第4讲.几何-平面部分.教师版

小学六年级奥数 第 1 页 共 25 页 第四讲 平面几何部分 教学目标： 1 熟练掌握五大面积模型 2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如 右 图12:S S a b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ； 反之，如果 ，则可知直线 行于 等底等高的两个平行四边形面积相等 (长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 )； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比 如图在 中， ,的点如图 (或 D 在 延长线上， E 在 )， 则 : ( ) : ( )A B C A D A B A C A D A E 图 三、蝴蝶定理 任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理” )： 1 2 4 3:S S S S或者1 3 2 4S S S S 1 2 4 3:A O O C S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 梯形中比例关系 (“梯形 蝴蝶定理” )： 2213:S S a b 221 3 2 4: : : : : :S S S S a b a b a b； S 的对应份数为 2 四、相似模型 (一 )金字塔模型 (二 ) 沙漏模型 S 3S 2S 1S 2S 1S 4小学六年级奥数 第 2 页 共 25 页 G A D A E D E A A C B C A G； 22:A D E A B A F A G ： 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 (只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似 )，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形 之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 五、 燕尾定理 在三角形 ， 交于同一点 O ，那么 :A B O A C B D D C 上述定理给出了一个新的转化面积比 与线段比的手段，因为 和 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 . 典型例题 【例 1】 如图，正方形 边长为 6， 2 长方形 面积为 【解析】 连接 则长方形 面积是三角形 积的二倍 三角形 面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积 ， 6 6 1 . 5 6 2 2 6 2 4 . 5 4 2 1 6 . 5D E ,所以 长方形 积为 33 【巩固】 如 图所示，正方形 边长为 8 厘米，长方形 长 10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 (长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 )三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接 (我们通过 把这两个长方形和正方形联系在一起 ) 在正方形 ，G 12 B A B 边上的高， _ _ _ _ _ _ _ _ _ A _ _ C _ _ D _ A _ _ C _ _ D 第 3 页 共 25 页 12A B G A B C W(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ) 同理， 12 正方形 长方形 积相等 长方形的宽 8 8 10 (厘米 ) 【例 2】 长方形 面积为 36 2 E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 上任意一 点，问阴影部分面积是多少 ？ 析】 解法一 ：寻找可利用的条件，连接 如下图： 12 、 12 C H 、 12D H G D H ，而 36A B C D A H B C H B C H S S 即 11( ) 3 6 1 822E H B B H F D H G A H B C H B C H S S S S ； 而E H B B H F D H G E B S S S 阴 影， 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 6 4 . 52 2 2 2 8 E B F A B B C 所以阴影部分的面积是： 1 8 1 8 4 . 5 1 3 . 5 阴 影解法二 ：特殊点法找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合， 那么 图形就可变成右图： )这样阴影部分的面积就是 的面积，根据鸟头定理，则有： 1 1 1 1 1 1 13 6 3 6 3 6 3 6 1 3 . 52 2 2 2 2 2 2A B C D A E D B E F C F S S S 阴 影 【巩固】 在边长为 6 厘米的正方形 任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接 ,求 阴影 部分面积 小学六年级奥数 第 4 页 共 25 页 D(P)析】 （法 1）特殊点法 由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 P 点与 A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 14和 16，所以阴影部分的面积为2 116 ( ) 1 546 平 方厘米 （法 2）连接 由于 与 的面积之和等于 正方形 积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 积的 14，同理可知左、右两 个阴影三角形的面积之和等于正方形 积的 16，所以阴影部分的面积为2 116 ( ) 1 546 平方厘米 【例 3】 如图所示，长方形 的阴影部分的面积之和为 70， 8， 15，四边形 面 积为 析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 四边形 面积之和，以及三角形 面积之和，进而求出四边形 面积 由于长方形 面积为 15 8 120 ，所以三角形 面积为 1120 304，所以三角形 面积之和为 31 2 0 7 0 2 04 ； 又三角形 四边形 面积之和为 111 2 0 3 024 ，所以四边形 面积为30 20 10 另解：从整体上来看，四边形 面积 三角形 积 三角形 积 白色部分的面积，而三角形 积 三角形 积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 120 70 50，所以四边形的面积为 60 50 10 【巩固】 如图，长方形 面积是 36， E 是 三等分点， 2D ，则阴影部分的面积为 析】 如图， 连接 小学六年级奥数 第 5 页 共 25 页 根据蝴蝶定理， 1: : : 1 : 12C O E C D E C A E C D N D S S S S ，所以 12O ； 1: : : 1 : 42B O E B A E B D E B A M A S S S S ，所以 15O 又 11 334O E D A B C 矩 形， 26O E A O E ，所以阴影部分面积为： 113 6 2 【例 4】 已知 等边三角形，面积为 400， D 、 E 、 F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积 (丙是三角形 丙乙甲析】 因为 D 、 E 、 F 分别为三边的中点，所以 三角形 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 三角形 面积都等于三角形 一半，即为 200 根据图形的容斥关系，有A B C A B N A M C A M H S S S 丙， 即 4 0 0 2 0 0 2 0 0A M H 丙，所以 又A D F A M H S S S 乙甲阴 影，所以 11 4 3 4 0 0 4 34A D S S S 乙甲 丙阴 影 【例 5】 如图，已知 5， 7， 15， 6，线段 图形分 成两部分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 面积是 E F G【解析】 连接 根据题意可知， 5 7 1 5 2 7 ； 7 1 5 6 2 8 ； 所以， 1527 B S ， 1227 S ， 2128D ， 728D ， 于是： 2 1 1 5 652 8 2 7A D G C B ； 7 1 2 382 8 2 7A D G C B ； 可得 40故 三角形 面积是 40 【例 6】 如图在 中， ,的点，且 : 2 : 5B ， : 4 : 7C ， 16平方厘米，求 的面积 小学六年级奥数 第 6 页 共 25 页 析】 连接 : : 2 : 5 ( 2 4 ) : ( 5 4 )A D E A B A D A B ， : : 4 : 7 ( 4 5 ) : ( 7 5 )A B E A B A E A C ，所以 : ( 2 4 ) : ( 7 5 )A D E A B ， 设 8 份，则35 份 ， 16 平方厘米 ， 所以 1 份是 2 平方厘米， 35 份就是 70 平方厘米， 的面积是70 平方厘米 由此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比 【巩固】 如图，三角形 ， 5 倍， 3 倍，如果三角形 面积等于 1，那么三角形 面积是多少？ D E【解析】 连接 3E 35D 5 1 5A D E A B E A B S V V V， 1 5 1 5A B C A D 【巩固】 如图，三角形 分成了甲 (阴影部分 )、乙两部分， 4C， 3， 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 乙甲析】 连接 3， 6 3E ， 34C， 2V， 6V， 5 甲 【例 7】 如图在 中， D 在 延长线上， E 在 ，且 : 5 : 2D ， : 3 : 2C ， 12 平方厘米，求 的面积 第 7 页 共 25 页 【解析】 连接 : : 2 : 5 ( 2 3 ) : ( 5 3 )A D E A B A D A B : : 3 : ( 3 2 ) ( 3 5 ) : ( 3 2 ) 5A B E A B A E A C ， 所以 : ( 3 2 ) : 5 ( 3 2 ) 6 : 2 5A D E A B ， 设 6份，则 25份 ， 12平方厘米 ，所以 1 份是 2 平方厘米， 25 份就是 50 平方厘米， 的面积是 50 平方厘米 由此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比 【例 8】 如图，平行四边形 B ， 2B ， 3C ， 4D ，平行四边形 面积是 2 ， 求平行四边形 四边形 面积比 析】 连接 根据 共角定理 在 和 中， 与 互补， 1 1 11 3 3 B B E B F 又 1，所以 3 同理可得 8， 15， 8 所以 8 8 1 5 + 3 + 2 3 6E F G H A E H C F G D H G B E F A B C S S S S 所以 213 6 1 8 【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？ 3121213131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积 . 我们可以利用旋转的方法对图 形实施变换 ： 把三角形 顶点 O 逆时针旋转，使长为 13的两条边重合，此时三角形 旋转到三角形 的位置 过旋转后所得到的新图形是一个边长为 12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积 . 因此，原来四边形的面积为 12 12 144 .(也可以用勾股定理 ) 【例 10】 如图所示， 中， 90 ， 3， 5，以 一边向 外作正方形 中心为 O ，求 的面积 小学六年级奥数 第 8 页 共 25 页 53析】 如图，将 沿着 O 点顺时针旋转 90 ，到达 的位置 由于 90 ， 90 ，所以 180O A B O C B 而 ， 所以 180O C F O C B ，那么 B 、 C 、 F 三点在一条直线上 由于 F ， 90B O F A O C ，所以 是等腰直角三角形，且斜边 5 3 8 ，所以它的面积为2 18 164 根据面积比例模型， 的面积为 516 108 【例 11】 如图，以正方形的边 斜边在正方形内作直角三角形 90 ， 于 O 已知 长分别为 3 5求三角形 面积 析】 如图，连接 以 A 点为中心，将 顺时针旋转 90 到 的位置 那么 90E A F E A B B A F E A B D A E ，而 是 90 ，所以四边形 直角梯形，且 3E， 所以梯形 面积为： 13 5 3 1 22 ( 2 又因为 是直角三角形，根据勾股定理， 2 2 2 2 23 5 3 4A B A E B E ，所以21 172 B ( 2 那么 1 7 1 2 5B D E A B D A B E A D E A B D A F B S S S S ( 2， 所以 1 2 . 52O B E B D ( 2 【例 12】 如 下图，六边形 ， D ， D ， F ，且有 行于 行于 行于 对角线 直于 已知 24厘米， 18厘米，请问六边形 面积是多少平方厘米？ 小学六年级奥数 第 9 页 共 25 页 析】 如图，我们将 平移使得 合，将 平移使得 合，这样 重合到图中的 这样就组成了一个长方形 它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形面积为 24 18 432 平方厘米，所以六边形 面积为 432 平方厘米 【例 13】 如图，三角形 面积是 1 ， E 是 中点，点 D 在 ，且 : 1 : 2C ， 于点 F 则四边形 面积等于 析】 方法一： 连接 根据燕尾定理， 12 C， 1 C, 设 1份，则 2份， 3份， 3A E F E F 份，如图所标 所以 551 2 1 2D C E F A B 方法二 ： 连 接 由 题目条件可得到 1133A B D A B ， 1 1 2 12 2 3 3A D E A D C A B S ，所以 11， 1 1 1 1 1 1 12 2 3 2 3 2 1 2D E F D E B B E C A B S S ， 而 2 1 13 2 3C D E A B 所以 则四边形 面积等于 512 【巩固】 如图，长方形 面积是 2 平方厘米， 2E ， F 是 中点阴影部分的面积是多少平方厘米 ? x 析】 设 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 551 2 1 2B C 阴 影平方厘米 . 【例 14】 四边形 对角线 于点 O (如图所示 ) 如果三角形 面积等于三角形 面积的 13，且 2， 3，那么 长 度是 长度的 _倍 小学六年级奥数 第 10 页 共 25 页 析】 在本题中，四边形 任意四边形，对于这种 ” 不良四边形 ” ，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形 看到题目中给出条件: 1 : 3A B D B C 这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法 又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第 二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个 ”不良四边形 ” ，于是可以作 直 H ， 直 G ，面积比转化为高之比 再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果 请老师注意比较两种解 法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题 解法一： : : 1 : 3A B D B D O C S S， 2 3 6 ， : 6 : 3 2 : 1O C O D 解法二：作 D 于 H ， D 于 G 13C ， 13G， 13A O D D O ， 13O， 2 3 6 ， : 6 : 3 2 : 1O C O D 【巩固】 如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：三角形 面积； :C ？ 析】 根据蝴蝶定理， 1 2 3B G V，那么 6V ； 根据蝴蝶定理， : 1 2 : 3 6 1 : 3A G G C 【例 15】 如图，平行四边形 对角线交于 O 点， 、 、 、 的面积依次是 2、4、 4 和 6 求：求 的面积；求 的面积 析】 根据题意可知， 的面积为 2 4 4 6 16 ，那么 和 的面积都是 16 2 8 ，所以的面积为 8 4 4 ； 由于 的面积为 8， 的面积为 6，所以 的面积为 8 6 2 ， 根据蝴蝶定理， : : 2 : 4 1 : 2C O E C O F G S S ， 所以 : : 1 : 2G C E G C E G F G ， 那么 1 1 221 2 3 3G C E C E 小学六年级奥数 第 11 页 共 25 页 【例 16】 如图，长方形 ， : 2 : 3C ， : 1 : 2C ，三角形 面积为 2 平方厘米，求长方形 面积 析】 连接 因为 : 2 : 3C ， : 1 : 2C ，所以 3 1 1 1()5 3 2 1 0D E F A B C D A B C S V 长 方 形 长 方 形 因为 12 B C 长 方 形， 11: : 5 : 12 1 0A G G F ，所以 5 1 0A G D G D 所以12V 平方厘米因为 16 B C 长 方 形 ，所以长方形 面积是 72 平方厘米 【例 17】 如图，正方形 积为 3 平方厘米， M 是 上的中点求图中阴影部分的面积 析】 因为 M 是 上的中点，所以 : 1 : 2C ，根据梯形蝴蝶定理可以知道 22: : : 1 : 1 2 : 1 2 : 2 1 : 2 : 2 : 4A M G A B G M C G B C S S （ ） （ ）， 设 1 份，则 1 2 3M C 份，所以正方形的面积为 1 2 2 4 3 1 2 份， 2 2 4S 阴 影份，所以 : 1 : 3阴 影 正 方 形，所以1S 阴 影 平方厘米 【巩固】 在下图的正方形 ， E 是 的中点， 交于 F 点，三角形 面积为 1 平方厘米，那么正方形 积是 平方厘米 析】 连接 根据题意 可知 : 1: 2D ， 根据蝴蝶定理得 21 2 9S 梯 形 （ ）(平方厘米 )，3 (平方厘米 )， 那么 12W (平方厘米 ) 小学六年级奥数 第 12 页 共 25 页 【例 18】 已知 平行四边形， : 3 : 2E ，三角形 面积为 6 平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米 D【解析】 连接 由于 平行四边形， : 3 : 2E ，所以 : 2 : 3D ， 根据梯形蝴蝶定理， 22: : : 2 : 2 3 : 2 3 : 3 4 : 6 : 6 : 9C O E A O C D O E A O S S V V V V，所以 6V(平方厘米 )， 9V(平方厘米 )，又 6 9 1 5A B C A C 方厘米 )，阴影部分面积为6 15 21 (平方厘米 ) 【巩固】 右图中 梯形， 平行四边形，已知三角形面积如图所示 (单位：平方厘米 )，阴影部分的面积是 平方厘米 21析】 连接 由于 平行的，所以 是梯形，那么O C D O A 根据 蝴蝶定理， 4 9 3 6O C D O A E O C E O A S S ，故 2 36 ， 所以 6(平方厘米 ) 【巩固】 右图中 梯形， 平行四边形，已知三角形面积如图所示 (单位：平方厘米 )，阴影部分的面积是 平方厘米 1682析】 连接 由于 平行的，所以 是梯形，那么 根 据 蝴 蝶 定 理 ， 2 8 1 6O C D O A E O C E O A S S ，故 2 16， 所 以4 (平方厘米 ) 另解：在 平行四边形 ， 11 1 6 8 1 222A D E A B E Y(平方厘米 )， 所以 1 2 8 4A O E A D E A O S (平方厘米 )， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为 8 2 4 4 (平方厘米 ) 小学六年级奥数 第 13 页 共 25 页 【例 19】 如图，长方形 成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、 5、 8 平方厘米，那么余下的四边形 面积为 _平方厘米 ?852?852【解析】 连接 四边形 梯形，所以 V，又根据蝴蝶定理，E O D F O C E O F C O S S ，所以 2 8 1 6E O D F O C E O F C O S S ，所以 4(平方厘米 )， 4 8 1 2S (平方厘米 ) 那么长方形 面积为 12 2 24 平方厘米，四边形 面积为 24 5 2 8 9 (平方厘米 ) 【例 20】 如图， 是等腰直角三角形， 正方形，线段 交于 K 点已知正方形 面积 48， : 1: 3B ，则 的面积是多少？ 析】 由于 正方形， 所以 行，那么四边形 梯形 在梯形 ， 和的面积是相等的 而 : 1: 3B ，所以 的面积是 面积的 111 3 4，那么 的面积也是 面积的 14 由于 是等腰直角三角形， 如果过 A 作 垂线， M 为垂足，那么 M 是 中点，而且E ，可见 和 的面积都等于 正方形 积的一半，所以 的面积与 正方形面积相等，为 48 那么 的面积为 148 124 【例 21】 下图中，四边形 是边长为 1 的正方形， E 、 F 、 G 、 H 分别是 中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 么， ()的值等于 析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空 白部分的面积，再求阴影部分的面积 如下图所示，在左图中连接 设 交点为 M 左图中 长方形，可知 的面积为长方形 积的 14，所以三角形 面积为2 1 1 11 2 4 8 又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为 111482 小学六年级奥数 第 14 页 共 25 页 右图中连接 设 交点为 N 可知 2F 那么三角形 面积为三角形 积的 14，所以三角形 的面积为2 1 1 11 2 4 8 ，梯形 面积为 1 1 32 8 8 在 梯 形 ， 由 于 : 1: 2C ， 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， 其 四 部 分 的 面 积 比 为 ：221 : 1 2 : 1 2 : 2 1 : 2 : 2 : 4 ，所以三角形 面积为 3 1 18 1 2 2 4 2 4，那么四边形 面积为 1 1 18 24 6 而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 111463 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 11: 3: 223，即 32 那么 3 2 5 【例 22】 如图， 中， 相平行， F ， 则 :A D E D E G F F G C S 四 边 形 四 边 形 析】 设 1份 ， 根据面积比等于相似比的平方， 所以 22: : 1 : 4A D E A F A D A F ， 22: : 1 : 9A D E A B A D A B ， 因此 4份， 9份 ， 进而有 3四 边 形份 ， 5四 边 形份 ，所以 : : 1 : 3 : 5A D E D E G F F G C S 四 边 形 四 边 形【巩固】 如图， 行 且 2， 5， 4，求 长 析】 由金字塔模型得 : : : 2 : 5A D A B A E A C D E B C ， 所以4 2 5 1 0 【巩固】 如图， 中， 相平行， 第 15 页 共 25 页 A D D F F M M P P B ，则 : : : :A D E D E G F F G N M M N Q P P Q C S S S 四 边 形 四 边 形 四 边 形 四 边 形 【解析】 设 1份， 22: : 1 : 4A D E A F A D A F ， 因此 4份，进而有 3四 边 形份 ，同理有 5 四 边 形份 ， 7M N Q 四 边 形份 ， 9四 边 形份 所以有 : : : : 1 : 3 : 5 : 7 : 9A D E D E G F F G N M M N Q P P Q C S S S 四 边 形 四 边 形 四 边 形 四 边 形 【例 23】 如图，已知正方形 边长为 4 ， F 是 的中点， E 是 上的点，且 : 1: 3C ， E 相交于点 G ，求B【解析】 方法一：连接 延长 条线交于点 M ，构造出两个沙漏，所以有 : : 1 : 1A B C M B F F C，因此 4， 根 据 题 意 有 3， 再 根 据 另 一 个 沙 漏 有 : : 4 : 7G B G E A B E M，所以4 4 3 2( 4 4 2 )4 7 1 1 1 1A B G A B 方法二：连接 ,分别求 4 2 2 4 ， 4 4 4 1 2 3 2 2 4 7 ，根据蝴蝶定理 : : 4 : 7A B F A E B G G E ，所以 4 4 3 2( 4 4 2 )4 7 1 1 1 1A B G A B 【例 24】 如图所示，已知平行四边形 面积是 1， E 、 F 是 中点， M ，求 面积 B 解析】 解法 一 ： 由题意 可得， E 、 F 是 中点 ，得 /D ，而 : : 1 : 2F D B C F H H C， : : 1 : 2E B C D B G G D所以 : : 2 : 3C H C F G H E F， 并得 G 、 H 是 三等分点，所以 H ，所以 : : 2 : 3B G E F B M M F，所以 25F， 1 1 1 12 2 2 4B F D A B D A B C S Y； 又因为 13D，所以 1 2 1 2 1 13 5 3 5 4 3 0B M G B F 解法二 ：延长 I ，如右图， 可得， : : 1 : 1A I B C A E E B，从而可以确定 M 的点的位置， : : 2 : 3B M M F B C ， 25F， 13D(鸟头定理 )， 可得 2 1 2 1 1 15 3 5 3 4 3 0B M G B D F A B C S 第 16 页 共 25 页 【例 25】 如图， 正方形， 1 c N B D E F C 且 2 ，请问四边形 面积为多少？ 析】 (法 1 )由 /D ，有 C， 所以 2M ，又 C，所以 12M Q Q C M C ，所以 1 1 12 3 6P Q M C M C M C ，所以 16 ， 所以 121 (1 1 2 )63S P Q 2( (法 2 )如图，连结 则 1 4 4 82 ( 2， 而 F，所以 2F， 2 2 1 683 3 3A B R A B ( 2 而 113 4 322M B Q A N ( 2，因为 C， 所以 13C，则 1 1 4242 3 3M N ( 2，阴影部分面积等于 1 6 4 2333 3 3A B R A N S M B Q M N S S ( 2 【例 26】 如右图，三角形 ， : 4 : 9C ， : 4 : 3A ，求 :B D 析】 根据燕尾定理得 : : 4 : 9 1 2 : 2 7A O B A O B D C D : : 3 : 4 1 2 : 1 6A O B B O A E C E （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 : 2 7 : 1 6 :A O C B O A F F B 【点评】 本题关键是把 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】如右图，三角形 ， : 3 : 4C ， : 5 : 6E ，求 :B . D 析】 根据燕尾定理得 : : 3 : 4 1 5 : 2 0A O B A O B D C D : : 5 : 6 1 5 : 1 8A O B B