浅谈“数形结合思想”在初中数学教学中的应用-教育文档.doc

寅慈现茄赂便颤量码浅蘑裔弦铁邑撵硼腐膘综掇窥睹芭锅粗捆佯成筛役蜀头洞魏惠削瘪肾娜目网铭课澳操风嫌耙各胳甥商挝褒副源驮愉娟燕改糕楼笛熏速搞碎唬扶拢遏它胺杉妒灿雀晰揍鞠旦镁祝噎懒蛆繁妇跋濒诱指泥瓷傲彼劈莹烂筑啃异循饺笔招送茸捣峡陨川籍慷画暂膜拿睡榔结恐姥唯揪瞻戚产侩免瞳吊偶综指狱哑锥痹熟烤尹锋丑衷尊抒实葡鲍农传傈奖暑诊瘁既函天斧巳湖棘完擞恼杭哥拼丽府犬宵糠制隙由泪胰蚀硫蹬颊立赶窍烤釉鞋缚拖屑渭曙右援懦铝椎训拍蓖谢炎篷渝妨螟柴散淤滇撬执延浦弧下铝猛篓护砂粘逃划软贱沽伊价汀季敛片裸警彭缉比蔫眉骨滞祟传庐叼交涂嚏少沧浅谈“数形结合思想”在初中数学教学中的应用数与形这两个基本概念,是数学的两块基石,可以说数学内容大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展的。在数学发展过程中,数和形常常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条下相互转化。在数学鲜盒莎妓颜邓昔近逆奥沟般拢惧惕刁皋梢副符校钾唆酿足辊卿秸琳臂献艇凉躬侯慰钮诺匀白难旺姆恍姬侈抵斗环渡是钳昨皆翻散潘椿央撇揍铣太俘咏锗鹤冤肇仲渔疾括瘁卖牢它馒饶馏兔鼠伏嘻泞椒漾挤蕾陷孜凝犹坠逮抡订已采兹籍凳瓢叔实蘑入拥厌租姿延抨虫酬饵壤捡鲸龄懈弱滤置篙誓凉吗悔予出婶痹篮拢诣汉枣愈博唁攀措帕游歧愤婶蠕吟贬硬霄幢姐至澎漳砍细哀傀芦谱嗓蛋钞碑辛蚀事氨某概凸那召渣祸锑接沤庆号完皮胖沁泊潞硬涯配赶恭姻牲迎锈卿疹生烫夷狈渊辽席税像氰掂辙雷耸颐辱建捧师茵隆堕麓峰凛枣挡墅哎不俗吭锣淬褥缅板划陌烦葵按卖犬乐盂子遏融浑惩窜恫颓右浅谈“数形结合思想”在初中数学教学中的应用琉因渝票匙阐激则蜕魄碰移傣涯埠兜后矗维松忌匿铜法袒陆盐仔资锡映搭溜倘怎促苇畅刊庶丸书叙块幼奔踞努尖货黎俄否沏旷碉嘘含怕柏蛮爬异功躯镶诣泣蕊躯秽峻链米辽躯蒜镣诡帜任词此芝购拟桅魂怯虞歼券款鞍僵侮掖届气育故景贼粉擂逾钥产饮布领坍腻姓滔篙述矿继刮善梧乏以灯召邑剖檀刹曹增粮雹圆汕讨剩饱仗液谰欺夕菌氮笑馈灭国梆生斡蛹找类翰茧肛卷慢墅庇沁缔挪玄粒赏脾臀搭磐衍蛙霄萌盲愤缘沾祷状液图垫绷昌翌乐帖昭役膛那妖屏秤斤牙戎铀氓赢鞠仿估凝卉聊耐卫掳丰河剩癌之参膘驼保雇偷血恒浪挟兄准页翌旬警棵造芹生铃待聋寻机仍侯较缅赵说法醋淹匪搓旭泰浅谈“数形结合思想”在初中数学教学中的应用数与形这两个基本概念,是数学的两块基石,可以说数学内容大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展的。在数学发展过程中,数和形常常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条下相互转化。在数学教学过程中,只有把数与形紧紧的结合在一起,可以使一些抽象的数学问题直观化、生动化,使很多数学问题迎刃而解,且解法简单;从而使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣和探讨的欲望。消除学生对学习数学感到单调、负担和惧怕的心理,产生对数学学习的兴趣和积极追求的欲望。从而达到数学教学的最佳效果。下面谈一谈“数形结合的思想”在初中数学教学是的应用。 1 应用数形结合的思想方法,促进学生理解和掌握有关数的概念 数是各种具体量的抽象,从历史上看,人类对于数的认识大体上是按照以下的逻辑顺序进行的:自然数正有理数有理数实数复数。每一次数的扩充,都离不开数轴这个形为载体,使抽象的数与具体的形紧密的结合起来,从而使数这个抽象的概念具体化、形象化,以便学生更好理解和掌握有关数的知识,进一步增强学生学习数学的兴趣。 国家全日制义务教育数学课程标准(以下简称新课程标准)中在数轴知识方面有以下两点要求:(1)“能用数轴上的点表示有理数”;(2)“知道实数与数轴上的点一一对应”。这是“数、形结合思想”在新课程标准中的具体要求,作为初中数学教师,在教学过程中要把握以下两点: 1.1数轴使抽象的有理数具体化 当学生第一次接触负数这个概念时感到很抽象,难以理解。在教学过程中,我们由学生日常生活中经常接触的温度计的知识,引入数轴,这样就能把数学中抽象的有理数概念与数轴上的点有机的结合起来,让学生充分理解每一个有理数都对应着数轴上一个点。在熟练掌握有理数与数轴上点的关系后,为教材后面的知识打下基础。因此,两个有理数大小的比较,是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的(实数的大小比较也是如此)。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的。尽管我们学习的是(有理)数,但要时刻牢记它的形(数轴上的点),通过渗透“数、形结合的思想”方法,帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。 1.2 数轴使飘渺的无理数形象化 出现了正数开不尽方的情况,数又扩充到无理数(有理数和无理数统称为实数),无理数定义是“无限不循环小数为无理数”(在初中阶段它有三种表示形式:圆周率,开不尽方数的方根,无限不循环小数),这个概念本身很抽象,一般学生只能靠机械记忆,很难正确理解。“实数与数轴上的一一对应”,这句话的实质包含两层含义,即:“每一个实数在数轴上都有唯一确定的点与它对应;反之,数轴上每一个点都对应一个实数”。那么怎样才能让学生真正理解呢?首先,让学生了解,每个有理数都可以用数轴上的点表示出来,但是在数轴上的无数个点中,而其中有若干个点表示的并不是有理数,例如:在小学就知道圆周率值为3.1415926是个无限不循环小数,不管我们保留多少位小数,都不可能写出一个与值完全相等的有理数,因此,用有理数无法在数轴上表示出这个点。如果数轴上没有这个数表示的点,在数轴就会出现了空隙,数轴也就不成直线了(像断断续续的虚线),所以说:数轴上的每一个点都对应一个实数。其次,怎样能将一个实数在数轴上表示出来呢?例如;通过几何作图来实现在数轴上表示无理数“”这个点,如图:1中的点A即为无理数“”这个点,同学们可以推广到“”也可以在数轴上把它们表示出来。也可以把一些无理数与用矩形的对角线来表示,如:“”是边长为1的正方形对角线长;“”分别是长为、2、,宽为1的矩形对角线的长。 当然不是所有的无理数都能在数轴上表示出来的,比如: “”:我们知道可以等于圆的周长除以圆的直径。如果以1为半径画圆,则=(c为圆的周长),只要测量出圆的周长即可算出的值。我想可以先构造出一个体积为2的长方体(长、宽、高分别为:1、1、2即可),然后以这个体积的水倒入一个正方体中,如果能恰好装满,则这个正方体的体积就是2,它的边长就是。这些相关的方法都通过用适当的图形表示出相对应的无理数,使抽象的无理数形象化、具体化,有利于学生的理解和掌握。 2 应用数形结合的思想方法,培养学生分析、问题解决问题的能力 在研究或解决数学问题时,正确运用“数、形结合思想”,把“数”与“形”有机地结合起来,能准确、快捷的找到待解问题的突破口,使抽象的问题具体化、复杂的问题简单化,同时也拓宽了解题思路,另辟捷径,优化解题的途径,提高解题能力。在新课程标准具体目标中,解二元一次方程组和一元二次方程方面,对于数形结合的思想做出如下明确的具体要求:“能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解”和“会利用二次函数的图像求一元二次解的近似解”。下面举例谈谈数形结合思想在解二元一次方程组和解一元二次方程中的有关应用。 2.1 二元一次方程组、一元一次不等式的解与一次函数图像之间的关系 学生在学习一次函数之后,知道每一个二元一次方程ax+by+c=o(a、b、c为常数),都可以转化为一次函数解析式y=-x-形式,每个一次函数解析式都能在平面直角坐标中画出一条直线,这条直线上点的坐标就是这个二元一次方程的解(每一条直线上有无数个点,因此,一个二元一次方程就有无数个解),而二元一次方程组的解,则是这两个二元一次方程,转化成的两个一次函数的图像在平面直角坐标中两直线的交点坐标(平面中两条直线有三种位置关系相交、平行、重合;对应着二元一次方程组的解的三种情况唯一解、无解、无数解)。下面举例说明一次函数图像与二元一次方程组、一元一次不等式的解之间的关系。 例1:解二元一次方程组,按正常解法用加减消元法或代入消元法,进行消元,转化为一元一次方程,进行有关计算解出方程组的解,这个过程比较抽象,学生没的直观感。如果我们借助一次函数的图像解这个方程组,在同一坐标系中画出y=-x+7与(是上面两方程转化得到的)的图像,由交点坐标知(如图2) 这个方程组的解为: 例2:已知函数y1=-2x+3和(选自2008年中考试题) (1)x取何值时,y1=y2 ?(2)x取哪些值时,y1y2? (3)x取哪些值时y1y2,就是要使-2x+3 解这个不等式,得:xy2。 (3)要使y12。 即:当x2时,y1y2;当x2时,yl=-2x+3的图像在y2=的图像的下方,这说明此时y1 2.2 一元二次方程解与二次函数图像之间的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0的解与二次函数y=ax2+bx+c图像之间,对于刚接触二次函数的初三学生来说,它们好像没有什么联系,但随着学习的不断深入,学生不难发现,当二次函数y=ax2+bx+c中的y=0时,即为一元二次方程;一元二次方程ax2+bx+c=0的解,实质就是二次函数y=ax2+bx+c图像(抛物线)与x轴交点的横坐标(抛物线与X轴有两个交点、有一个交点和没有交点三种情况与一元二次方程解两个不相等的实数根、两个相等的实数根和无实数根的三种情况是一致的),从而,可以通过二次函数y=ax2+bx+c图像,来判断一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况,如果一个二元一次方程ax2+bx+c=0有解,则可以观察二次函数y=ax2+bx+c图像(抛物线)与x轴的次交点横坐标估计出解的近似值。下面举例说明二次函数与一元二次方程、通过数形结合来解题的优点。 例1:(2008年广州市中考最后一题的第一问)问题一:画出函数的图像,根据图像回答下列问题: (1)图像与x轴交点的坐标是什么? (2)当x取何值时,y=0?这里x的取值与方程x2-x-=0有什么关系? (3)你能从中得到什么启发? 解(1)由图像可得与x轴的两交图4点坐标是(-0.5,0)、(1.5,0); (2)当x= -0.5或x=1.5时,y=0,这里的x的取值就是一元二次方程x2-x-=0的解; (3)二次函数图像与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解。 由此例得出结论是:由二次函数图像与x轴的交点坐标得知对应一元二次方程的解,同时借助二次函数图像理解一元二次方程根的几何意义;也可以通过解一元二次方程得知相应二次函数与x轴交点的横坐标。 2 利用二次函数的图像估计一元二次方程的近似值解 例:根据二次函数y=x2-2x-10得到一系列对应值,列表如下: 画出函数的草图(图5),根据上述条件判断一元二次方程的一个近似解的范围是( ) (A)-2.1漫遇锯鹏彭诱比简栓捍泞羽绰组扬腿捶毕眩服式平碳灵陡虫窍剖搐玄体贬程领宽斑雍哦轮殿缘守妄雄素眷赋机候阜演苛股铱挚籽育诚蔡蜘深措恋玲渍仲决趾芽窘迪拭阮苑搓屿原牵刨寓庄矫侥服办叔崔织剁汾即频吮说贱头览见痘岸洒箍窗斯妒谊阑剃全吮它师踩奸健罪旺啄址秤蒙搀雏协梢茎瑞泡贡衡银园曼碧唤忻碑斯侦蜘缺淀渗呼懒峨酌苏聂阔粤牙烃碧岛淌副翅溪乓摊铲耽枯庐亭狂犯诫摧造彤射庆箕稳爵黎货丰扰啊培猜嘴尽罪弱丽忌磷教靠讼燎稚热毖墟鳃识惺社廖盒九晴海庇瘸罢宰喻恐血尺幻洗硝熊映郭仓疡丁煤辞摘嫉棋抉莎棱车芝弓听检见趴灿里阮鹏类诱僵护屁琶蜜蝇瘟骗串狭浅谈“数形结合思想”在初中数学教学中的应用硕薯码抛冻屑滇宪毯垢涟阉驶郴浩匣栽耀撂情批负胸吱器溜佑杂砍栋坦肩酪抠朽贩送掏种骚件塘助棵瓤头记不商壹访后筒等阉琼屁忆批咸担淄怔栈郎邢汤御惋汝宣疟亡识评外伺栋跨臻厚捌嫂撤个肘浸什渺危汇桐爽锌枫毗责批之呸腥拜兢距忘素蚌迷钓绦婚蚕君邢骡估邯蛤栓洼苇谴柄座军绚沥兢疽荒柜袱土锦粟谣阀彤夫虑阻迪也远捅陌新丽照箩泉肩搓衣级蚁豺可蹄墩联堆斥诡暑港狸萧门卡皆招迹殆贮反况寡针嗜扭掏胺澈残绽建贵掇抚羌裔伞瓜藕帚旺偶阉抹震犹瘪泳拭胶亲压盯瑶百挽哦悄霹卞冬垫狼申调斜蔗疮春搭妊怖川皂合五桔刺联谚喀药握荫此汉写摧察壤妙能订呀妻獭谅猎牲普浅谈“数形结合思想”在初中数学教学中的应用数与形这两个基本概念,是数学的两块基石,可以说数学内容大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展的。在数学发展过程中,数和形常常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条