1-1-2有理数基本运算.题库教师版

1理数基本 运算 题库学生 版 3 内容 基本要求 略高要求 较高要求 有理数运算 理解乘方的意义 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主） 能运用有理数的运算解决简单问题 有理数的运算律 理解有理数的运算律 能用有理数的运算律简化运算 板块 一 、 有理数 基本 加、减混合运算 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 . 绝对值不相等的异号两 数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 . 一个数同 0 相加，仍得这个数 . 有理数加法的运算步骤： 法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： 确定和的符号； 求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差 . 有理数加法的运算律： 两个加数相加，交换加数的位置，和不变 .a b b a (加法交换律 ) 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 . ( ) ( )a b c a b c (加法结合律 ) 有理数加法的运算技巧： 分数与小数均有时，应先化为统一形式 . 带分数可分为整数与分数两部分参与运算 . 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零 . 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加 . 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起 . 符号相同的数可以先结合在一起 . 例题精讲 中考要求 有理数基本 运算 1理数基本 运算 题库学生 版 3 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数 . ()a b a b 有理数减法的运算步骤： 把减号变为加号（改变运算符号） 把减数变为它的相反数 （改变性质符号） 把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算 . 有理数加减混合运算的步骤： 把算式中的减法转化为加法； 省略加号与括号； 利用运算律及技巧简便计算，求出结果 . 注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和 0 的和，这个和称为代数和 以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式 . 例如： ( 3 ) ( 0 . 1 5 ) 9 ( 5 ) ( 1 1 ) 3 0 . 1 5 9 5 1 1 ， 它的含义是正 3，负 9，正 5，负 11 的和 . 【例 1】 (2 级 )计算： 5 1 1 6( 2 . 3 9 ) ( 1 . 5 7 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 2 ) ( 7 . 6 1 ) ( 3 2 ) ( 1 . 5 7 )6 7 6 7 11( 0 . 7 5 ) 0 . 3 7 5 ( 2 )84 【例 2】 (2 级 )计算： 3 1 3 3 5 1 4 ； 3 1 21 2 1 34 6 3 4 1 3 4 . 57 2 7 ； 110 . 5 2 . 5 0 . 336 【巩固】 (2 级 ) 21( 4 ) ( 3 )33 21( 6 ) ( 9 ) | 3 | 7 . 4 9 . 2 ( 4 )55 17( 1 4 ) ( 5 ) ( 1 . 2 5 )88 1 1 1( 8 . 5 ) 3 ( 6 ) 1 13 3 2 5 3 1 7( 9 ) 1 5 ( 3 ) ( 2 2 . 5 ) ( 1 5 )1 2 4 4 1 2 4 3 4( 1 8 ) ( 5 3 ) ( 5 3 . 6 ) ( 1 8 ) ( 1 0 0 )5 5 5 1 1 3 2| 1 ( ) |3 5 5 3 4 . 7 ( 3 . 3 ) ( 5 . 6 ) ( 2 . 1 ) 1理数基本 运算 题库学生 版 3 1 1 1 1( 3 ) ( 3 ) 3 ( 3 )4 4 4 4 【巩固】 (2 级 ) 0a ， 0b 则 0； 0a ， 0b 则 0； 0a ， 0b ，则 () 0； 0a ， 0b ，且 | | | |，则 0. 【例 3】 （ 6 级） 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为 1 a b a， ， 的形式，又可分别表示为 0 b ，的形式，则 2004 2001 【例 4】 (2 级 )给出一连串连续整数： 2 0 3 2 0 2 . . . 2 0 0 3 2 0 0 4， ， ， ，这串连续整数共有 个；它们的和是 【例 5】 （ 6 级） (第 8 届希望杯 )1997 个不全相等的有理数之和为 0 ，则这 1997 个有理数中 ( ) A 至少有一个是零 B 至少有 998 个正数 C 至少有一个是负数 D 至多有 995 个是负数 【巩固】 （ 6 级） (第 17 届希望杯 2 试 )若 0a b c d ，则以下四个结论中，正确的是 ( ) A a b c d 一定是正数 B d c a b 可能是负数 C d c b a 一定是正数 D c d b a 一定是正数 【例 6】 (2 级 )（北京）北京市 2007 年 5 月份某一周的日最高气温（单位： C ）分别为： 25， 28， 30， 29， 31，32， 28，这周的日最高气温的平均值为（ ） A. 28C B. 29C C. 30C D. 31C 【例 7】 （ 4 级） (07 年济南中考题 ) 出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下 : 15 ， 2 ， 5 ， 1 ， 10 ， 3 ， 2 ， 12 ， 4 ， 5 ， 6 ， 将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远 ? 如果汽车耗油量为 /千米，这天下午小李共耗油多少升 ? 【巩固】 （ 4 级） （ 07 08 学年北京四中阶段测试 ） A 市的出租车无起步价，每公里收费 2 元，不足 1 公里的按 1 公里计价， 9 月 4 号上午 A 市 某出租 司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为： 、 、 8 、 （单位：公里，向北行驶记为正，向南行驶记为负），车每公里耗 1理数基本 运算 题库学生 版 3 油 ，每升油 4 元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发 点多远？ 【例 8】 （ 8 级） （无锡市中考题、人大附中练习题改编） 数轴的原点 O 上有一个蜗牛，第 1 次向正方向爬 1 个单位长度，紧接着第 2 次反向爬 2 个单位长度，第 3 次向正方向爬 3 个单位长度，第 4 次反向爬 4 个单位长度 ，依次规律爬下去，当它爬完第 100次处在 B 点 求 O 、 B 两点之间的距离（用单位长度表示） 若点 C 与原点相距 50 个单位长度，蜗牛的速度为每分钟 2 个单位长度，需要多少时间 才能到达？ 若蜗牛的速度为每分钟 2 个单位长度，经过 1 小时蜗牛离 O 点多远？ 【巩固】 （ 6 级） （第 5 届希望杯 2 试） 电子跳蚤在数轴上的某一点0K，第一步0 个单位到点1K，第二步由点1 个单位到点2K，第三步有点2 个单位到点3K，第四步由点3 个单位到点4K， ，按以上规律跳了 100 步时， 求电子跳蚤的初始位置点 0K 所表示的数 【巩固】 （ 10 级） 在整数 1， 3， 5， 7， ， 21k ， ， 2005 之间填入符号 “ ”和 “ ”号，依此运算，所有可能的代数和中最小的非负数是多少？ 【巩固】 （ 10 级） (07 年希望杯培训试题 )在 1， 3， 5， ， 101 这 51 个奇数中的 每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？ 1理数基本 运算 题库学生 版 3 【巩固】 （ 8 级） (2000 年辽宁 )在数 1， 2， 3， ， 1998 前添符号 “+”或 “-”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？ 【例 9】 （ 6 级） 试利用正方形的面积，计算以下无穷个数的和： 1 1 1 1 1 1 1 . 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8 132116181412【例 10】 （ 6 级） （ 2005 年大连市中考） 在数学活动中，小明为了求2341 1 1 1 1. 2 2 2 n 的值 （结果用 n 表示），设计了如图所示的几何图形 图 2图 112 412 312 212 请你用这个几何图形求2341 1 1 1 1. 2 2 2 n 的值 请你用图 2，再设计一个能求231 1 1 1. 2 2 n 的值的几何图形 1理数基本 运算 题库学生 版 3 【例 11】 （ 4 级） （芜湖市课改实验区中考试题） 小王上周五在股市以收盘价每股 25 元买进某公司股票 1000 股，在接下来的一周交易日内，小 王记下该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） 2 根据上表回答如下问题： 星期二收盘时，该股票每股多少元？ 本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？ 已知买入股票与卖出 股票均需要支付成交金额的千分之五的交易费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的受益情况如何？ 板块 二、 有理数 基本 乘 法 、除法 有理数乘、除法 ： 有理数乘法 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 相乘，都得 0. 有理数乘法运算律： 两个数相乘，交换因数的位置，积相等 . ab (乘法交换律 ) 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 . ()a (乘法结合律 ) 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 . ()a b c ab (乘法分配律 ) 有理数乘法法则的推广： 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数 . 几个数相乘，如果有一个因数为 0，则积为 0. 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算 . 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数 . 【例 12】 (2 级 )看谁算的又对又快 : 3 4 5 8 2 6 4 1 1 3( 3 ) 1 1 55 9 2 1 1 1571 ( 8)16 9 9 98 1 2 5 1 2 4 1 21 6 1 6 1 6 1 1 1 11 2 2 1 1 14 2 6 1 2 1理数基本 运算 题库学生 版 3 【巩固】 (2 级 )计算下列各题： 30 . 2 5 0 . 5 7 0 45 ； 110 . 0 3 3 3 323 ； 7 3 5 ( 1 ) ( 3 6 )1 2 4 6 ； 1 1 1( 0 . 2 5 ) ( 5 ) ( 3 . 5 ) ( ) 22 4 4 ； 1 1 4( ) 1 ( ) 1 68 4 5 ； 1 1 17 1 1 1 3 ( )7 1 1 1 3 ； 1 1 13 . 5 5 2 . 8 7 ( ) ( ) 6 . 4 23 3 3 ； 1 1 1 1 13 6 ( )2 3 4 6 9 . 【例 13】 (2 级 )计算 ： 71 0 0 0 . 0 1 9 9 9 011 18 1 2 0 . 1 2 5 0 . 23 【例 14】 （ 8 级） (第 10 届希望杯 ) 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) . . . . . ( 1 ) _ _ _ _ _ _ _1 9 9 8 1 9 9 7 1 9 9 6 1 0 0 0 【巩固】 （ 8 级） 计算： 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )4 9 1 6 2 5 2 5 0 0 L 1理数基本 运算 题库学生 版 3 【例 15】 （ 8 级） 积 1 1 1 1 11 1 1 . . . 1 11 3 2 4 3 5 9 8 1 0 0 9 9 1 0 1 的值的整数部分是 【例 16】 （ 8 级） 设 2个正整数1 2 3 . na a a a， ， ， ，任意改变他们的顺序后，记作1 2 3 . nb b b b， ， ， ，若 1 1 2 2 3 3 . a b a b a b a b ，则（ ） A P 一定是奇数 B P 一定是偶数 C当 n 是奇数时， P 是偶数 D当 n 是偶数时， P 是奇数 【例 17】 （ 8 级） 若 a ， b ， c ， d 是互不相等的整数，且 9则 a b c d 的值为 ( ) A 0 B 4 C 8 D无法确定 【巩固】 （ 8 级） 如果 4 个不同的正整数 m ， n ， p ， q 满足 ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) 4m n p q ，那么 m n p q 的值是多少？ 【例 18】 （ 8 级） 如果 ， 均为正数，且 1 5 2 1 6 2 1 7 0a b c b a c c a b ， ，那么 值等于 【例 19】 （ 6 级） (第 9 届希望杯 )若 19 98 0，则 （ ） A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数 【巩固】 (2 级 )奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正 . 【补充】 （ 6 级） (第 16届希望杯 2 试 )如果 22( ) ( ) 4a b a b ，则一定成立的是 ( ) A a 是 b 的相反数 B a 是 b 的相反数 C a 是 b 的倒数 D a 是 b 的倒数 【补充】 (2 级 )若 ， 三个数互不相等，则在 a b b c c ab c c a a b ， ，中，正数一定有 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 1理数基本 运算 题库学生 版 3 ： 有理数除法 有理数除法法则： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数 . 1a b ， ( 0b ) 两数相除，同号得正，异号得负，并把 绝对值相除； 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0. 有理数除法的运算步骤： 首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值 . 【例 20】 (2 级 )计算： 1 1 13 2 13 3 5 112 1 0 3 523 【巩固】 (2 级 ) 2 3 1( 4 ) ( )3 2 4 ； 71( ) 2 ( 3)93 ； 1 1 1 1 1( ) ( )2 3 4 5 6 0 ； 44192 ( )77； 1 9 ( 7 ) 1 2 8 ( 7 ) 3 3 ( 7 ) ； 5 3 1 5( ) ( 1 . 2 5 ) ( 3 ) 1 . 4 ( )2 4 4 2 3 . 【例 21】 (2 级 )如果 0 0，且 ( ) 0a b c，试确定 a 、 b 、 c 的符 号 . 【巩固】 (2 级 )如果 0 0试确定 符号 . 【例 22】 （ 6 级） （第 15 届希望杯邀请赛试题）观察下面的式子： 1理数基本 运算 题库学生 版 0 3 2 2 4 2 2 4 ;3 1 3 13 4 3 4 ;2 2 2 24 1 4 14 5 4 5 ;3 3 3 35 1 5 15 6 5 64 4 4 4 ，小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？ 请你观察上面各式的结构特点， 归纳出一个猜想，并证明你的猜想 板块 三、 有理 数常考经典 计算 题型 一、应用定律 【例 23】 （ 4 级） （第五届“五羊杯”竞赛试题）计算： 1 3 1 7 11 0 1 0 5 . 2 1 4 9 5 . 2 5 . 4 3 4 . 6 12 5 5 1 0 2 【例 24】 (2 级 )计算： 5 6 7 6 7 8 4 3 3 3 2 2 6 7 8 4 3 3 3 2 2 5 6 7 二 、应用公式 【例 25】 (2 级 )计算： 103 97 10009 【例 26】 （ 6 级） 计算： 2 4 8 1 6 3 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1理数基本 运算 题库学生 版 1 3 三、整体代换 【例 27】 （ 6 级） 计 算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. . . 1 . . . 1 . . . . . 2 0 0 4 2 2 0 0 3 2 2 0 0 4 2 3 2 0 0 3 四、裂项 【例 28】 （ 6 级） 计算 ： 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 1 2 88 2 4 4 8 8 0 1 2 0 1 6 8 2 2 4 2 8 8 【例 29】 （ 4 级） （ 2008 年 第十三届 “华杯赛 ”决赛集训题 ） 已知 2( 1 ) | 2 | 0a a b ，试求 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )a b a b a b 2 0 0 4 ) 2 0 0 4 )L 的值 五、分离法 【例 30】 （ 6 级） 计算： 1 3 3 1 2 1 58 3 1 3 2 6 42 5 8 6 5 3 8 1理数基本 运算 题库学生 版 2 3 练习 1 (2 级 )计算下列各题 2 3 1 3 2 ( 1 2 ) ( ) 2 7 3 4 2 4 2 7 3 2 1 2( 7 3 8 ) ( 7 8 . 3 6 ) ( 5 3 ) ( 1 3 . 6 4 ) ( 4 3 )2 3 2 3 1 1 1 10 ( ) ( ) ( ) ( )3 4 6 2 9 . 3 7 1 2 . 8 4 6 . 2 4 3 . 1 2 1 8 9 6 1 7131 4 2 1 1 4 7 3 5 112 . 7 5 ( 3 ) ( 0 . 5 ) ( 7 )42 1 1 1 1| | | 0 | | | ( ) | |2 3 9 4 1 1 1 2 1 71 7 1 4 24 1 2 3 1 8 1 1 2 11 4 . 5 3 52 5 5 3 1 2 2 3| ( ) ( ) | | ( ) |5 5 3 2 练习 2 （ 8 级） (第 14 届希