商丘市虞城县2016届中考数学二模试卷含答案解析

第 1 页（共 32 页） 2016 年河南省商丘市虞城县中考数学二模试卷 一、选择题 1在 4， 2， 1， 3 这四个数中，比 2 小的数是（ ） A 4 B 2 C 1 D 3 2国务院总理李克强在第十二届全国人大第四次政府工作报告中指出， 2015 年我国国内生产总值达到了 亿元， 亿元用科学记数法表示为（ ） A 012 B 013 C 014 D 014 3下列计算正确的是（ ） A a2a3= a2+a3=（ 3= （ 2x） 3= 6如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（ ） A B C D 5把一块直尺与一块三角板如图放置，若 1=40，则 2 的度数为（ ） A 125 B 120 C 140 D 130 6已知点（ 1， （ 2， （ 3， 反比例函数 y= 的图象上下列结论中正确的是（ ） A 如图，在平行四边形 ， F 是 中点，作 足 E 在线段 ，连接 下列结论中一定成立的是（ ） 第 2 页（共 32 页） F； S S A B C D 8如图，已知正方形 边长为 4， E 是 上的一个动点， F，设BE=x， FC=y，则当点 E 从点 B 运动到点 C 时， y 关于 x 的函数图象是（ ） A B C D 二、填空题 9（ 2） 1 +| 3|= 10直线 y=x+1 与直线 y=mx+n 相交于点 P（ a， 2），则关于 x 的不等式 x+1mx+n 的解集为 11若关于 x 的一元二次 方程（ k 1） x 2=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 12在平面直角坐标系中，已知点 E（ 4， 2）， F（ 2， 2），以原点 O 为位似中心，相似比为1 2，把 小，则点 E 的对应点 E的坐标是 第 3 页（共 32 页） 13在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，它们的标号分别为 1， 2， 3， 4，一人从中随机摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和大于 4 的概率是 14如图，在扇形 ， 0，半径 ，将扇形 过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在弧 点 D 处，折痕交 点 C，整个阴影部分的面积 15如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 上的一个动点，把 叠，当点 D 的对应点刚好 D 落在矩形 对称轴上时，则 长为 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 75分） 16先化简： （ ），再从 2 x 3 的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值 17如图，在 ， 0，以 直径的 O 与 交于点 D，过点 D 作 O 的切线，交 点 E （ 1）求证： C； （ 2）若以点 O、 D、 E、 C 为顶点的四边形是正方形，试判断 形状，并说明理由 第 4 页（共 32 页） 18遵义市某中学为了搞好 “创建全国文明城 市 ”的宣传活动，对本校部分学生（随机抽查）进行了一次相关知识了解程度的调查测试（成绩分为 A、 B、 C、 D、 E 五个组， x 表示测试成绩）通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息解答以下问题： （ 1）参加调查测试的学生为 人； （ 2）将条形统计图补充完整； （ 3）本次调查测试成绩中的中位数落在 组内； （ 4）若测试成绩在 80 分以上（含 80 分）为优秀，该中学共有学生 2600 人，请你根据样本数据估计全校 学生测试成绩为优秀的总人数 19如图，一电线杆 在山坡上，从地面的点 A 看，测得杆顶端点 A 的仰角为 45，向前走 6，又测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别为 60和 30， （ 1）求 度数； （ 2）求该电线杆 高度（结果精确到 1m） 20如图，反比例函数 y= （ k0， x 0）的图象与直线 y=4x 相交于点 C，过直线上点 A（ 2， 8）作 直于 x 轴于点 B，交反比例函 数图象于点 D，且 （ 1）求 k 的值； （ 2）求点 C 的坐标； 第 5 页（共 32 页） （ 3）在 y 轴上是否存在一点 P，使点 P 到 C、 D 两点距离之和 D 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 21某商场同时购进甲、乙两种商品共 200 件，其进价和售价如下表， 商品名称 甲 乙 进价（元 /件） 80 100 售价（元 /件） 160 240 设其中甲种商品购进 x 件 （ 1）若该商场购进这 200 件商品恰好用去 17900 元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ （ 2）若设该商场售完这 200 件商品的总利润为 y 元 求 y 与 x 的函数关系式； 该商品计划最多投入 18000 元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （ 3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 a 元（ 50 a 70）出售，且限定商场最多购进 120 件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（ 2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案 22【提出问题】 （ 1）如图 1，在等边 ，点 M 是 的任意一点（不含端点 B、 C），连 结 结 证： 【类比探究】 （ 2）如图 2，在等边 ，点 M 是 长线上的任意一点（不含端点 C），其它条件不变，（ 1）中结论 成立吗？请说明理由 【拓展延伸】 第 6 页（共 32 页） （ 3）如图 3，在等腰 ， C，点 M 是 的任意一点（不含端点 B、 C），连结 边作等腰 顶角 结 探究 数量关系，并说明理由 23如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（ 3， 0）， B（ 1， 0），与 y 轴交于点 C若点 P， Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动 （ 1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标； （ 2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以 A， E， Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）当 P， Q 运动到 t 秒时， 折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定此时四边形 形状，并求出 D 点坐标 第 7 页（共 32 页） 2016年河南省商丘市虞城县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1在 4， 2， 1， 3 这四个数中，比 2 小的数是（ ） A 4 B 2 C 1 D 3 【考点】 有理数大小比较 【分析】 根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项 【解答】 解： 正数和 0 大于负数， 排除 2 和 3 | 2|=2， | 1|=1， | 4|=4， 4 2 1，即 | 4| | 2| | 1|， 4 2 1 故选： A 【点评】 考查了有理数大小比较法则正数大于 0， 0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小 2国务院总理李克强在第十二届全国人大第四次政府工作报告中指出， 2015 年我国国内生产总值达到了 亿元， 亿元用科学记数法表示为（ ） A 012 B 013 C 014 D 014 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式 为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解： 亿 =67700000000000=013， 故选 B 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 第 8 页（共 32 页） 3下列计算正确的是（ ） A a2a3= a2+a3=（ 3=（ 2x） 3= 6考点】 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法 【分析】 根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，幂的乘方底数不变指数相乘，积的乘方等于乘方的积，可得答案 【解答】 解： A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 A 错误； B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故 B 错误； C、幂的乘方底数不变指数相乘，故 C 正确； D、积的乘方等于乘方的积，故 D 错误； 故选： C 【点评】 本题考查了积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键 4如图，由几个相同的小 正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（ ） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】 解：从左面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最 左边有一个正方形 故选 A 【点评】 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图 5把一块直尺与一块三角板如图放置，若 1=40，则 2 的度数为（ ） 第 9 页（共 32 页） A 125 B 120 C 140 D 130 【考点】 平行线的性质；直角三角形的性质 【分析】 根据矩形性质得出 出 2，代入 1+ A 求出即可 【解答】 解： 2， 1+ A， 1=40， A=90， 2= 30， 故选 D 【点评】 本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出 2= 得出 1+ A 6已知点（ 1， （ 2， （ 3， 反比例函数 y= 的图象上下列结论中正确的是（ ） A 考点】 反比例函数图象上点的 坐标特征 【专题】 压轴题 【分析】 先判断出函数反比例函数 y= 的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可 【解答】 解： ， ， 1 0， 反比例函数 y= 的图象在二、四象限， 第 10 页（共 32 页） 点（ 1， 横坐标为 1 0， 此点在第二象限， 0； （ 2， （ 3， 横坐标 3 2 0， 两点均在第四象限 0， 0， 在 第四象限内 y 随 x 的增大而增大， 0 故选： B 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当 k 0 时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当 k 0 时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号 7如图，在平行四边形 ， F 是 中点，作 足 E 在线段 ，连接 下列结论中一定成立的是（ ） F； S S A B C D 【考点】 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 【分析】 由在平行四边形 ， F 是 中点，易得 D=而证得 后延长 长线于 M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出 得出对应线段之间 关系进而得出答案 【解答】 解： F 是 中点， D， 在 ， D= 第 11 页（共 32 页） 此选项正确； 延长 长线于 M， 四边形 平行四边形， A= F 为 点， D， 在 ， ， F， M， 0， 0， F， M，故 正确； M， S S 2S S S 设 x，则 x， 0 x， 80 2x， 0 x+180 2x=270 3x， 0 x， 此选项正确 故选 C 第 12 页（共 32 页） 【点评】 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出 解题关键 8如图，已知正方形 边长为 4， E 是 上的一个动点， F，设BE=x， FC=y，则当点 E 从点 B 运动到点 C 时， y 关于 x 的函数图象是（ ） A B CD 【考点】 动点问题的函数图象 【专题】 压轴题 【分析】 通过设出 BE=x， FC=y，且 直角三角形，运用勾股定理得出 y 与 x 的关系，再判断出函数图象 【解答】 解：设 BE=x， FC=y，则 2， 4 x） 2+ 4 y） 2+42 又 直角三角形， 2+（ 4 x） 2+ 4 y） 2+42， 化简得： ，再化为 ，很明显，函数对应 A 选项 故选： A 【点评】 此题为动点函数问题，关键列出动点的函数关系，再判断选项 第 13 页（共 32 页） 二、填空题 9（ 2） 1 +| 3|= 【考点】 实数的运算；负整数指数幂 【专题】 计算题；实数 【分 析】 原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用算术平方根定义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 【解答】 解：原式 = 2+3= 故答案为： 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 10直线 y=x+1 与直线 y=mx+n 相交于点 P（ a， 2），则关于 x 的不等式 x+1mx+n 的解集为 x1 【考点】 一次函数与一元一次不等式 【专题】 数形结合 【分析】 首先把 P（ a， 2）坐标代入直线 y=x+1，求出 a 的值，从而得到 P 点坐标，再根据函数图象可得答案 【解答】 解：将点 P（ a， 2）坐标代入直线 y=x+1，得 a=1， 从图中直接看出，当 x1 时， x+1mx+n， 故答案为： x1 【点评】 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出两函数图象的交点坐标，根据函数图象可得答案 11若关于 x 的一元二次方程（ k 1） x 2=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k 且 k1 第 14 页（共 32 页） 【考点】 根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k 10 且 =22 4（ k 1） （ 2） 0，然后求出两个不等式的公共部分即可 【解答】 解：根据题意得 k 10 且 =22 4（ k 1） （ 2） 0， 解得： k 且 k1 故答案为： k 且 k1 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 12在平面直角坐标系中，已知点 E（ 4， 2）， F（ 2， 2），以原点 O 为位似中心，相似比为1 2，把 小，则点 E 的对应点 E的坐标是 （ 2， 1）或（ 2， 1） 【考点】 位似变换；坐标与图形性质 【分析】 根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案 【解答】 解： 顶点 E 的坐标是（ 4， 2），以原点 O 为位似中心相似比为 1： 2 将 小得到它的位似图形 EFO， 点 E的坐标是：（ （ 4）， 2）， （ 4）， 2， 即（ 2， 1）或（ 2， 1） 故答案为：（ 2， 1）或（ 2， 1） 【点评】 此题主要考查了位似 图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 k 得出是解题关键 13在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，它们的标号分别为 1， 2， 3， 4，一人从中随机摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和大于 4 的概率是 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于 4 的情况，再利用概率公式 即可求得答案 【解答】 解：画树状图得： 第 15 页（共 32 页） 共有 16 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于 4 的有 10 种情况， 两次摸出的小球的标号之和大于 4 的概率是： = 【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 14如图，在扇形 ， 0，半径 ，将扇形 过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在弧 点 D 处，折痕交 点 C，整个阴影部分的面积 9 12 【考点】 翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算 【分析】 首先连接 折叠的性质，可得 O， O， 可得 等边三角形，继而求得 长，即可求得 面积，又在扇形 ， 0，半径 ，即可求得扇形 面积，继而求得阴影部分 面积 【解答】 解：连接 根据折叠的性质， O， O， D= 即 等边三角形， 0， 0， 0， B =2 ， S C= 62 =6 ， S 扇形 62=9， 整个阴影部分的面积为： S 扇形 S S 6 6 =9 12 第 16 页（共 32 页） 故答案为： 9 12 【点评】 此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法 15如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 上的一个动点，把 叠，当点 D 的对应点刚好 D 落在矩形 对称轴上时，则 长为 或 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 过点 D作 点 N， 点 M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角 ，利用勾股定理可得出关于 度的一元二次方程，解方程即可得出结论 【解答】 解：过点 D作 点 N， 点 M，如图 1 所示 设 DE=a，则 DE=a 矩形 两条对称轴， 分两种情况考虑： 当 M 时， M= ， D=5， 第 17 页（共 32 页） 由勾股定理可知： =3， 2， M a， =D2，即 4 a） 2+4， 解得： a= ； 当 ， ， 由勾股定理可知： = ， M N a， =D2，即 ， 解得： a= 综上知： 或 故答案为： 或 【点评】 本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于度的一元二次方程本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 75分） 16先化简： （ ），再从 2 x 3 的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值 【考点】 分式的化简求值 【专题】 计算题 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的 减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 第 18 页（共 32 页） 【解答】 解：原式 = = = ， 当 x=2 时，原式 =4 【点评】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17如图，在 ， 0，以 直径的 O 与 交于点 D，过点 D 作 O 的切线，交 点 E （ 1）求证： C； （ 2）若以点 O、 D、 E、 C 为顶点的四边形是正方形，试判断 形状，并说明理由 【考点】 切线的性质；正方形的性质；圆周角定理 【专题】 证明题 【分析】 （ 1）连接 O 的切线得出 0，由 O 的切线，得出 C， 0，故可得出 此可得出结论 （ 2）当以点 O、 D、 E、 C 为顶点的四边形是正方形时，则 等腰直角三角形，据此即可判断 【解答】 （ 1）证明：连接 直径， 0， O 的切线， 0 又 O 的切线， C， 0， 0， D， 又 0， 第 19 页（共 32 页） B， C （ 2）解：当以点 O、 D、 E、 C 为顶点的四边形是正方形时，则 0， 又 B， 等腰直角三角形，则 B=45， 等腰直角三角形 【点评】 本题考查了切线的性质以及切线长定理、圆周角定理，解题的关键是连接 垂直，构造出等腰三角形，利用 “等角的余角相等解答 18遵义市某中学为了搞好 “创建全国文明城市 ”的宣传活动，对本校部分学生（随机抽查）进行了一次相关知识了解程度的调查测试（成绩分为 A、 B、 C、 D、 E 五个组， x 表示测试成绩）通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信 息解答以下问题： （ 1）参加调查测试的学生为 400 人； （ 2）将条形统计图补充完整； （ 3）本次调查测试成绩中的中位数落在 C 组内； （ 4）若测试成绩在 80 分以上（含 80 分）为优秀，该中学共有学生 2600 人，请你根据样本数据估计全校学生测试成绩为优秀的总人数 第 20 页（共 32 页） 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数 【分析】 （ 1）根据 A 类人数是 40，所占的百分比是 10%，据此即可求得总人数； （ 2）根据百分比的定义求得 B 和 E 类的人数，从而完成 条形统计图； （ 3）利用中位数的定义，就是大小处于中间位置的数即可作判断 （ 4）利用总人数乘以对应的百分比即可求解 【解答】 解：（ 1）参加调查测试的学生总数是： 4010%=400（人），故答案是： 400； （ 2） B 组的人数是： 40035%=140（人）， 则 E 组的人数是： 400 40 140 120 80=20（人） ； （ 3）中位数落在 C 组 故答案是： C； （ 4）全校学生测试成绩为优秀的总人数是： 2600（ 10%+35%） =1170（人 ） 【点评】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 19如图，一电线杆 在山坡上，从地面的点 A 看，测得杆顶端点 A 的仰角为 45，向前走 6，又测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别为 60和 30， （ 1）求 度数； （ 2）求该电线杆 高度（结果精确到 1m） 第 21 页（共 32 页） 【考点】 解 直角三角形的应用 【分析】 （ 1）作 延长线于 H，根据三角形的外角的性质计算； （ 2）设 PQ=据正、余弦的定义表示出 据等腰直角三角形的性质列式计算即可 【解答】 解：（ 1）作 延长线于 H， 由题意得， 0， 0， 0， 0， 0； （ 2）设 PQ= Q= 0， x， x， A=45， 6+ x=x x， 解得 x=2 +69 答：该电线杆 高度约为 9m 【点评】 本题考查的是解直角三角 形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 第 22 页（共 32 页） 20如图，反比例函数 y= （ k0， x 0）的图象与直线 y=4x 相交于点 C，过直线上点 A（ 2， 8）作 直于 x 轴于点 B，交反比例函数图象于点 D，且 （ 1）求 k 的值； （ 2）求点 C 的坐标； （ 3）在 y 轴上是否存在一点 P，使点 P 到 C、 D 两点距离之和 D 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 反比例函数综合题 【分析】 （ 1）根据 A 坐标，以及 出 D 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值； （ 2）直线 y=3x 与反比例解析式联立方程组即可求出点 C 坐标； （ 3）作 C 关于 y 轴的对称点 C，连接 CD 交 y 轴于 P，则 P 点即为所求，利用待定系数法求出直线 CD 的解析式，进而可得出 P 点坐标 【解答】 解：（ 1） A（ 2， 8）， ， ， ， D（ 2， 2） 将 D 坐标代入反比例解析式得： k=4； （ 2） 由（ 1）知， k=4， 反比例函数的解析 式为 y= ， ，解得 x=1 x 0， 第 23 页（共 32 页） x=1， C（ 1， 4）； （ 3）作 C 关于 y 轴的对称点 C，连接 CD 交 y 轴于 P，则 P 点即为所求， C（ 1， 4）， C（ 1， 4） 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（ k0）， D（ 2， 2）， ，解得 ， 直线 CD 的解析式为 y= x+ ， P（ 0， ） 【点评】 此题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 21某商场同时购进甲、乙两种商品共 200 件，其进价和售价如下表， 商品名称 甲 乙 进价（ 元 /件） 80 100 售价（元 /件） 160 240 设其中甲种商品购进 x 件 （ 1）若该商场购进这 200 件商品恰好用去 17900 元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ （ 2）若设该商场售完这 200 件商品的总利润为 y 元 第 24 页（共 32 页） 求 y 与 x 的函数关系式； 该商品计划最多投入 18000 元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （ 3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 a 元（ 50 a 70）出售，且限定商场最多购进 120 件，若商场保持同种商品的售价不变，请 你根据以上信息及（ 2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案 【考点】 一次函数的应用 【分析】 （ 1）甲种商品购进 x 件，乙种商品购进了 200 x 件，由总价 =甲的单价 购进甲种商品的数量 +乙的单价 购进乙种商品的数量，可得出关于 x 的一元一次方程，解出方程即可得出结论； （ 2） 根据利润 =甲商品的单件利润 数量 +乙商品的单件利润 数量，即可得出 y 关于 x 的函数解析式； 根据总价 =甲的单价 购进甲种商品的数量 +乙的单价 购进乙种商品的数量，列出关于 x 的一元一次不等式，解不等式即可得出 x 的取值范围，再根据 y 关于 x 函数的单调性即可解决最值问题； （ 3）根据利润 =甲商品的单件利润 数量 +乙商品的单件利润 数量，可得出 y 关于 x 的函数解析式，分 x 的系数大于 0、小于 0 以及等于 0 三种情况考虑即可得出结论 【解答】 解：（ 1）甲种商品购进 x 件，乙种商品购进了 200 x 件， 由已知得： 80x+100（ 200 x） =17900， 解得： x=105， 200 x=200 105=95（件） 答：购进甲种商品 105 件，乙种商品 95 件 （ 2） 由已知可得： y=（ 160 80） x+（ 240 100）（ 200 x） = 60x+28000（ 0x200） 由已知得： 80x+100（ 200 x） 18000， 解得： x100， y= 60x+28000，在 x 取值范围内单调递减， 当 x=100 时， y 有最大值，最大值为 60100+28000=22000 故该商场获得的最大利润为 22000 元 （ 3） y=（ 160 80+a） x+（ 240 100）（ 200 x）， 即 y=（ a 60） x+28000，其中 100x120 当 50 a 60 时， a 60 0， y 随 x 的增大而减小， 当 x=100 时， y 有最大值， 第 25 页（共 32 页） 即商场应购进甲 、乙两种商品各 100 件，获利最大 当 a=60 时， a 60=0， y=28000， 即商场应购进甲种商品的数量满足 100x120 的整数件时，获利都一样 当 60 x 70 时， a 60 0， y 岁 x 的增大而增大， 当 x=120 时， y 有最大值， 即商场应购进甲种商品 120 件，乙种商品 80 件获利最大 【点评】 本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（ 1）根据数量关系列出关于 x 的一元一次方程；（ 2）根据数量关系找出 y 关于 x 的函数关系式；（ 3）根据一次函数的系数分类 讨论本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心 22【提出问题】 （ 1）如图 1，在等边 ，点 M 是 的任意一点（不含端点 B、 C），连结 结 证： 【类比探究】 （ 2）如图 2，在等边 ，点 M 是 长线上的任意一点（不含端点 C），其它条件不变，（ 1）中结论 成立吗？请说明理由 【拓展延伸】 （ 3）如图 3，在等腰 ， C，点 M 是 的任意一点（不含端点 B、 C），连结 边作等腰 顶角 结 探究 数量关系，并说明理由 【考点】 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】 （ 1）利用 证明 而得出结论； （ 2）也可以通过证明 出结论，和（ 1）的思路完全一样 第 26 页（共 32 页） （ 3）首先得出 而判定 到 = ，根据 到 而判定 出结论 【解答】 （ 1）证明： 等边三角形， C， N， 0， 在 ， （ 2）解：结论 成立 ； 理由如下： 等边三角形， C， N， 0， 在 ， （ 3）解： 理由如下： C， N，顶角 底角 = ， 又 第 27 页（共 32 页） 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论 23如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（ 3， 0）， B（ 1， 0），与 y 轴交于点 C若点 P， Q 同时从 A 点出发，都以 每秒 1 个单位长度的速度分别沿 运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动 （ 1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标； （ 2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以 A， E， Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）当 P， Q 运动到 t 秒时， 折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定此时四边形 形状，并求出 D 点坐标 【考点】 二次函数综合题 【专题】 代 数几何综合题；压轴题 【分析】 （ 1）将 A， B 点坐标代入函数 y= x2+bx+c 中，求得 b、 c，进而可求解析式及 C 坐标 （ 2）等腰三角形有三种情况， Q， Q， Q借助垂直平分线，画圆易得 E 大致位置，设边长为 x，表示其他边后利用勾股定理易得 E 坐标 （ 3）注意到 P， Q 运动速度相同，则