【素材】《等等差数列的前n项和》《数列求和方法》扩展资源（人教）-1

数列求和的基本方法和技巧数列求和的基本方法和技巧 数列是高中代数的重要内容 又是学习高等数学的基础 在高 考和各种数学竞赛中都占有重要的地位 数列求和是数列的重要内 容之一 除了等差数列和等比数列有求和公式外 大部分数列的求 和都需要一定的技巧 下面 就几个历届高考数学来谈谈数列求和 的基本方法和技巧 一 利用常用求和公式求和一 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 自然数方幂和公式 3 4 1 2 1 1 nnkS n k n 12 1 6 1 1 2 nnnkS n k n 5 2 1 3 1 2 1 nnkS n k n 例例 求和 1 x2 x4 x6 x2n 4 x 0 解 解 x 0 该数列是首项为 1 公比为 x2的等比数列而且有 n 3 项 当 x2 1 即 x 1 时 和为 n 3 评注 评注 1 利用等比数列求和公式 当公比是用字母表示 时 应对其是否为 1 进行讨论 如本题若为 等比 的形式而并未 指明其为等比数列 还应对 x 是否为 0 进行讨论 2 要弄清数列共有多少项 末项不一定是第 n 项 对应高考考题 设数列 1 1 2 1 2 12 22 n 的前顶和为 则的值 n s n s 二 错位相减法求和二 错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置 近几年来的高考题 其中的数列方面都出了这方面的内容 需要我们的学生认真掌握好 这种方法 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方 法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 求和时一般在已知和式的两边 都乘以组成这个数列的等比数列的公比 然后再将得到的新和式 q 和原和式相减 转化为同倍数的等比数列求和 这种方法就是错位 相减法 例例 求和 132 12 7531 n n xnxxxS1 x 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 1 的通项与 1 12 n xn 等比数列 的通项之积 1 n x 设 n n xnxxxxxS 12 7531 432 设制错位 得 nn n xnxxxxxSx 12 222221 1 1432 错位相减 再利用等比数列的求和公式得 n n n xn x x xSx 12 1 1 21 1 1 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 注意 1 要考虑 当公比 x 为值 1 时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列 对应项相乘 对应高考考题 设正项等比数列的首项 前 n 项和为 n a 2 1 1 a 且 求的通项 n S0 12 2 1020 10 30 10 SSS n a 求的前 n 项和 n nS n T 三 反序相加法求和三 反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个 数列倒过来排列 反序 再把它与原数列相加 就可以得到 n 个 1n aa 例例 求证 nn nnnn nCnCCC2 1 12 53 210 证明 设 n nnnnn CnCCCS 12 53 210 把 式右边倒转过来得 011 3 12 12 nn n n n nn CCCnCnS 反序 又由可得 mn n m n CC n n n nnnn CCCnCnS 110 3 12 12 得 nn n n nnnn nCCCCnS2 1 2 22 2 110 反序相加 n n nS2 1 四 分组法求和四 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数 列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 若数列的通项公式为 其中中一个是等差 n a nnn bac nn ba 数列 另一个是等比数列 求和时一般用分组结合法 例例 求数列的前 n 项和 16 1 4 8 1 3 4 1 2 2 1 1 分析 数列的通项公式为 而数列分别是等 n n na 2 1 n n 2 1 差数列 等比数列 求和时一般用分组结合法 解 因为 所以 n n na 2 1 2 1 8 1 3 4 1 2 2 1 1 n n ns 分组 2 1 8 1 4 1 2 1 321 n n 前一个括号内是一个等比数列的和 后一个括号内是一个等差数列 的和 因此 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 n n nnnn 五 裂项法求和五 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质 是将数列中的每项 通项 分解 然后重新组合 使之能消去一些 项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项 如 1 2 1 nfnfan nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 4 1 11 1 1 nnnn an 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 例例 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 解 设 nn nn an 1 1 1 裂项 则 1 1 32 1 21 1 nn Sn 裂项求和 1 23 12 nn 11 n 小结 此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后 其中中间 的大部分项都互相抵消了 只剩下有限的几项 注意 余下的项具有如下的特点 1 余下的项前后的位置前后是对称的 2 余下的项前后的正负性是相反的 练习练习 在数列 an 中 又 11 2 1 1 n n nn an 求数列 bn 的前 n 项的和 1 2 nn n aa b 六 合并法求和六 合并法求和 针对一些特殊的数列 将某些项合并在一起就具有某种特殊的 性质 因此 在求数列的和时 可将这些项放在一起先求和 然后 再求 Sn 例例 在各项均为正数的等比数列中 若 的值 103231365 logloglog 9aaaaa 求 解 设 1032313 logloglogaaaSn 由等比数列的性质 qpnm aaaaqpnm 找特殊性质项 和对数的运算性质 得NMNM aaa logloglog log log log log log log 63539