 时 求 m 的值 3 已知一次函数 点是 x 轴上的一个动ykxb 0 P n 点 在 2 的条件下 过点 P 垂直于 x 轴的直线交这个 一次函数的图象于点 M 交二次函数 的图象于点 N 若只有 2 3 3ymxmx 0m 当 2 n 2 时 点 M 位于点 N 的上方 求这个一次函 图 1 图 2 图 3 数学试卷 第 6 页 共 6 页 数的解析式 24 在ABCD 中 BAD 的平分线交直线 BC 于点 E 交直线 DC 于点 F A 1 在图 1 中证明 CE CF 2 若 ABC 90 G 是 EF 的中点 如图 2 直接写出 BDG 的度数 3 若 ABC 120 FG CE FG CE 分别连结 DB DG 如图 3 求 BDG 的 度数 25 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 我们把由两条射线 AE BF 和以 AB 为直径的半圆 所组成的图形叫作图形 C 已知 A 1 0 B 1 0 AE BF 且半圆与 y 轴的交 点 D 在射线 AE 的反向延长线上 1 求两条射线 AE BF 所在直线的距离 2 当一次函数的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时 写出 b 的取值范围 yxb 当一次函数的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时 写出 b 的取值范围 yxb 3 已知AMPQ 四个顶点 A M P Q 按顺时针方向排列 的各顶点都在图形A C 上 且不都在两条射线上 求点 M 的横坐标 x 的取值范围 2011 年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷答案及评分参考数学试卷答案及评分参考 阅卷须知 1 为便于阅卷 本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细 阅卷时 只要考 图 1 图 2 图 3 备用图 数学试卷 第 7 页 共 6 页 生将主要过程正确写出即可 2 若考生的解法与给出的解法不同 正确者可参照评分参考相应给分 3 评分参考中所注分数 表示考生正确做到此步应得的累加分数 一 选择题一 选择题 本题共 本题共 32 分 每小题分 每小题 4 分 分 题 号12345678 答 案 C BABAB 二 填空题二 填空题 本题共 本题共 16 分 每小题分 每小题 4 分 分 题 号9101112 答 案8 2 5 a a 圆柱0151 三 解答题 本题共三 解答题 本题共 30 分 每小题分 每小题 5 分 分 13 本小题满分 5 分 解 10 1 2cos3027 2 2 4 分 3 223 31 2 233 31 52 33 分 14 本小题满分 5 分 解 去括号 得 1 分4456xx 移项 得 2 分4546xx 合并 得 3 分2x 解得 2x 所以原不等式的解集是 52x 分 15 本小题满分 5 分 解 4 2 2 a abab ab 2 分 222 4 4 aabab 3 分 2 44abb 22 20aabb 4 分0ab 原式 0 5 分4 b ab 16 本小题满分 5 分 证明 BE DF 1ABED 数学试卷 第 8 页 共 6 页 分 在 ABE 和 FDC 中 ABED ABFD AF 或 或 或 ABE FDC 4 分 AE FC 5 分 17 本小题满分 5 分 解 1 点 A在一次函数的图象上 1 n 2yx 1 分2 1 2n 点 A 的坐标为 2 分12 或或或 点 A 在反比例函数的图象上 k y x 2k 反比例函数的解析式为 3 分 2 y x 2 点的坐标为 5 分P 2 0 0 4 或 18 本小题满分 5 分 解 设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 x 千米 1 分 依题意 得 2 18318 297xx 分 解得 327x 分 经检验 是原方程的解 且符合题意 427x 分 答 小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 27 千米 5 分 四 解答题四 解答题 本题共 本题共 20 分 每小题分 每小题 5 分 分 19 本小题满分 5 分 解 90ACB DEBC AC DE 又 CE AD 四边形 ACED 是平行四边形 1 分 DE AC 2 在 Rt CDE 中 由勾股定理得 22 2 3CDCEDE D 是 BC 的中点 2 分24 3BCCD 数学试卷 第 9 页 共 6 页 在 Rt ABC 中 由勾股定理得 3 分 22 2 13ABACBC D 是 BC 的中点 DEBC EB EC 4 4 分 四边形 ACEB 的周长 5 分102 13ACCEEBBA 20 本小题满分 5 分 1 证明 连结 AE AB 是 的直径 O 90AEB 1290 AB AC 1 1 2 CAB 1 2 CBFCAB 1CBF 290CBF 即 ABF 90 AB 是 的直径 O 直线 BF 是 O 的切线 2 分 2 解 过点 C 作 CG AB 于点 G 5 sin 5 CBF 1CBF 5 sin1 5 AB 5 90AEB BE sin1AB 5 AB AC 90AEB 3 分22 5BCBE 在 Rt ABE 中 由勾股定理得 AE 22 2 5ABBE 2 5 sin2 5 5 cos2 5 在 Rt CBG 中 可求得 4GC 2GB AG 3 GC BF AGC ABF GCAG BFAB 数学试卷 第 10 页 共 6 页 5 分 20 3 GC AB BF AG 21 本小题满分 5 分 解 1 1146 1 19 分 173 74 174 万辆 所以 2008 年北京市私人轿车拥 有量约是 174 万辆 2 分 2 如右图 3 分 3 万吨 75 2762 7372 6 150 估计 2010 年北京市仅排量为 1 6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372 6 万吨 5 分 22 本小题满分 5 分 解 BDE 的面积等于 1 1 分 1 如图 2 分 以 AD BE CF 的长度为三边长的一个三角形是 3 分CFP 2 以 AD BE CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 5 3 4 分 五 解答题五 解答题 本题共 本题共 22 分 第分 第 23 题题 7 分 第分 第 24 题题 7 分 第分 第 25 题题 8 分 分 23 本小题满分 7 分 解 1 点 A B 是二次函数 的图象与 x 轴的交 2 3 3ymxmx 0m 点 令 即 0 0y 2 3 3mxmx 解得 1 1x 2 3 x m 又 点 A 在点 B 左侧且 0m 点 A 的坐标为 2 分 1 0 2 由 1 可知点 B 的坐标为 0 3 m 二次函数的图象与 y 轴交于点 C 点 C 的坐标为 0 3 ABC 45 北京市 2006 2010 年 私人轿车拥有量统计图 数学试卷 第 11 页 共 6 页 3 3 m m 1 4 分 3 由 2 得二次函数解析式为 2 23yxx 依题意并结合图象可知 一次函数的图象与二次函数的 图象交点的横坐标分别为和 2 2 由此可得交点坐标为和 2 5 2 3 将交点坐标分别代入一次函数解析式中 ykxb 得 25 23 kb kb 或 解得 2 1 k b 或 或 一次函数的解析式为 7 分21yx 24 本小题满分 7 分 1 证明 如图 1 AF 平分 BAD BAF DAF 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AB CD DAF CEF BAF F CEF F CE CF 2 分 2 BDG 45 3 分 3 解 分别连结 GB GE GC 如图 2 AB DC ABC 120 ECF ABC 120 FG CE 且 FG CE 四边形 CEGF 是平行四边形 由 1 得 CE CF CEGF 是菱形 A EG EC GCF GCE 60 1 2 ECF ECG 是等边三角形 EG CG GEC EGC 60 GEC GCF BEGDCG 由 AD BC 及 AF 平分 BAD 可得 BAE AEB 图 1 图 2 数学试卷 第 12 页 共 6 页 AB BE 在ABCD 中 AB DC A BE DC 由 得 BEG DCG BG DG 1 2 132360BGDEGC 7 分 180 60 2 BGD BDG 25 本小题满分 8 分 解 1 分别连结 AD DB 则点 D 在直线 AE 上 如图 1 点 D 在以 AB 为直径的半圆上 ADB 90 BD AD 在 Rt DOB 中