四年级奥数-教师版-第九讲_追及问题

指南针小升初 - 56 - 第九讲 追击问题 知识导航 追及路程甲走的路程 乙走的路程 （ 甲的速度 追及时间 ） （ 乙的速度 追及时间 ） （甲的速度 乙的速度） 追及时间 速度差 追及时间 . 例 1： 甲、乙两地相距 240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行 60千米同时一列快车从乙地出发，每小时行 90千米两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计） 解析： 追及路程即为两地距离 240千米，速度差 306090 （千米），所以追及时间 830240 （小 时） . 【巩固 1】下午放学时，弟弟以每分钟 40米的速度步行回家 哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家） . 解析： 若经过 5分钟，弟弟已到了 时弟弟已走了 200540 （米）；哥哥 每 分钟比弟弟多走 20米，几分钟可以追上这 200米呢？ 10)4060(540 （ 分 ），哥哥 10分钟可以追上弟弟 . 【巩固 2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶 10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶 15千米，乙每小时行驶 10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？ 解析： 出发时甲、乙二人相距 10千米，以后两人的距离每小时都缩短 51015 （千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以 10千米里有 几个 5千米就是几小时能追上： 2)1015(10 （小时），还需要 2个小时 . 【巩固 3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时 6千米的速度向某地前进， 12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时 78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？ 解析： 追及路程就是先遣队 12小时行驶的路程。 1)678()126( (小时 ) 例 2： 小明步行上学，每分钟行 70米 离家 12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟 280米的速度去追小明问爸爸出发几分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？ 解析 ： 如图： 指南针小升初 - 57 - 当爸爸开始追小明时，小明已经离家： 8401270 (米 )，即爸爸要追及的路程为 840米 ,也就是 爸爸与小明的距离是 840米，我们把这个距离叫做 “ 路程差 ” ，爸爸出发后，两人同时走，每过 1分，他们之间的距离就缩短 21070280 (米 )，也就是爸爸与小明的速度差为 21070280 (米 /分 ),爸爸追及的时间 ：4210840 (分钟 )当爸爸追上小明时，小明已经出发 16412 (分钟 )，此时离家的距离是 ： 11201670 (米 ) 【巩固 1】哥哥和弟弟在同一所学校读书哥哥每分钟走 65米，弟弟每分钟走 40米，有一天弟弟先走 5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远 ? 解析： 哥哥出发的时候弟弟走了： 200540 （米），哥哥追弟弟的追及时间为： 8)4065(200 （分 钟），所以家离学校的距离为： 520658 （米） . 【巩固 2】小明以每分钟 50米的速度从学校步行回家， 12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校 1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度 . 解析： 小强出发的时候小明走了 6001250 （米），被小强追上时小明又走了：850)6001000( （分 钟），说明小强 8分钟走了 1000米，所以小强的速度为：12581000 （米 /分钟） . 例 3:小强每分钟走 70米，小季每分钟走 60米，两人同时从同一地点背向走了 3分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？ 解析： 小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差路程差是两人相背运动的总路程： 3903)7060( (米 )追及时间为： 39)6070(390 (分钟 ) 小强走的总路程为： 2940)339(70 (米 ) 【巩固 】小聪和小明从学校到相距 2400米的电影院去看电影小聪每分钟行 60米，他出发后 10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？ 解析： 要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程 (已知 )和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：40602400 (分钟 )，小明所用的时间是： 301040 (分钟 )， 小明每分钟走的米数是： 80302400 (米 ) 指南针小升初 - 58 - 例 4:王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走 110米，李华每分钟走 70米，出发 5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了 2分钟，然后追赶李华求多少分钟后追上李华？ 解析： 已知二人出发 5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了 5分钟，在学校又耽误了 2分钟，王芳一共耽误了 12225 (分钟 )李华 在这段时间比王芳多走： 8401270 (米 )，速度差为： 4070110 (米 /秒 )，王芳追上李华的时间是： 2140840 (分钟 ) 【 巩固 1】小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理 72份，小李每分钟整理 60份，小王迟到了 1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务一共有多少份报纸？ 解析： 本题可用追及问题思路解题，类 比如下：路程差：小王迟到 1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（ 60份），速度差 ： 126072 （份 /分钟）此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时 间，即追及时间是 51260 （分钟）共整理报纸： 7202725 （份） 【巩固 2】甲、乙两车同时从 地开出，甲每小时行 38千米，乙每小时行 34千米，开出 1小时后，甲车因有紧急 任务返回 达 地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达 A、 解析： 根据题意画出线段图： 从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的 2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从 地所用的时间，由此可以求出 A、 追及路程为： 68234 (千米 );追及时间为： 17)3438(68 (小 时 )6461738 (千米 ). 例 5:甲、乙两辆汽车同时从 地，甲车每小时行 50千米，乙车每小时行 40千米途中甲车出故障停车修理了 3小时，结果甲车比乙车迟到 1小时到达 A、 解析： 由于甲车在途中停车 3小时，比乙车迟到 1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用 2小时可理解成甲车在途中停车 2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行 2小时，两车同时到达 所以，也可以用追及问题的数量关系来解答即：行 指南针小升初 - 59 - 这段路程甲车比乙车少用的时间是： 213 (小时 )，乙车 2小时行的路程是：80240 (千米 )，甲车每小时比乙车多行的路程是： 104050 (千米 )，甲车所需的时间是： 81080 (小时 )， A、 400850 (千米 ) 【巩固 1】 甲、乙两车分别从 A、 向而行，乙车在前，甲车在后已知甲车比乙车提前出发 1小时，甲车的速度是 96千米 /小时，乙车每小时行80千米甲车出发 5小时后追上乙车，求 A、 解析： 由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解追及时间为： 415 (小时 ), 追及路程为 ： 644)8096( (千米 ),A、 1606496 (千米 ) 【巩固 2】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行 28千 米，汽车在后，每小时行 65千米 ，经过 4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？ 解析： 先求 出汽车每小时比摩托车多行驶的路程 (速度差 )，再求出两地相距的路程，即： 1484)2865( (千米 ). 例 6： 小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是 1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前 3分钟出发，两人可以同时到校已知小明的速度是 70米 /分钟，小芳的速度是 80米 /分钟，求小明家距离学校有多远？ 解析： 小明比小芳提前 3分钟出发，则多走 210370 （米）两家之间的所剩路程是 12002101410 (米 )， 两人的速度和是 1508070 （米），所剩路程需：8)8070(1200 （分）走完小明家距离 学校 770)38(70 （米） 【巩固 】学校和部队驻地相 距 16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行 12千米，小宙每小时行 15千米当小宇走了 3千米后，小宙才出发当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？ 解析： 追及时间： 1)1215(3 (小时 )， 此时距部队驻地还有： 11516 (千米 ) 例 7： 甲、乙两列火车同时从 地，甲车 8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行 20千米，比甲车提前 2小时到达求 A、 解析： 这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程 指南针小升初 - 60 - 方法一： 如图： 甲车 8小 时可以到达，乙车比甲车提前 2小时到达，因此，乙车到达时用了：628 (小时 )，此 时路程差为： 120620 (千米 )，此时路程差就是甲车 2小时的路程，所以甲车速度为： 602120 (千米 /小时 )， A、 80860 (千米 ) 方法二： 如图： 假设两车都行了 8小时，则甲车刚好 到达，乙车则超出了： 160820 (千米 )，这段路程正好是乙车 2小时走的，因此乙车速度： 802160 (千米 /小时 )，乙车到达时用了： 628 (小时 )， A、 480680 (千米 ) 例 8： 龟、兔进行 1000米的赛跑小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想： “我小兔 每分钟能跑 100米，而你乌龟每分钟只能跑 10米，哪是我的对手 ”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了当乌龟跑到距终点还有 40米时，小兔醒了，拔腿就跑请同学们解答两个问题：它们谁胜利了？为什么？ 解析： 乌龟胜利了因为兔子醒来时，乌龟离终点只有 40米，乌龟需要41040 (分钟 )就能到达终 点，而兔子离终点还有 500米，需要 5100500 (分钟 )才能到达，所以乌龟胜利了 乌龟跑到终点还要 41040 (分钟 )，而小兔跑到终点还要 510021000 (分钟 )，慢 1分 钟当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有： 1001100 (米 ) 【巩固 】上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑 10分钟，但是兔子不知道乌 龟经过锻炼，速度已经提高到 5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？ 解析： 由乌龟速度提高到 5倍，可知乌 龟现在的速度为 50510 (米 /分 )， 指南针小升初 - 61 - 乌龟先跑 10分钟，即兔子开 始跑时，乌龟已经跑了 5001050 (米 )，还剩5005001000 (米 )，需要 1050500 (分钟 )就可 以到达终点，而 兔子到达终点需要的时间是： 101001000 (分钟 )，所以，兔子和乌龟同时到达 终点 例 9： 军事演习中， “ 我 ” 海军英雄舰追及 “ 敌 ” 军舰，追到 “ 敌 ” 舰已在10分钟前逃离， “ 敌 ” 舰每分钟行驶 1000米， “ 我 ” 海军英雄舰每分钟行驶 1470米，在距离 “ 敌 ” 舰 600米处可开炮射击，问 “ 我 ” 海军英雄舰从 ？ 解析： “ 我 ” 舰追到 “ 敌 ” 舰已逃离 10分钟了，因此，在 “ 我 ” 舰与 “ 敌 ” 舰的距离为 10000米 。 我 ” 舰在距离 “ 敌 ” 舰 600米处即可开炮射击，即 “ 我 ” 舰只要追上 “ 敌 ” 舰 9400， 即可开炮射击 这个问题中，不妨把 9400当作路程差，根据公式求得追及时间 ： 20)1 0 0 01 4 7 0()6 0 0101 0 0 0( （分钟），经过 20分钟可开炮射击 “ 敌 ” 舰 . 【巩固 】 (第二届 “ 走进美妙数学花园 ” )在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以 90千米 /小时的速度行 驶，后面一辆汽车以 108千米 /小时的速度行驶后面的汽车刹车突然失控，向前冲去 (车速不 变 )在它鸣笛示警后 5秒钟撞上了前面的汽车在 这辆车鸣笛时两车相距多少米？ 解析： 这是一道 “ 追及问题 ” 根据追及问题的公式，追及时间 时间差由题意知，追及时间为 5秒钟，也就是 )6060(5 小时，两车相距距离为路程差，速度差为 1890108 (千米 /时 )， 也就是 18000米 /时，所以路程差为：253600518000 (米 )，所以，在 这辆车鸣笛时两车相距 25米 例 10： 小红和 小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑 20米，则小红跑 5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑 4秒钟，则小红跑 6秒钟就能追上小蓝小红、小蓝二人的速度各是多少？ 解析： 小红让小蓝先跑 20米，则 20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑 5秒钟追上小蓝， 5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为 4520 (米 )；若小红让小蓝先跑 4秒，则小红 6秒 可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为 6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小 蓝 4秒钟所行的路程，路程差就等于 2464 (米 )， 就是 小蓝在 4秒内跑了 24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度 综合列式计算如下：小蓝的速度为： 646520 (米 /秒 )， 小红的速度为： 1046 (米 /秒 ) 【巩固 】甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑 10米，则甲跑 5秒钟可追上乙；若 指南针小升初 - 62 - 甲让乙先跑 2秒钟，则甲跑 4秒钟就 能追上乙问：甲、乙二人的速度各是多 少？ 解析： 若甲让乙先跑 10米，则 10米就是甲、乙二人的路程差， 5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为 2510 (米 /秒 )；若甲让乙先跑 2秒，则甲跑 4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间 为 4秒，因此路程差就等于 842 (米 )，即乙在 2秒内跑了 8米，所以可求出乙的速度， 也可求出甲的速度综合列式计算如下： 乙的速度为： 424510 （米） 甲的速度为： 64510 (米 /秒 ) 例 11： 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲 26 分钟赶上乙；如果两人相向而行， 6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50 米，求 A、 B 两地的距离 . 解析： 先画图如下： 若设甲、乙二人相遇地点为 C，甲追及乙的地点为 D，则由题意可知甲从 用 6分钟 到 6分钟，因此，甲走 之间的路程，用时间应为： 20626 分 . 同时，由上图可知， C、 分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为 1600)626(50 （米） . 所以，甲的速度为 80201600 （米 /分）， 由此可求出 A、 离： 80)626()626(50 （米 /分），7806)5080( （米） 例 12： 甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是 2400 米甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫 300 米处遇到乙，此时他们离开学校已经 30 分钟问：甲、乙每分钟各走多少米？ 解析： 根据题意，画线段图如下： 方法一 ： 30分钟内，二人的路程和 ： 480022400 (米 )，因此速度和为：160304800 (米 /分 )；又知道 30分钟甲的路程为： 27003002400 (米 )，所 指南针小升初 - 63 - 以甲速度为： 90302700 (米 /分 )，则乙速度为： 7090160 (米 /分 ) 方法二： 30分钟内，甲的路程为 27003002400 (米 )，乙走的路程为：21003002400 (米 )， 因此甲的速度为： 90302700 (米 /分 )， 乙的速度为： 7030)3002400( (米 /分 ) 课后练习 1、 甲地和乙地相距 40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行 14千米，兵兵每小时行 17千米，当平平走了 6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？ 解析： 平平走了 6千米后，兵兵才出发，这 6千米就是平平和兵兵相距的路程由于兵兵每小时比平平 多走 31417 (千米 )，要求兵兵几 小时可以追上 6千米，也就是求 6千米里包含着几个 3千米， 用 236 (小时 )因为甲地和乙地相距 40千米，兵兵每小时行 17千米， 2小时走了 34217 (千 米 )，所以兵兵追上平平时，距乙地 还有 63440 (千米 ) 2、 一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米，开出 5 小时后，一辆快车以每小时 90 千米的速度也从甲地开往乙地在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？ 解析： 慢车先行的路程是： 200540 (千米 )，快车每小时追上慢车的千米数是： 504090 (千米 )， 追及的时间是 ： 450200 (小时 )， 快车行至中点所行的路程是： 360490 (千米 )， 甲乙两地间的路程是： 7202360 (千米 ) 3、四 年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走 72米， 15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发 9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？ 解析： 同学们 15分钟走 10801572 （米），即路程差然后根据 速度差路程差追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟 72米，就可以得出李老师的速度即 1927291080 （米） 4、 小李骑自行车每小时行 13千米，小王骑自行车每小时行 15千米小李出发后 2小时，小王在小李的出发地点前面 6千米处出发，小李几小时可以追上小王？ 解析： 小李 2小时走： 26213 （千米），又 知小王在小李的出发地点前面 6千米处出发，则知道两人 的路程差是 20626 （千米）每小时小王追上小李21315 （千米），则 20千米里面有几 个 2千米，则追及时间就是几小时，即：10220 （小时） 指南针小升初 - 64 - 5、 自行车队出发 12 分钟后，通信员骑摩 托车去追他们，在距出发点 9 千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点 18 千米，求自行车队和摩托车的速度 解析 ： 在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为(18 9 )千米，而自行车 所走的路程为 (18 9 )千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的 3 倍 ( (18 9) (18 9) )；摩托 车与自行车的速度差是自行车速度的 2 倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了 12 分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在 12 分钟内所走的路程，所以追及时间等于 12 2 6 (分钟 )；联系摩托车在距出发点 9 千米的地方追上自行车队可知：摩托车在 6 分钟内走 了 9 千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了列式为：（ 18