点到直线的距离1

1教学案例教学案例 2 课题名称课题名称点到直线的距离点到直线的距离 人教版高中数学第七章 人教版高中数学第七章 直线和圆的方程 第直线和圆的方程 第 9 课时 课时 科科 目目高中数学年级年级高 二 教学时间教学时间45 分钟 学习者学习者 分析分析 高二年级学生已掌握了三角函数 平面向量等有关知识 具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力 我班学 生基础知识掌握较扎实 思维较活跃 但综合运用能力不强 处理抽象问题的能力还有待进一步提高 一 情感态度与价值观一 情感态度与价值观 1 结合现实模型 将教材知识和实际生活联系起来 使 学生感受数学的实用性 有效激发学生的学习兴趣 2 培养学生团队合作精神 培养学生个性品质 培养学生 勇于探究的科学精神 二 过程与方法二 过程与方法 1 教学方法为启发引导法 讨论法 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程 渗透算法 的思想 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程 培养学生的数学阅读能力 通过灵活应用公式的过程 提高学生类比化归 数形结 合的能力 2 研究性学习方法 培养学生探究能力和由特殊到一般的研 究问题的能力 教学目标教学目标 三 知识与技能三 知识与技能 理解点到直线的距离公式的推导过程 掌握点到直线的距离公式 掌握点到直线的距离公式的应用 教学重点 难教学重点 难 点点 教学重点 教学重点 点到直线的距离公式推导及公式的应用点到直线的距离公式推导及公式的应用 教学难点 点到直线的距离公式的推导教学难点 点到直线的距离公式的推导 教学资源教学资源 1 教师自制的多媒体课件 2 上课环境为多媒体大屏幕环境 Comment a1 利用模型直观引入新 课 激发学生的兴趣 Comment a2 由于教材上对于点到 直线的距离公式的证明比较抽象 所 以补充了 5 个由浅人深的具体问题 培养学生探究能力和由特殊到一 般的研究问题的能力 教教学学过过程程 教教学学活活动动 1 1 1 导入新课导入新课 1 1 创设情境 创设情境 以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例 当火车在高速行驶时 周围会产生负压 如果旅客离铁轨中 心的距离小于 2 米 5 时 就可能被吸入车轮下发生危险 让 学生直观感受几何要素 点到直线的距离 引发学习好 奇心和研究兴趣 现实模型 现实模型 地质勘探 铁轨宽度 人离高压电线的安全距离 图片欣赏 图片欣赏 生活实例 flashflash 动画演示 动画演示 回顾旧知 回顾旧知 在初中 点到直线的距离 的定义是什么 2 教师提出问题 引发认知冲突教师提出问题 引发认知冲突 问题 假定在直角坐标系上 已知一个定点问题 假定在直角坐标系上 已知一个定点 P x0 y0 和一 和一 条定直线条定直线 l Ax By C 0 那么如何求点 那么如何求点 P 到直线到直线 l 的距离的距离 d 请学生思考并回答 请学生思考并回答 教教学学 活活动动 2 2 教师用投影出示下列 5 道题 尝试性题组 请 5 位学生上黑 板练习 第 4 题请一位运算能力强的同学 其余学生在下 面自己练习 每做完一题立即讲评 1 求 P 2 3 到直线 l x 5 的距离 d 答案 d 3 2 求 P x0 y0 到直线 l By C 0 B 0 的距离 d 答 案 0 C dy B 3 求 P x0 y0 到直线 l Ax C 0 A 0 的距离 d 答案 0 C dx A 4 求 P 7 6 到直线 l 4x 3y 5 0 的距离 d 答案 d 3 5 求 P x0 y0 到直线 l Ax By C 0 AB 0 的距离 d 第 1 容易 2 和 3 题虽然含有字母参数 但由 于直线的位置比较特殊 学生不难得出正确结论 第 4 题 虽然运算量较大 但按照刚才学生 1 回答的方法与步骤 也 能顺利解出正确答案 第 5 题虽然思路清晰 但由于字母 参数过多 运算量太大行不通 学生们陷入了困境 Comment a3 培养学生团队合作精 神 培养学生个性品质 培养学生勇 于探究的科学精神 2 教师启发引导 学生走出困境 教师启发引导 学生走出困境 根据以上根据以上 5 位学生的运算结果 发现当直线的位置比较位学生的运算结果 发现当直线的位置比较 特殊 水平或竖直 时 点到直线的距离容易求得 而当直特殊 水平或竖直 时 点到直线的距离容易求得 而当直 线是倾斜位置时则较难 含有多个字母时虽然想起来思路线是倾斜位置时则较难 含有多个字母时虽然想起来思路 很自然 但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果 很自然 但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果 练习 练习 5 有没有运算量小一点的推导方法呢 我们能不能 有没有运算量小一点的推导方法呢 我们能不能 根据刚才的第 根据刚才的第 2 3 的启示 借助水平 竖直情形和 的启示 借助水平 竖直情形和 平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢 通过同学们思考 平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢 通过同学们思考 过点过点 P 作作 x y 轴的垂线分别交直线轴的垂线分别交直线 l 于于 S R 则由三角 则由三角 形面积公式可得形面积公式可得 PQ PR PS PR PS RS RS PQ 22 00 BA CByAx 当当 A 0 或或 B 0 时 时 PRS 不存在 故应说明公式当不存在 故应说明公式当 A 0 或或 B 0 时是否适用 时是否适用 由 由 2 3 检验可知公式依然成立 即公式对任意直线都 检验可知公式依然成立 即公式对任意直线都 适用 适用 教教学学活活动动 3 3 3 小组活动 小组活动 推导点到直线的距离公式的方法不少 前面我们学了函 数 三角函数 向量 不等式等数学知识 你能用所学过的 知识从不同角度 采用不同方法来推导这个公式吗 请同学 们先独立思考 然后在小组上进行讨论交流 由组长负责记 录 10 分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推 导方法通过实物投影进行 成果 交流 学生们积极探讨 教师来回巡视 回答各研究小组的询 问 学生交流 成果 教师点评小结 实物投影仪 经过约十分钟的研讨 各小组都找到了新的推导方法 于是教师请 4 名代表依次上讲台 让准备成熟的先讲 借助 实物投影介绍本组的 成果 由于时间关系 每组只要求讲 一种方法 用时不超过 4 分钟 且各组的方法不能重复 P x0 y0 Ox y l S R d Q 图 1 方法方法 利用定义的算法思路方法利用定义的算法思路方法 学生分析解题思路 整理出算法框图 学生的回答可能会忽略 这个条件限制 教师要给予纠正并强调直线 00kA 即 的斜率是否存在 主要取决于分母是否为 0 这也是对前 l k 面知识的巩固 对于的特殊情况 可以结合图象直接得出结论 00AB 或 得到点到 的距离PldPQ 确定直线 的斜率l 0k k 求过点垂直于 的直线的方程Pl l 求与 垂直的直线的斜率l l 1 k k 求 与的交点l l Q 求点与点的距离PQ 方法方法 利用直角三角形的面积公式的算法思路利用直角三角形的面积公式的算法思路 教师 根据得到的算法思路 请同学们自学教材的证明方 52 P 法 方法方法 利用平面向量的算法思路利用平面向量的算法思路 过点P作x轴 y轴的垂线交l于点RS 求出PRPS 利用勾股定理求出RS 根据面积相等知d RSPRPS 得到点P到l的距离dPQ 用 00 xy 表示点RS 的坐标 探探 索索 思思 考考 M x y 0l AxByC y x 00 P xy Q O 教师点评 教师点评 巧妙利用向量数量积的性质来求距离 简直是巧妙利用向量数量积的性质来求距离 简直是 巧夺天工巧夺天工 与其他方法相比 这种方法有绝对优势 我们 与其他方法相比 这种方法有绝对优势 我们 必须重视对向量工具性的研究和应用必须重视对向量工具性的研究和应用 方法方法 4 利用函数的思想利用函数的思想 把它称为把它称为 柯西不等式法柯西不等式法 我们知道 我们知道 P 点到直线点到直线 l 的距离的距离 实质上是点实质上是点 P 与直线与直线 l 上上 任意一点任意一点 T 的距离的最小值 于是我们设的距离的最小值 于是我们设 T x1 y1 为直线 为直线 l 上的任一点 如图上的任一点 如图 2 则 则 Ax1 By1 C 0 而而 d PT PT min min 于是 于是 PT PT 2 10 2 10 yyxx 探探 索索 思思 考考 T x1 y1 O x y l d P x0 y0 Q 图 2 设点 M x y是直线l上任意 一点得 00 PMxxyy 设PMn 与的夹角为 得cosPM nPM n 得到点P到l的距离cos PM n dPM n 求与l垂直的向量 nA B 22 00 22 00 BA CByAx BA BAyyxx d 得到 Comment a4 练习巩固 Comment a5 归纳可以强化学习效 果 布置作业 促进所学内容的迁移 22 2 10 2 10 BA yyxx 22 BA 利用柯西不等式 便有利用柯西不等式 便有 PT PT 22 2 1010 BA yyBxxA 22 00 BA CByAx 所以所以 d 此时 此时 即 即 PT 垂垂 22 00 BA CByAx 0101 B xxA yy 直于直线直于直线 l 教师点评 教师点评 这一证法果然十分巧妙 包含的数学思想十分丰这一证法果然十分巧妙 包含的数学思想十分丰 富 由点到直线的距想到最小值 又由最小值想到不等式 富 由点到直线的距想到最小值 又由最小值想到不等式 在一步步在一步步 转化转化 中问题得到圆满解决 同时也体现了不等中问题得到圆满解决 同时也体现了不等 式的工具作用 式的工具作用 教教学学活活动动 4 4 公式应用 学生练习 公式应用 学生练习 ppt 1 求求 P 6 7 到直线 到直线 l 3x 4y 5 0 的距离的距离 d 直接代公式得答案 直接代公式得答案 d 1 2 求 求 P 1 1 到直线 到直线 l 的距离的距离 d 21yx 先化直线方程为一般式再代公式得答案 先化直线方程为一般式再代公式得答案 4 5 5 d 教教学学 活活动动 5 5 教师小结并布置作业教师小结并布置作业 ppt 这节课我们学习了点到直线的距离公式 在公式的推导 中学到了许多重要的数学思想和方法 感受到了数学的奥妙 也感受到了成功的喜悦 其实这个公式的推导方法很多 许 多同学有创造性的推导方法不能进行展示 交流 请同学们 撰写一篇题为 点到直线距离公式的多种推导方法 的数学 小论文 允许三到四人合作完成 教材 13 14 16 54 7 3P 习题 3 4 5 6 7 8 9 10设设 计计 说说 明明 11数学公式的教学应包含两个部分 公式的推导和公式的运用 由于受应试 12教育的影响 前者往往被 轻描淡写 而后者却搞得 轰轰烈烈 这显然与 13 重结论 但更重过程 的现代教育理念相违背 其实数学公式的推导都蕴含 14着丰富的数学思想和数学方法 谁忽视了这个 产生过程 谁就忽视了数学的 15 精髓 谁就忽视了学生探究性思维品质的培养 对于这一节内容 有两种不 16同的处理方法 一种是仅让学生理解 记忆公式 直接应用而不讲公式的探寻 17过程 这样的教学不利于对学生数学思维的培养 另一种是本课所体现的方式 18通过强调对公式的探索过程 提高学生利用代数方法处理几何问题的能力 19这节课把研究性学习引入公式的教学 让学生真正成为课堂的主人 在推 20导公式的过程中 学生通过克服困难的经历 以及获得成功的体验 锻炼了意 21志 增强了信心 其实所有公式的教学 定理的教学都应向这个方向努力 22数学教学 从根本上讲就是提高学生的数学素质 提高学生的数学素质的 23有效途径有二 其一 使学生善于总结 使零乱的知识系统化 综合化 其二 24使学生善于联想 培养发散性思维 由于点到直线的距离公式的证明过程含字 25母运算 比较抽象 如果没有整体算法步骤的分析 学生的思路势必会缺乏连 26贯性 所以本课重点分析了四种算法思想 利用定义的算法 利用直角三角形 27的面积公式的算法 利用平面向量的算法 让学生在明晰算法步骤的前提下 28再进行有效的公式证明和自学阅读 利用函数的思想充分体现了不等式的工具 29作用 本节课使学会从不同的角度思考问题 加强知识间的联系 正是锻练 30提高学生运用知识分析问题和解决问题的能力 从而提高数学素质 31通过公式求点到直线的距离并不困难 但这个公式的推导方法不下十种 32且