第3讲_方程综合运用 ._教师版

小学六年级奥数 第 1 页 共 12 页 第三讲 方程综合运用 例题精讲 【例 1】 用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计 32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与 3 个黑色皮块及 3 个白色皮块相邻接问：这个足球上共有多少块白色皮块？ 【解析】 设这个足球上共有 x 块白色皮块，则共有 3x 条边是黑白皮块共有的另一方面，黑色皮块有32x（ ） 块，共有 532 x（ ） 条边是黑白皮块共有的（如图）由于在这个足球上黑白皮块共 有的边是个定值，列得方程： 3 5 32（ ） ，解得 20x 即这个足球上共有 20 块白色皮块 【例 2】 某八位数形如 2它与 3的乘积形如 4则七位数 是 【解析】 设 x ，则 ( 2 0 0 0 0 0 0 0 ) 3 1 0 4 ， 7 59999996x ， 8571428x ，即七位数应是8571428 【巩固】 有一个六位数 1以 3后变成 1求这个六位数 【解析】 设 x ，则有六位数 1x 和 1x ，有 1 0 0 0 0 0 3 1 0 1 （ ） ，解得 42857x ，所以原六位数是 142857 【例 3】 有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是 68，求这三个连续整数 . 【解析】 设最小的那个数为 x ，那么中间的数和最大的数分别为 1x 和 2x 则 2 ( 1 ) 3 ( 2 ) 6 8x x x ，10x 所以这三个连续整数依次为 10、 11、 12 【例 4】 小军原有故事书的本数是小力的 3 倍，小军又买来 7 本书，小力买来 6 本书后，小军所有的书是小力的 2倍，两人原来各有多少本书？ 【解析】 设小力原有故事书 小军原有故事书 3x 本。小力原有故事书 5本，小军原有故事书 15本 【巩固】 水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的 2倍如果每天卖白兰瓜 40个，西瓜 50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩 360个水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？ 【解析】 设白兰瓜进了 西瓜进了 2 4 3 34 5 5x y x yx y x y ，得 4 3 1 5 (1 )5 4 1 5 ( 2 )所以西瓜和白兰瓜共 （个） 法一： (涉及到分数，慎重选讲 ) 注意到两种瓜卖的天数相等这一等量关系，设白兰瓜进了 2 30x 个，则西瓜进了 15x 个， 列方程得： 15x ，解得 15y ， 1 9 1 2 1 5 1 5 1 1 2 0 6 7 3 ， 所以西瓜和白兰瓜共 480 960 1440个 法二：设卖了 27 天，根据题意列方程得 18，解得 12，所以西瓜和白兰瓜共有 8 【例 5】 一群学生进行篮球投篮测验，每人投 10次，按每人进球数统计的部分情况如下表： 进球数 0 1 2 8 9 10 人数 7 5 4 3 4 1 还知道至少投进 3个球的人平均投进 6个球，投进不到 8个球的人平均投进 3个球 问：共有多少人参加测验？ 【解析】 设有 x 人参加测验 由上表看出，至少投进 3 个球的有 754x 人，投进不到 8 个球的有 3 4 1x 人 投中的总球数，既等于进球数不到 3个的人的进球数加上至少投进 3个球的人的进球数， 为 0 7 1 5 2 4 6 7 5 4 5 8 6 1 6 6 8 3x x x ； 也等于进球数不到 8个的人的进球数加上至少投进 8个球的人的进球数， 为 3 3 4 1 8 3 9 4 1 0 1 3 8 2 4 3 6 1 0 3 4 6x x x ； 由此可得方程： 6 83 3 46 ，解得 43x 小学六年级奥数 第 2 页 共 12 页 故 共有 43 人参加测验 【例 6】 甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行 李的重量，需另付行李费，三人共付 4 元，而三人行李共重 150千克 如果一个人带 150 千克的行李，除免费部分外，应另付行李费 8元 求每人可免费携带的行李重量 【解析】 设每人可免费携带 x 千克行李 一方面，三人可免费携带 3x 千克行李，三人携带 150千克行李超重 150 3x 千克，超重行李共付 4元行李费；另一方面，一人携带 150千克行李超重 150x 千克，超重行李需付行李费 8元 根据超重行李每千克应付的钱数相同，可列方程： 1 5 0 3 1 5 048 ， 30x 所以每人可免费携带的行李重量为 30 千克 【例 7】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖， 儿童票的价格为 30元，成人票的价格为 40元，如果是团体还可以买平均 32元一位的团体票，一个由 8个家庭组成的旅游团 (每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成 )来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各自买票少花120元，问这 个旅游团一共有多少人？ 【解析】 设八个家庭中有 x 个是三口之家， y 是个两口之家，则 2 0 ( 2 1 ) 2 4 ( 2 1 ) 9 2 4 2 0 2 4x y x y ，所以旅游团一共有 1 6 1 8 9 2 4 2 0 2 4x y y 人 。 【例 8】 有一队伍以 /秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 /秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10分 50秒。问：队伍有多长？ 【解析】 这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排 头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了 x 秒，那么通讯员从排头返回排尾用了 650x 秒，于是不难列方程。 设通讯员从末尾赶到排头用了 x 秒，依题意得， 2 . 6 1 . 4 2 . 6 6 5 0 1 . 4 6 5 0x x x x ，解得 500x 推知队伍长为 2 . 6 1 . 4 5 0 0 6 0 0 （米）。 【巩固】 解放军某部快艇追及敌舰，追到 A 岛时敌舰已逃离该岛 12分钟，敌舰每分钟行 1000 米，我军快艇每分钟行 1360 米。如果距敌舰 600 米处可以开炮射击，解放军快艇从 A 岛出发经过多少分钟可以开炮射击敌舰？ 【解析】 根据题意可以知道题中的等量关系是：解放军所行路程 600 米 设解放军快艇从 A 岛出发经过 x 分钟可以开炮射击敌舰，由题意得： 1 3 6 0 ( 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ) 6 0 0 1 3 6 0 1 0 0 0 6 0 0 1 2 0 0 0 35x 所以，解放军快 艇从 A 岛出发经过 35 分钟可以开炮射击敌舰。 【巩固】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为 时，骑车人速度为 米 /时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22秒，通过骑车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？ 【解析】 本题属于追及问题，行人的速度为 米 /时 =1 米 /秒，骑车人的速度为 米 /时 =3 米 /秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为 x 米 /秒，那么火车的车身长度可表示为 22 1x 或 26 3x ，由此不难列出方程。 设这列火车的速度是 x 米 /秒，依题意列方程，得 2 2 1 2 6 3 ，解得 14x 。 所以火车的车身长为 1 4 1 2 2 2 8 6 （米）。 【例 9】 有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的 2 倍时；丙是 22 岁，当乙的年龄是丙的 2 倍，甲是31岁；当甲 60岁时，丙是多少岁 ? 【解析】 设丙 22 岁时，乙的年龄是 x 岁，当时甲的年龄就 是 2x 岁，甲乙的年龄差为 x 岁 那么甲是 3l 岁时，乙是 (31 )x 岁，丙是 2 2 ( 3 1 2 ) 5 3 2 岁， 列方程得， 3 1 2 (5 3 2 ) ，解得 25x ， 所以乙 25岁时，甲 50岁，丙 22 岁那么甲 60岁时，丙 32岁 【巩固】 甲、乙两人在 10年前的年龄比为 2： 3，现在 他俩的年龄比为 3： 4，那么 10年后他俩的年龄比为多少？ 【解析】 设 10年前甲的年龄为 2x 岁，则当时乙的年龄为 3x 岁，那根据现在两人的年龄比可得方程： 2 1 0 : 3 1 0 3 : 4 ，等式两边前后项交叉相乘可得 8 40 9 30 ，解得 10x ，所以 10年前甲的年龄为 20岁，乙的年龄为 30 岁， 10年后两人分别是 40 岁、 50岁， 10 年后两人的年龄小学六年级奥数 第 3 页 共 12 页 比为 4： 5 【巩固】 已知哥哥 5 年后的年龄与弟弟 3 年前的年龄和恰好是 29 岁，而弟弟现在的年龄是两人年龄差的 4倍，那么试问哥哥今年多少岁？ 【解析】 在这道题中，哥哥和弟弟的年龄是多少都不知道，未知的量不止一个，那么如何设未知数成了问题的关键按理说弟弟的年龄小，如果设弟弟的年龄未知数，那哥哥的年龄 如何表示，这就要涉及到题目中的一个条件 弟弟现在的年龄是两人年龄差的 4 倍通过这个条件可以发现，原来年龄差是他们两人年龄的最基本的组成元素 设他们两人的年龄差是 x 岁，那么弟弟现在的年龄是 4x 岁，而哥哥现在的年龄是 45x x x 岁根据“哥哥 A 年后的年龄与弟弟 B 年前的年龄和恰好是 B 岁”这个条件可以得出方程，两个人的年龄差是 M 岁，于是弟弟的年龄是 A 岁，哥哥的年龄是 B 岁 【例 10】 金银合金的重量是 250 克，放在水中称重时，重量减轻了 16克，已知金在水中称重量减轻 119，银在水中称重量减轻 110，求这块合金中金、银各含多少克？ 【解析】 设 250 克合金中，金有 x 克，则银有 (250 )x 克；依题意： 11( 2 5 0 ) 1 61 9 1 0 ，解得 190x ， 所以这块合金中金有 190 克，银有 250 190 60克 【巩固】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重 6 千克，乙块重 4 千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，则切下的重量为 _千克 【解析】 设切下的部分重量为 x 千克，则甲切下的 x 千克与乙剩下的 (4 )x 千克混合 由于 得到的两块新合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由 6 千克甲块合金与 4 千克乙块合金混合而成的，所以 9:7 千克甲块合金与 7:5 千克乙块合金混合后的含铜率与 x 千克甲块合金与 y 千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即 1 : 9 : 7: 1 7 : 5 ，所以： 2821，解得 28 21 49 即切下的重量为 27千克 【例 11】 从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们题目是：我有金、银两个首饰箱，箱内分别装有若干件首饰，如果把金箱中 ( 7 7 0 ) : ( 3 7 0 ) 7 : 4 的首饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中 30x 的首饰送给第二个算对这个题目的人，然后我再从金箱中拿出 7 30 210 件送给第 三个算对这个题目的，再从银箱中拿出 3 30 90 件送给第四个算对这个题目的人最后我的金箱中剩下的首饰比分掉的多 2 件，银箱中剩下的首饰与分掉的比是x 王子的金箱中原来有首饰 _件，银箱中原来有首饰 _件 【解析】 设原来金箱中有首饰 y 件，银箱中有首饰7370 770 4 件，则： 21090， 90 ，解得 3 ， 7 3 4 ，故金箱中原来有首饰 7 4 3 件，银箱中原来有首饰 3,4 12 件 【例 12】 运来三车苹果，甲车比乙车多 4 箱，乙车比丙车多 4 箱，甲车比乙车每箱少 3 个苹果，乙车比丙车每箱少 5个苹果，甲车比乙车总共多 3个苹果，乙车比丙车总共多 5个苹果，这三车苹果共有多少个？ 【解析】 设乙车运来 x 箱，每箱装 y 个苹果，根据题意列表如下： 车别 甲 乙 丙 箱数 x 7 7 2 ( 7 ) 7 14 2 21 小学六年级奥数 第 4 页 共 12 页 每箱苹果数 35x 35 35 7 7 49 根据上表可列出如下方程： 4 3 34 5 5x y x yx y x y ，化简为 4 3 1 5 (1 )5 4 1 5 ( 2 ) ，得： 2 30x ，于是 15x 将 15x 代入或，可得： 15y 所以甲车运 19箱，每箱 12 个；乙车运 15箱，每箱 15个；丙车运 11 箱，每箱 20个三车苹果的总数是：1 9 1 2 1 5 1 5 1 1 2 0 6 7 3 (个 ) 【例 13】 有大、中、小三种包装的筷子 27 盒，它们分别装有 18双、 12双、 8 双筷子，一共装有 330 双筷子，其中小盒数是中盒数的 2 倍问：三种盒各有多少盒？ 【解析】 设中盒数为 x ，大盒数为 y ，那么小盒数为 2x ，根据题目条件有两个等量关系： 2 2 71 8 1 2 8 2 3 3 0x x yy x x 该方程组解得 69，所以大盒有 9个，中盒 有 6个，小盒有 12 个 . 【巩固】 用 62 根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有 15个 角形、正方形和五边形各有多少个？ 【解析】 设三角形的个数为 x ，五边形的个数为 y ，那么正方形的个数为2，由此可列得方程组： 1523 4 5 6 22 该方程组解得： 46，所以 52，因此三角形、正方形、五边形分别有 4 、 5 、 6 个 . 【例 14】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个 A 配件与一个 B 配件组成甲每天生产 300个 A 配件，或生产 150个 B 配件；乙每天生产 120个 A 配件，或生产 48个 B 配件为了在 10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？ 【解析】 假设甲、乙分别有 8x（ ） 天和 y 天在生产 86x 配件，则他们生产 82x 配件所用的时间分别为 8 6 2x 天和 6 2 16 （ ） 天，那么 10 天内共生产了 26x 配件 (300 120 )个，共生产了 B 配件 1 5 0 ( 1 0 ) 4 8 ( 1 0 ) 1 9 8 0 1 5 0 4 8x y x y 个 要将它们配成套， A 配件与 B 配件的数量应相等，即 3 0 0 1 2 0 1 9 8 0 1 5 0 4 8x y x y ，得到 7 5 28 330，则 330 2875 此时生产的产品的套数为 3 3 0 2 83 0 0 1 2 0 3 0 0 1 2 0 1 3 2 0 875 yx y y y ，要使生产的产品最多，就要使得 y 最大，而 y 最大为 10，所以最多能生产出 1 3 2 0 8 1 0 1 4 0 0 套产品 【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子 20 件；乙车间每天能生产上衣 18件或裤子 24件现在要上衣和裤子配套，两车间合作 21天，最多能生产多少套衣服？ 【解析】 假设 甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为 x 天和 y 天，则他们用于生产裤子的天数分别为(21 )x 天和 (21 )y 天 ， 那 么 总 共 生 产 了 上 衣 (16 18 )件 ， 生 产 了 裤 子2 0 ( 2 1 ) 2 4 ( 2 1 ) 9 2 4 2 0 2 4x y x y 件 根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以 1 6 1 8 9 2 4 2 0 2 4x y x y ，即 2 x ，即 7 (2 1) 1 2 x x 那么共生产了 2 6 套衣服要使生产的衣服最多，就要使得 x 最小，则 4x 应最大，而 x 最大为 21，此时 2 4 1 1 4 故最多可以生产出 14 套衣服 【例 15】 米老鼠从 A 到 B ，唐老鸭从 B 到 A ，米老鼠与唐老鸭行走速度之比是 65 ，如下图所示 小学六年级奥数 第 5 页 共 12 页 426 A 、 B 的中点，离 M 点 26千米的 C 点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速 25%，离 M 点 4千米的 从它处经过就能加速 25%现在米老鼠与唐老鸭同时出发，同时到达，那么 A 与 B 之间的距离是 千米 【解析】 设 B x，米老鼠的 行走速度为 6k ，则唐老鸭的行走速度为 5k ( 0k )，如下图，则有米老鼠从 A 到 B 需要时间 x - 430x - 26A C M D 3 0 46 6 ( 1 2 5 % ) 6 ( 1 2 5 % ) ( 1 2 5 % )k k 1 1 61 4 ( 4 )6 1 5 ， 唐老鸭从 B 到 A 需要时间 4 3 0 2 65 5 ( 1 2 5 % ) 5 ( 1 2 5 % ) ( 1 2 5 % )k k k 1 1 62 0 ( 2 6 )5 1 5 因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同，所以列方程 1 1 6 1 1 61 4 ( 4 ) 2 0 ( 2 6 )6 1 5 5 1 5x x x ， 解得 46x 所以， A 、 B 两地相距 92 千米 【巩固】 甲、乙两个容器共有溶液 2600 克 ,从甲容器取出 14的溶液，从乙容器取出 15的溶液，结果两个容器共剩下 2000 克 个容器原来各有多少溶液？ 【解析】 设甲容器有溶液 x 克，乙容器有溶液 y 克，根据题目条件有两条等量关系 ,一是两容器溶液加起来等于 2600克，二是取溶液后两容器加起来有 2000克 2600111 1 2 0 0 045 方程组最终解得 16001000，所以甲容器中有溶液 1600克，乙容器中有溶液 1000克 【例 16】 甲、乙两种商品的原来价格比是 7:3 如果它们的价格各自上涨 70 元，它们的价格比变为7:4 求甲乙两种商品的原价各是多少元？ 【解析】 方法 1 ：设甲乙两种商品原来价格分别为 7x 元， 3x 元，根据涨价后价格比为 7:4 ，列方程得( 7 7 0 ) : ( 3 7 0 ) 7 : 4 ，解得 30x ，所以原来两种商品的原价各是 7 30 210 元， 3 30 90元 方法 2 ：设甲乙两种商品原价各是 x 元 ,y 元，依题意列方程组得7370 770 4 解得 21090甲乙两种商品原价各是 210 元 ,90 元 方法 3 ：由于原来两种商品相差 7 3 4 份，涨价后相差 7 4 3 份，由于涨价钱数相同，所以应涨 3,4 12份，所以原来两种商品的价格比 x ，涨价后价格比 41 1 0 18 1 2 ，所以价格涨了 232x 份，恰是 A 元，小学六年级奥数 第 6 页 共 12 页 所以 B 份是 50 元，所以原来两种商品的价格各是为 A 元， 3 元 【巩固】 兄弟两人每月收入比 B ，支出钱数比 4 ，他们每月都节余 10元，求兄弟两人月收入各多少？ 【解析】 方法 360 :设兄弟两人每月收入分别为 290 元， A 元，根据 支出钱数比 B 列方程得 A ，解得 x ，所以兄弟两人 收入各是 B 元， (50 )x 元 方法 A： 9 4 ( 5 0 ) 2 0 0 5x x x ：设兄弟两人月收入各是 3 1 0 ( 5 0 ) 5 0 0 7x x x 元， 2 0 0 5 3 6 05 0 0 7 2 9 0元根据两个比例列方程得 30 32x 解得 x 所以兄弟两人收入各是 A 元， 2700 元 方法 B ：由于兄弟结余相同，所以兄弟收入差和支出差相同，而收入差为 A 份，支出差为 B 份，所以收入差应为和支出差应为 A 份，所以兄弟收入比为 B ，所以结余应为 2 0 1 8 1 5 1 3 2 份对应 360 元，所以1 份就是 180 元，所以兄弟两人月收入各是 180 20 3600 元， 180 15 2700 元 【例 17】 求方程 3x 5y 31 的整数解 【解析】 方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x 31 53 y，即 x 10 2y 13y，要使方程有整数解 13y必须为整数 取 y 2，得 x 10 2y 13y 10 4 1 7，故 x 7， y 2 当 y 5，得 x 10 2y 13y 10 10 2 2，故 x 2， y 5 当 y 8，得 x 10 2y 13y 10 16 3无解 所以方程的解为： 72,25方法二：利用余数的性质 3x 是 3 的倍数，和 31 除以 3 余 1，所以 5y 除以 3 余 1（ 2y 除以 3 余 1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为： 取 y 1， 2y 2， 23 02 （舍） y 2， 2y 4， 43 11 （符合题意） y 3， 2y 6， 63 2（舍） y 4， 2y 8， 83 22 （舍） y 5， 2y 10， 103 31 （符合题意） y 6， 2y 12， 123 4（舍） 当 y 6时，结果超过 31，不符合题意。 所以方程的解 为： 72,25【例 18】 解方程 1 8 0 0 1 2 0 0 8 0 0 1 6 0 0 015a b （ 其中 a、 b、 ） 【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得 9 6 4 8 015a b ，根据消元的思想将第二个式子扩大 4 倍相减后为： ( 9 6 4 ) 4 ( ) 8 0 4 1 5a b c a b c ，整理后得 5 2 20 ，根据等式性质， 2b 为偶数， 20 为偶数，所以 5a 为偶数，所以 a 为偶数，当 2a 时， 5 2 2 20b ， 5b ，所以 8c ，当 4a 时， 5 4 2 20b ， 5b ，所以无解。所以方程解为 258 【例 19】 解不定方程 15 3 1 0 03100x y zx y z (其中 x、 y、 【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得 1 5 9 3 0 0100x y zx y z ，根据消元思想与第二个式子相减得小学六年级奥数 第 7 页 共 12 页 14 8 200 ，根据等式的性质两边同时除以 2 得： 7 4 100 ，根据等式性质 4y 为 4 的倍数， 100为 4的倍数，所以 7y 为 4的倍数，所以 y 为 4的倍数试值如下 4 8 1 21 8 , 1 1 , 47 8 8 1 8 4x x xy y yz z z 【例 20】 某公交车起点站已停放 10辆公交车，第一辆公交车开出后，每隔 8分钟就有一辆公交车开出，在第一辆公交车开出 4 分钟后，有一辆公交车进站，以后每隔 12 分钟就有一辆公交车进站，回站的公交车在原有的公交车依次开出之后又依次每隔 8分钟开出一辆，问：第一辆公交车开出后，经过多少时间，车站第一 次不能正点发车？ 【解析】 假设第一辆公交车开出 x 分钟后车站无车可发，可列方程： 41 1 0 18 1 2 ，解得 232x 第一辆公交车开出后第 232 分钟可以发一趟车，到第 240分钟时就无车可发了，所以答案是经过 240分钟后车站第一次不能正点发车 【巩固】 某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产 A 、 B 两种产品共 50 件，已知每生产一件 A 产品需甲原料 9 千克和乙原料 3 千克；每生产一件 B 产品需甲原料 4 千克和乙原料 10千克现在工厂里只有甲原料 360 千克和乙原料 290 千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产 A 、 B 两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案 【解析】 设生产 A 产品 x 件，则生产 B 产品 (50 )x 件 共需要甲原料 9 4 ( 5 0 ) 2 0 0 5x x x 千克，需要乙原料 3 1 0 ( 5 0 ) 5 0 0 7x x x 千克 为避免原料不够用，则 2 0 0 5 3 6 05 0 0 7 2 9 0，解得 30 32x 由于 x 是整数，所以共有 3 种方案：生产 A 产品 30件， B 产品 20件；生产 A 产品 31件， B 产品 19件；生产 A 产品 32件， B 产品 18件 【例 21】 如图，图中 5 、 8 和 10分别代表包含该数字的三 个三角形的面积试问：包含 X 这个字母的四边形面积是多少？ 8105【解析】 如图，设虚线把四边形 X 分成面积为 a 、 b 的两个三角形 得： 5 5 108a a b （可化简为 28 ）和 8 8 105b a b （可化简为 5 4 20 ），由这两条方程构成方程组： 285 4 20，方程组可解得： 1012， 所以四边形 X 的面积为 10 12 22 . 【巩固】 三角形 ，1 1 11 1 112A C B A C B C C A ，问： ?D B 1B 1第 8 页 共 12 页 【解析】 根据题意，直接建立 与 的联系是解答本题的关键，因为1112，所以连接 ，既可以使1 建立联系，又可使四边形1也建立联系 . 设 1，1，1，则：1 2，1 2. 根据题意，1 1 11 1 112A C B A C B C C A ，可列方程： 1332233 ，方程解得421121 ， 所以四边形1127，同理四边形117，所以剩下的三角形 面积为 17. 【例 22】 甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人所拿的自然数得分，重复玩了 3 次后，甲共得 19分，乙和丙各得 13分，那么这三张牌上写的数是哪三个数？ 【解析】 三张牌上的三个数之和是 1 9 1 3 1 3 3 1 5 因为 3 不能整除 13和 19，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌，又因为谁也没有拿到三张牌各 1 次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次设三张牌从大到小写的数依次为 a 、b 、 c 丙各得 13分，推知乙、丙的三张牌是 c 、 c 、 a 和 x 、 24x 、 x 8 2 4 2 2 4x x x x 、 6x 、 x . y 由 24 得 82x y y x . 由 2 4 (1 )8 2 ( 2 )y y x ，从而 3 24 6x . 将 18y 代入 1 、 3 得 5b ， 3c . 所以，三张牌从大到小写的数依次是 7 ， 5 ， 3 . 【例 23】 三张卡片上分另标有 p 、 q 、 r 数码 (整数 )且 0 ，游戏时将三张卡片随意分发给 A 、B 、 C 三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记 分，如此重复游戏若干轮，结果 A 、 B 、三人得分总数分别为 20、 10、 9已知 B 在最后一轮的得分是 r ，那么 在第一轮得分是 q ；（ 2） p 、 q 、 r 分别是 、 、 【解析】 三人总分为 2 0 1 0 9 3 9 1 3 9 3 1 3 如果游戏进行了 39或 13轮，则 1 或 3，与 0 矛盾；如果游戏只进行了 1轮，则 20r ，被 A 得到，与“ B 在最后一轮的得分是 r ”矛盾所以游戏进行了 3轮，且 13 因为 B 共得 10分，且最后一次得 r 分，所以前两次都得 p 分，否则三次至少得 13分因为 C 三次总分比 B 少，所以 C 没得过 r 分，前两次都得 q 分，即第一轮得 q 分的是 C 假设 C 三次都得 q ，由 B 得 10p p r 和 A 得 20r r p ，解得 10r ， 0p ，与 0p 矛盾，所以 C 前两次得 q ，最后一次得 p 由 2 9,2 10,2 20, 解得 1p ， 4q ， 8r 【例 24】 购买 3斤苹果， 2斤桔子需要 ；购买 8斤苹果， 9斤桔子需要 ，那么苹果、桔子各买 1斤需要 元 . 【解析】 假设购买 1斤苹果、桔子分别需要 x 元、 y 元，则： 3 2 6 2 2 ， 小学六年级奥数 第 9 页 共 12 页 两式相加得 11 11 2 ，即 。 所以各买 1斤需要 。 点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买 3 8 11 斤苹果和 2 9 11 斤苹果，须6 2 2 2 9 元，所以各买 1斤需要 1 元 . 【例 25】 有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件，共需 20 元；若购甲 4 件、乙 10件、丙 1件，共需 27 元；则购买甲、乙、丙各 1 件，共需要 元。 【解析】 设甲、乙、丙的单价分别为 x ， y ， z ，则 3 7 2 0 (1 )4 1 0 2 7 ( 2 )x y zx y z 由 (1) 3 (2) 2 得 3 2 0 2 2 7 6x y z ，即各买一件需要 6 元。 点评：本题实际上是三元一次方程，但整体代入消元的思想与二元一次方程是相同的。 【例 26】 假设五家共用一井取水，甲用绳 2 根不够，差乙家绳子 1 根；乙用绳 3 根不 够，差丙家绳子 1 根；丙用绳子 4 根不够。差丁家绳子 1 根；丁用绳子 5 根不够，差戊家绳子 1 根；戊用绳 6 根不够，差甲家绳子 1 根如果各得所差的绳子 1 根，都能到达井深问井深，绳长各是多少？（井深为小于 1000 的整数） 【解析】 依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为 A 、 B 、 C 、 D 、 E ，井深 k ，则可列出方程组如下： 23456A B k 这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭代 2B k A ，3 6 2C k B A k ， 4 9 2 4D k C k A ， 5 1 2 0 4 4E k D A k ， 代入最后一个式子， 6 1 2 0 4 4A k A k ，即 721 265，所以 265A ， 721k 于是， 191B ， 148C ， 129D ， 76E 【例 27】 在同一路线上有 4 个人 :第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三 个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的 12时追上乘助力车的， 14 时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇是 16时开摩托车的遇到乘助力车的是 17时，并在 18时追上骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助力车的？ 【解析】 12时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用，所以我们从 12时开始考虑 设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为 a 、 b 、 c 、 d ，设在 12时骑自行车的与坐汽车的距离为 x ，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为 y 有 21425364x a dx y a bx y b cy b d 1 2 3 2 2 4 得到 3 10x c d，即 103x c d 设骑自行车的在 t 时遇见骑助力车的，则 12x t c d ，即 1012 3t ，所以 1153t 所以骑自行车的在 15时 20 分遇见骑助力车的 【例 28】 河水是流动的，在 Q 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 P 到 Q ，然后穿过湖到 R ，共用 3 小时若他由 R 到 Q 再到 P ，共需 6 小时如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从 P 到 Q 再到 R 需 52小时问在这样的条件下，从 R 到 Q 再到 P 需几小时？ 【解析】 设游泳者的速度为 1 ，水速为 y ， PQ a ， QR b ，则有： 小学六年级奥数 第 10 页 共 12 页 3115212631 y 、 1 y 、 y 均不为 0 12 得 112，即 142 yb y 31 得22 31 ，即 231 52 ya y 2 、 4 、 5 得： 511 4 322 yy a b ，即 5 4 3 于是， 12y由 2 得： 5 1 1 512 2 4 1 5 1 1 511 4 2 2 小时 即题中所述情况下从 R 到 Q 再到 P 需 152小时 课 后练习： 练习 1. 丁丁和玲玲两人摘苹果，丁丁说：“把我摘的苹果给玲玲 7 个，玲玲摘的苹果的个数就是我的 2倍 ”玲玲说：“把我摘的苹果给丁丁 7 个，他的苹果个数就和我的一样多了 ”问丁丁和玲玲各摘了多少个苹果？ 【巩固】 设丁丁摘了 x 个苹果，由题意得： 7 7 2 ( 7 ) 7 14 2 21 35x 即丁丁摘了 35 个苹果，而玲玲的苹果个数为 35 7 7 49 (个 ) 练习 2. 大强参加 6次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多 2分，比后两次的平均分少 2分如果后三次的平均分比前三次的平均分多 3分，那么第四次比第三次多得多少分？ 【解析】 设第三次分数是 四次的分数为 ） 分，则前两次的分数之和 24（ ） 分，最后两次的分数之和 24（ ） 分，有 2 4 2 4 9a x a x a x a （ ） （ ） （ ），解得 1x ，即第四次比第三次多得 1分 练习 3. 儿子与父亲下围棋，双方约定父亲胜一局就得 2分，儿子胜一局得 8分，负的一方不管是谁都要扣 1分，比赛 24局以后，父子得分相同，问他们各胜几局？ 【解析】 法一：设儿子胜了 x 局，输了 24x 局，父亲胜了 24x 局，输了 x 局， 则由得分关系得 8 2 4 2 2 4x x x x ，解得 6x ， 所以儿子赢了 6局，父亲赢了 18 局 法二：本题中要求儿子和父亲各胜多少局，可分别设两个未知数为 x 和 y ，要求两个未知数的值，一般要根据不同的等量关系列出两个方程题中儿子、父亲比赛的总局数是 24局，可列出一个方程： 24 另外，两人的得分相同，儿子胜的局数正好是父亲负的局数，由此列出另一个方程： 82x y y x 所以可列出方程组： 2 4 (1 )8 2 ( 2 )y y x 形为 3，代入，得 3 24，解得 6x ，所以 18y 所以儿子胜了 6局，父亲胜了 18 局 练习 4. 一 位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是 9:7 ；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是 7:5 这群羊原来有多少只？ 小学六年级奥数 第 11 页 共 12 页 【解析】 设原来公羊有 x 只，母羊有 y 只，那么根据题目条件有以下数量关系： 1 : 9 : 7: 1 7 : 5 根据有关比例性质，方程组可化简为： 2821，所以这群羊原来有 28 21