第18讲 任意角的三角函数

1 三角函数三角函数 整体感知 三角函数是高中数学中比较重要的一种函数 充分体现了函数的数形结合的思想运用 经常渗透知识点间的交汇 三角函数是高考必考内容和考试热点 三角函数的概念 公式 性质试题 多以选择题出现 一般地 三角函数与向量 解三角形的综合试题 成为了高考中的一个重点题型 热点点击 三角函数的同角公式和三角函数的性质是高考考查的热点 同时三角函数图像的变换也 是我们必须要熟练掌握的 本章考点 三角函数的有关概念 三角函数的图像 三角函的性质 诱导公式和同角公式 是本章 考点 高考命题趋势 1 考查三角函数的同角公式的运用 多数以选择题形式出现 2 考查三角函数的图 像与性质的综合运用 多数有选择题 填空题以及大题来考查 3 考查三角函数的图像的变换 多数以 选择题形式出现 4 考查三角函数性质及其应用的题目可能以各种形式出现 考查三角函数的问题选择 题或填空题多是中档题 解答题数中档题目 对三角函数的考查形式有稳重求变 求活 以 能力立意 的命题趋势 高考复习建议 1 三角函数渗透着函数基本思想 因此掌握常见的正弦函数 余弦函数 正切函数 图像以及性质 使我们学习的重点 2 同时我们要把三角函数与向量的综合试题 以及三角函数与解 三角形的综合试题要熟练 体会它们间的关系 尤其是数形结合思想使我们学习三角函数最常用和重 要的方法之一 第第 18 讲讲 任意角的三角函数任意角的三角函数 考点解读考点解读 1 角的概念的推广和象限角的概念以及终边相同的角的集合的表示 2 弧度制与角度制的换算公式 3 掌握任意角的三角函数定义及三角函数的符号与角所在象限的关系 4 认识三角函数线 知识扫描知识扫描 一 一 角的概念的推广 1 与角 终边相同的角的集合为 2 与角 终边互为反向延长线的角的集合为 3 轴线角 终边在坐标轴上的角 终边在 x 轴上的角的集合为 终边在 y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 4 象限角是指 5 区间角是指 6 弧度制的意义 圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度的角 它将任意角的集合 与实数集合之间建立了一一对应关系 7 弧度与角度互化 180 弧度 1 弧度 1 弧度 8 弧长公式 l 扇形面积公式 S 二 二 任意角的三角函数 9 定义 设 P x y 是角 终边上任意一点 且 PO r 则 sin cos tan 2 10 三角函数的符号与角所在象限的关系 12 正弦 余弦 正切 余切函数的定义域和值域 解析式y sinxy cosxy tanx 定义域 值 域 13 三角函数线 在图中作出角 的正弦线 余弦线 正切线 考计点拨考计点拨 牛刀小试牛刀小试 1 2008 年高考全国卷 若 sin 0 则 是 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 解析 选 C 2 若 tan 2 则的值为 2sin cos sin 2cos A 0 B 3 4 C 1 D 5 4 解析 选 B 2sin cos sin 2cos 2tan 1 tan 2 2 2 1 2 2 3 4 3 记cos 80 k 那么tan100 A 2 1k k B 2 1k k C 2 1 k k D 2 1 k k cosx sinx tanx x y Ox y O x y O x y O 3 答案 B 命题意图 本小题主要考查诱导公式 同角三角函数关系式等三角函数知识 并突出了 弦切互化这一转化思想的应用 解析 222 sin801 cos 801 cos 80 1k 所以tan100 tan80 2 sin801 cos80 k k 4 若函数 f x Error 则 f 的值为 4 3 解析 由已知得 f f 1 f 2 cos 2 4 3 1 3 2 3 2 3 5 2 答案 5 2 5 若 f cosx cos2x 则 f sin15 的值为 解析 f sin15 f cos75 cos150 cos30 3 2 答案 3 2 典例分析典例分析 考点一 判断象限角考点一 判断象限角 例例 1 若 是第二象限的角 试分别确定 2 2 3 的终边所在位置 解 解 是第二象限的角 k 360 90 k 360 180 k Z 1 2k 360 180 2 2k 360 360 k Z 2 是第三或第四象限的角 或角的终边在 y 轴的非正半轴上 2 k 180 45 2 k 180 90 k Z 当 k 2n n Z 时 n 360 45 2 n 360 90 当 k 2n 1 n Z 时 n 360 225 2 n 360 270 2 是第一或第三象限的角 3 k 120 30 3 k 120 60 k Z 当 k 3n n Z 时 n 360 30 3 n 360 60 当 k 3n 1 n Z 时 4 n 360 150 3 n 360 180 当 k 3n 2 n Z 时 n 360 270 3 n 360 300 3 是第一或第二或第四象限的角 变式训练 变式训练 已知 是第三象限角 问 3 是哪个象限的角 解 解 是第三象限角 180 k 360 270 k 360 k Z 60 k 120 3 90 k 120 当 k 3m m Z 时 可得 60 m 360 3 90 m 360 m Z 故 3 的终边在第一象限 当 k 3m 1 m Z 时 可得 180 m 360 3 210 m 360 m Z 故 3 的终边在第三象限 当 k 3m 2 m Z 时 可得 300 m 360 3 330 m 360 m Z 故 3 的终边在第四象限 综上可知 3 是第一 第三或第四象限的角 规律小结 首先根据象限角 写出角的范围 再视情况得出相应的不等式 规律小结 首先根据象限角 写出角的范围 再视情况得出相应的不等式 考点二 根据三角函数值 求角考点二 根据三角函数值 求角 例例 2 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围 并由此写出角 的集合 1 sin 2 3 2 cos 2 1 解 解 1 作直线 y 2 3 交单位圆于 A B 两点 连结 OA OB 则 OA 与 OB 围成的区 域即为角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为 2k 3 2k 3 2 k Z 2 作直线 x 2 1 交单位圆于 C D 两点 连结 OC OD 则 OC 与 OD 围成的区域 图中阴影部分 即为角 终边的范围 故满足条件的角 的集合为 5 Zkkk 3 4 2 3 2 2 变式训练 变式训练 求下列函数的定义域 1 y 1cos2 x 2 y lg 3 4sin2x 解 解 1 2cosx 1 0 cosx 2 1 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 如图阴影所示 x 3 2 3 2 kk k Z 2 3 4sin2x 0 sin2x 4 3 2 3 sinx 2 3 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 如右图阴影 x k 3 k 3 k Z 规律小结 根据三角函数值求角 可借肋三角函数图象或三角函数线 并注规律小结 根据三角函数值求角 可借肋三角函数图象或三角函数线 并注 意角的范围 此题型常见于求定义域 是常考题型 必须熟练掌握 意角的范围 此题型常见于求定义域 是常考题型 必须熟练掌握 考点三 化简与求值考点三 化简与求值 例例 3 已知 f sin tan tan 2cos sin 1 化简 f 2 若 是第三象限角 且 cos 5 1 2 3 求 f 的值 解解 1 f sintan tan cossin cos 2 cos 2 3 sin sin 5 1 cos 6 5 2 5 15 22 f 6 5 2 变式训练 变式训练 已知角 的终边经过点 P 2 3 0 sin 4 m mm 且 试判断角 所在的象限 并 求costan 和的值 解 解 由题意 得 2 2 2 3 0 5 4 3 m rmmm m 故角 是第二或第三象限角 当5m 时 2 2r 点 P 的坐标为 3 5 6 36515 cos tan 432 23 xy rx 当5m 时 2 2r 点 P 的坐标为 3 5 36515 cos tan 432 23 xy rx 例例 4 求值 1 已知 5 3 7cos 2 求 2 cos 的值 2 已知1 1tan tan 求下列各式的值 cossin cos3sin 2cossinsin2 解 解 1 5 4 2 2 cos 2 3 5 cossin cos3sin 变式训练 变式训练 化简 4sin 8cos tan 5sin 4 cos 4 sin 解 解 原式 sin 原式 0 例例 5 已知 0 2 x sin x cos x 5 1 1 求 sin x cos x 的值 2 求 x xx tan1 sin22sin 2 的值 解 解 1 5 7 2 175 24 变式训练 变式训练 已知 sin cos 5 1 0 求值 1 tan 2 sin cos 3 sin3 cos3 解解 方法一方法一 sin cos 5 1 0 sin cos 2 25 1 1 2sin cos sin cos 25 12 0 由根与系数的关系知 sin cos 是方程 x2 5 1 x 25 12 0 的两根 解方程得 x1 5 4 x2 5 3 sin 0 cos 0 sin 5 4 cos 5 3 1 tan 3 4 7 2 sin cos 5 7 3 sin3 cos3 125 37 方法二方法二 1 同方法一 2 sin cos 2 1 2sin cos 1 2 25 12 25 49 sin 0 cos 0 sin cos 0 sin cos 5 7 3 sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 5 1 25 12 1