《复变函数吉大》PPT课件.ppt

1 2 课程说明及考核办法 课程说明 面向通信学院的必修课 40学时 周学时3 实际授课13次左右 学时所限 基本上按教材内容授课 考核办法 课程结束后 统一组织考试 成绩为百分制 无平时成绩 3 第一章复数与复变函数 本章主要内容 复数的概念 复数的性质 运算 复平面点集及区域 复变函数的定义 极限 连续 4 第一节复数极其几何表示 复数的概念由实数x y和虚数单位i构成的数z x iy称为复数 Complexnumber 全体复数记为C i称为虚数单位 i2 1 x称为复数的实部 记为x Re z y称为复数的虚部 记为y Im z 5 y 0时 又称z x iy为虚数 若同时x 0称z iy为纯虚数 y 0时 称z x为实数 R C 两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等 与向量相等定义相同 与实数不同 一般来说 任意两个复数不能比较大小 同向量的定义 复数的历史 参考 6 从复数z x iy的定义可知 复数是由一对有序实数 x y 惟一确定的 于是可建立全体复数和xOy平面上的全部点之间的一一对应关系 称xOy平面的x轴为实轴 y轴为虚轴 把和复数建立了一一对应关系的平面称为复平面或z平面 复数的几何表示 7 在复平面上 把复数z x iy和平面点P x y 当作同义语 复数z x iy还可以用以原点为起点 P x y 为终点的向量来表示 向量的长度称为z的模或绝对值 8 当z 0时 向量与正实轴的夹角称为复数的辐角 记为则有 当z 0时 若 1为复数z的一个辐角 则 1 2n 也是复数z的辐角 因此 任何一个复数z 0都有无穷多个辐角 记为 当z 0时 z 0 辐角不确定 9 满足的辐角 0称为Argz的主值 记作 0 argz 于是有 复数的三角表示式与指数表示式 利用直角坐标与极坐标的关系 称为复数z的三角表示式 10 利用欧拉公式 又可以得到 称为复数的指数表示式 复数的各种表示法可以相互转换 可根据需要使用不同的复数表示式 11 复数的运算 加法和减法 两个复数 乘法 复数运算方法与多项式 运算律 相同 12 共轭复数 称为的共轭复数 共轭复数有下列性质 z与关于实轴对称 13 复数除法 14 复数三角表示式与指数表示式的积商 设有两个非零复数z1 z2 乘法 15 定理两个复数乘积的模等于它们模的乘积 两个复数乘积的辐角等于它们辐角的和 注意由于辅角的多值性 上式中的等式是两个无限集合意义下的相等 即对于Arg z1z2 的任一值 一定有Argz1及Argz2的各一值与之对应 使得等式成立 反过来也是一样 16 除法 定理两个复数商的模等于它们模的商 两个复数商的辐角等于它们辐角的差 17 复数的幂 上式又称为棣莫弗公式 r 1 n为整数 18 复数的方根 若复数wn z 则称复数w为z的n次方根 记为 设 则有 19 复数w为z的n次方根为 可得到n个不同的值 在几何上 这n个值是以原点为中心 为半径的圆的内接正n边形的n个顶点 20 例题 已知 求z的值 解 列出各值 略 21 求方程的根 解 列出各值 略 22 复球面及无穷大 复球面 参见教材 引入惟一无穷远点 无穷远点与无穷大 复平面上 与原点距离为无穷大的点 我们称之为 无穷远点 记为 关于无穷远点 我们规定其实部 虚部 辐角无意义 并且规定 复平面上有惟一的 无穷远点 复平面加上无穷远点称为扩充复平面 23 第二节复变函数 区域的概念 邻域 复平面上 以z0为中心 以 0为半径的圆的内部的点的集合称为点z0的一个邻域 这里讲的定义 本质上与高数中的相同 24 内点与开集 设G为一点集 z0为G中的任意一点 若存在点z0的一个邻域完全包含在G内 则称z0为G的内点 若G内的每个点都是它的内点 则称G为开集 区域 设点集D满足下列两个条件 D是开集 D是连通的 即D中任何两点都可以用一条完全属于D的折线连接起来 则称D为一个区域 连通的开集 25 与区域相关的几个概念 设D为一个区域 若点P的任意邻域内 既有属于D的点 也有不属于D的点 则称P为D的边界点 区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域 记作 D的所有边界点称为D的边界 若存在正数M 使区域D的每个点z都满足 则D称为有界区域 否则称为无界区域 26 区域举例 圆盘 z z0 r是无界区域 又是无穷远点的一个邻域 27 若x t 和y t 是两个连续实变函数 则x x t y y t a t b 代表一条平面连续曲线 如果令 平面曲线的概念 那么这条曲线就可以用一个方程来表示 称为平面曲线的复数表示式 28 若在a t b上都是连续的 且 则称此曲线为光滑曲线 由几段光滑曲线连接而成的曲线称为按段光滑曲线 曲线C z z t a t b 为一条连续曲线 z a 与z b 分别是C的起点和终点 对于满足a t1 b a t2 b的t1和t2 当t1 t2而有z t1 z t2 时 点z t1 称为曲线C的重点 29 没有重点的连续曲线 称为简单曲线 起点和终点重合 即满足z a z b 的简单曲线称为简单闭曲线 一条简单闭曲线C把复平面分成两个区域 一个是有界的 称为C的内部 另一个是无界的 称为C的外部 C为它们的公共边界 设B为一区域 若属于B的任何简单闭曲线的内部都属于B 则B称为单连通区域 非单连通区域称为多连通区域 30 复变函数的概念 复变函数设G是一个复数集合 若对于G中的每一个复数z x iy 按照某一法则 有复数w u iv与之对应 则称复数w是复变数z的复变函数 记作w f z G称为复变函数f z 的定义域 对应于G中所有z的一切w值所构成的集合称为复变函数f z 的值域 31 若z的一个值对应着w的一个值 则称f z 为单值函数 若z的一个值对应着w的两个或两个以上的值 则称f z 为多值函数 如无特别声明 我们所讨论的函数都是指单值函数 设z x iy w u iv 则函数w f z 变为w f z f x iy u x y iv x y u iv所以 一个复变函数w f z 就相当于两个二元实变函数u u x y v v x y 32 举例若w z2 则由z x iy w u iv 得u iv x iy 2 x2 y2 i 2xy 因而w z2相当于 33 在高等数学中 常常把实变函数用几何图形来表示 利用几何图形来帮助我们理解和分析函数的性质 对于复变函数 由于它反映了两对变量u v和x y之间的对应关系 因此就不能用同一个平面内的几何图形来表示复变函数 需要通过两个复平面上的点集之间的对应关系来表示复变函数 映射 34 若用z平面上的点表示自变量z 用w平面上的点表示函数w 这样函数w f z 在几何上 可以认为是定义域在z平面上的点集G到值域在w平面上点集f G 上的映射 若G中的点z被w f z 映射成f G 中的点w 则称w为z的象 称z为w的原象 35 和实变函数一样 复变函数也有反函数的概念 设函数w f z 的定义域为G 其值域为f G 则对于f G 中的每一点w必有G中的一个或几个点z与之对应 这样在f G 上就确定了一个函数z w 称它为w f z 的反函数 反函数 36 复变函数的极限 设w f z 在z0的某去心邻域内有定义 A是一个常数 若对于任意给定的 0 存在 0 当0 z z0 时 有 则称A为f z 当z趋向于z0时的极限 记作 37 应该注意 定义中z趋向于z0的方式是任意的 即不论z从什么方向 以何种方式趋向于z0 f z 都要趋向于同一个常数A 38 极限的计算定理 设则 定理的证明略 一个复变函数的极限是两个二元实变函数的极限 39 实变函数中关于极限的运算法则 对于复变函数来说也成立 极限的运算法则 定理 若 40 复变函数的连续性 若 则称f z 在z0处连续 若f z 在区域D内处处连续 则称f z 在D内连续 处连续的充要条件是在 x0 y0 处连续 41 连续函数的和 差 积 商为连续函数 连续函数的复合函数为连续函数 函数f z 在曲线C上z0点处连续是指 在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f z 在曲线上是有界的 即存在一正数M 在曲线上恒有 42 第二章解析函数 本章主要内容 复变函数的导数 解析函数的概念 函数解析的充要条件 初等函数 43 第一节解析函数的概念 复变函数的导数 设函数w f z 定义在区域D内 z0与z0 z均是D内的点 若极限 存在 则称f z 在z0可导 这个极限值称为f z 在z0的导数 记作 44 注意 复变函数的导数的定义 虽然在形式上和实变函数的导数的定义类似 但实质上却有很大的差别 在复变函数的导数的定义中 在复平面上 z 0方式是任意的 而在一元实变函数的导数定义中 只要求 x在实轴上沿左与右两个方向趋于零 因此复变函数的导数要求更严格 若f z 在区域D内处处可导 则f z 称在D内可导 45 例题 求f z z2的导数 解 46 对于复平面内的任意一点z 由于上式的极限不存在 函数不可导 函数的f z 的导数是否存在 47 现在以两种特殊方式让 z 0 分别计算极限值 当z z沿x轴方向趋于z时 即 x 0 y 0时 则 当z z沿y轴方向趋于z时 即 x 0 y 0时 则 48 复变函数可导与连续的关系 和一元实变函数一样 若函数w f z 在z0处的可导 则f z 在z0处必连续 证明由导数的定义有 49 即f z 在z0处连续 50 复变函数的求导公式 由于复变函数导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全相同 而且极限的运算法则也相同 因而实变函数中的求导法则都可以推广到复变函数中来 现将几个求导法则罗列于下 51 w f z 与z w 是互为反函数的单值函数 52 解析函数的概念 若函数w f z 在z0的某邻域内处处可导 则称f z 在z0处解析 若f z 在区域D内处处可导 则称f z 在D内解析或称f z 是D内的解析函数 函数在区域内解析与在区域内可导是两个等价的概念 函数在一点处解析和在一点处可导是两个不等价的概念 函数在一点处可导 不一定在该点处解析 53 若f z 在z0处不解析 则称点z0为函数w f z 的奇点 函数解析性举例 函数f z z2在复平面上处处可导 所以在复平面上是解析的 函数f z 在复平面上处处不可导 所以在复平面上处处不解析 54 讨论函数f z z 2解析性 因为 55 若z 0 则当 z 0时上式的极限为零 若z 0 令 z沿直线 y k x趋于零 则 由k的任意性可知 上式不趋于一个确定的值 即当 z 0时 极限不存在 56 所以函数f z z 2只在z