1探索勾股定理

第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 一 在两千多年前我国古算术上记载有 勾三股四弦五 你知道它的意 思吗 它的意思是说 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为 3 和 4 个长度单位 那么 它的斜边的长一定是 5 个长度单位 而且 3 4 5 这三个数有这样的关系 32 42 52 1 请你动动脑筋 能否验证这个事实呢 该如何考虑呢 2 请你观察下列图形 直角三角形 ABC 的两条直角边的长分别为 AC 7 BC 4 请你研究这个直角三角形的斜边 AB 的长的平方是否等于 42 72 测验评价等级 A B C 我对测验结果 满意 一般 不满意 参考答案 1 边长的平方即以此边长为边的正方形的面积 故可通过面积验证 分别以这个直角三角形的三边为边向 外做正方形 如右图 AC 4 BC 3 S正方形 ABED S正方形 FCGH 4SRt ABC 3 4 2 4 3 4 72 24 25 2 1 即 AB2 25 又 AC 4 BC 3 AC2 BC2 42 32 25 AB2 AC2 BC2 2 如图 图见题干中图 S正方形 ABED S正方形 KLCJ 4SRt ABC 4 7 2 4 4 7 121 56 65 42 72 2 1 2 探索勾股定理 二 下图甲是任意一个直角三角形 ABC 它的两条直角边的边长分别为 a b 斜边长为 c 如图乙 丙那样分别取四个与直角三角形 ABC 全等的三 角形 放在边长为 a b 的正方形内 图乙和图丙中 1 2 3 是否为正方形 为什么 图中 1 2 3 的面积分别是多少 图中 1 2 的面积之和是多少 图中 1 2 的面积之和与正方形 3 的面积有什么关系 为什么 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗 测验评价等级 A B C 我对测验结果 满意 一般 不满意 参考答案 图乙 图丙中 1 2 3 都是正方形 易得 1 是以 a 为边长的正方形 2 是 以 b 为边长的正方形 3 的四条边长都是 c 且每个角都是直角 所以 3 是以 c 为边 长的正方形 图中 1 的面积为 a2 2 的面积为 b2 3 的面积为 c2 图中 1 2 面积之和为 a2 b2 图中 1 2 面积之和等于 3 的面积 因为图乙 图丙都是以 a b 为边长的正方形 它们面积相等 1 2 的面积之和与 3 的面积都等于 a b 2减去四个 Rt ABC 的面积 由此可得 任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 即勾股定理 2 探索勾股定理 二 班级 姓名 1 填空题 1 某养殖厂有一个长 2 米 宽 1 5 米的矩形栅栏 现在要在相对角的顶点间加固一条 木板 则木板的长应取米 2 有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼 其中一艘以 16 海里 时的速度向东南方向航行 另一艘以 12 海里 时的速度向东北方向航行 它们离开港口一个半小时后相距海里 3 如图 1 隔湖有两点 A B 为了测得 A B 两点间的距离 从与 AB 方向成直角的 BC 方向上任取一点 C 若测得 CA 50 m CB 40 m 那么 A B 两点间的距离是 图 1 2 已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为 12 cm 和 10 cm 求这个三角形的面积 3 在 ABC 中 C 90 AC 2 1 cm BC 2 8 cm 1 求这个三角形的斜边 AB 的长和斜边上的高 CD 的长 2 求斜边被分成的两部分 AD 和 BD 的长 4 如图 2 要修建一个育苗棚 棚高 h 1 8 m 棚宽 a 2 4 m 棚的长为 12 m 现要在棚顶 上覆盖塑料薄膜 试求需要多少平方米塑料薄膜 5 如图 3 已知长方形 ABCD 中 AB 8 cm BC 10 cm 在边 CD 上取一点 E 将 ADE 折 叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 求 CE 的长 测验评价结果 对自己想说的一句话是 参考答案 1 1 2 5 2 30 3 30 米 2 如图 等边 ABC 中 BC 12 cm AB AC 10 cm 作 AD BC 垂足为 D 则 D 为 BC 中点 BD CD 6 cm 在 Rt ABD 中 AD2 AB2 BD2 102 62 64 AD 8 cm S ABD BC AD 12 8 48 cm2 2 1 2 1 3 解 1 ABC 中 C 90 AC 2 1 cm BC 2 8 cm AB2 AC2 BC2 2 12 2 82 12 25 AB 3 5 cm S ABC AC BC AB CD 2 1 2 1 AC BC AB CD CD 1 68 cm AB BCAC 5 3 8 21 2 2 在 Rt ACD 中 由勾股定理得 AD2 CD2 AC2 AD2 AC2 CD2 2 12 1 682 2 1 1 68 2 1 1 68 3 78 0 42 2 1 89 2 0 21 22 9 0 21 0 21 AD 2 3 0 21 1 26 cm BD AB AD 3 5 1 26 2 24 cm 4 解 在直角三角形中 由勾股定理可得 直角三角形的斜边长为 3 m 所以矩形塑料 薄膜的面积是 3 12 36 m2 5 解 根据题意得 Rt ADE Rt AEF AFE 90 AF 10 cm EF DE 设 CE x cm 则 DE EF CD CE 8 x 在 Rt ABF 中由勾股定理得 AB2 BF2 AF2 即 82 BF2 102 BF 6 cm CF BC BF 10 6 4 cm 在 Rt ECF 中由勾股定理可得 EF2 CE2 CF2 即 8 x 2 x2 42 64 16x x2 x2 16 x 3 cm 即 CE 3 cm 参考例题 例 1 如下图所示 ABC 中 AB 15 cm AC 24 cm A 60 求 BC 的长 分析 ABC 是一般三角形 若要求出 BC 的长 只能将 BC 置于一个直角三角形中 解 过点 C 作 CD AB 于点 D 在 Rt ACD 中 A 60 ACD 90 60 30 AD AC 12 cm 2 1 CD2 AC2 AD2 242 122 432 DB AB AD 15 12 3 在 Rt BCD 中 BC2 DB2 CD2 32 432 441 BC 21 cm 评注 本题不是直角三角形 而要解答它必须构造出直角三角形 用勾股定理来解 例 2 如下图 A B 两点都与平面镜相距 4 米 且 A B 两点相距 6 米 一束光线 由 A 射向平面镜反射之后恰巧经过 B 点 求 B 点到入射点的距离 分析 此题要用到勾股定理 全等三角形 轴对称及物理上的光的反射的知识 解 作出 B 点关于 CD 的对称点 B 连结 AB 交 CD 于点 O 则 O 点就是光的入 射点 因为 B D DB 所以 B D AC B DO OCA 90 B CAO 所以 B DO AC