4-1 （二次根式、数的开方）实数基本概念及化简题库教师版

4数 基本概念及化简 题库教师版 3 内容 基本要求 略高要求 较高要求 平方根、算术平方根 了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根 立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方根运算求某些数的立方根 实数 了解实数的概念 会进行简单的实数运算 二次根式及其性质 了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件 会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值 板块一 平方根、立方根、实数 实数可按下图进行详细分类： 0 正 整 数整 数负 整 数有 理 数 有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数正 分 数实 数分 数负 分 数正 无 理 数无 理 数 无 限 不 循 环 小 数负 无 理 数实数与数轴上的点一一对应 . (以下概念均在实数域范围内讨论 ) 平方根的定义及表示方法： 如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根 也就是说，若 2，则 x 就叫做 a 的平方根 一个非负数 a 的平方根可用符号表示为 “ a ” 算术平方根： 一个正数 a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做 a 的算术平方根，可用符号表示为 “ a ”； 0有一个平方根，就是 0 ， 0 的算术平方根也是 0 ，负数没有平方根，当然也没有算术平方根 .（负数的平方根中考要求 例题精讲 实数 基本概念及化简 4数 基本概念及化简 题库教师版 3 在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究） 一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若 0a ，则 0a . 平方根的计算： 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根 通过验算我们可以知道： 当被开方数扩大 (或缩小 ) 2n 倍，它的算术平方根相应地扩大 (或缩小 )n 倍 ( 0n ) 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系： 若 0a ，则 2()； 不管 a 为何值，总有2 ( 0 )| ( 0 ) 注意二者之间的区别及联系 若一个非负数 a 介于另外两个非负数1a、2120 a a a 时，它的算术平方根也介于1a、2：120 a a a 利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围 立方根的定义及表示方法： 如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根 ，也就是说，若 3 ,则 x 就叫做 a 的立方根， 一个数 a 的立方根可用符号表 “3a ”，其中 “3 ”叫做根指数，不能省略 . 前面学习的 “ a ”其实省略了根指数 “2 ”，即： 2a 也可以表示为 a . 3a 读作 “三次根号 a ”， 2a 读作 “二次根号 a ”， a 读作 “根号 a ”. 任何一个数都有立方根，且只有一个立方根， 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 0 的立方根为 0 . 立方根的计算： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根 通过归纳我们可以知道： 当被开方数 (大于 0)扩大 (或缩小 ) 3n 倍，它的立方根相应地扩大 (或缩小 )n 倍 3 3， 33() 若一个数 a 介于另外两个数1a、212a a a， 它的立方根也介于 312 33312a a a利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围 一、实数的概念 【例 1】 在实数 0 1 2 0 3 5， ， ， 中无理数的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 实数及其分类 【难度】 1 星 【题型】 选择 【关键词】 2009 年，义乌市中考试题 【解析】 略 4数 基本概念及化简 题库教师版 3 【答案】 B 【例 2】 22 2 9 3 . 1 4 0 . 6 1 4 1 4 0 . 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 17 L， ， ， ， ， ，这 7 个实数中，无理数的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 实数及其分类 【难度】 2 星 【题型】选择 【关键词】 1983 年，河北省初中数学竞赛试题 【解析】 2 0 . 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 L， ， 是无理数。 【答案】 D 【例 3】 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入 x 为 64 时，输出的 y 是（ ） 是无理数 输出 8 B 22 C 23 D 32 【考点】 实数及其分类 【难度】 2 星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 略 【答案】 B 【例 4】 证明 2 是无理数。 【考点】 简单数论 【难度】 5 星 【题型】解答 【关键词】竞赛，反证法 【解析】略 【答案】用反证法。假设 2 不是无理数，则 2 是有理数，设 2 是互质的正整数） 两边同时平方后，整理得 222，所以 p 一定是偶数。 设 2（ m 是自然数），代入上式得 2 2 2 24 2 2m q q m， 。 所以 q 是也是偶数， p 与 q 均为偶数和 互质矛盾， 所以 2 不是有理数，于是 2 是无理数。 4数 基本概念及化简 题库教师版 3 【例 5】 说明 边长为 1 的正方形的对角线的长度为 2 。 【解析】如图 1，四边形 边长为 1 的正方形，它的面积为 1， 的面积为 12将 4 个与 一样大的三角形拼成一个正方形 它的面积是 2，所以它的边长 2, 也就是说正方形 对角线长度为 2 。 A【例 6】 下面有四个命题： 有理数与无理数之和是无理数 有理数与无理数之积是无理数 无理数与无理数之和是无理数 无理数与无理数之积是无理数 请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。 【考点】 简单数论 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】设 是有理数， ， 是无理数 若 ，则 ，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的， 故 a 是无理数。 正确。 当 0a 时， 0a 是有理数， 不正确 当 22 ， 时， 0是有理数，故 不正确 当 2 时， 2 是有理数，故 不正确 【答案】 正确； 不正确； 不正确； 不正确 【例 7】 已知在等式 ax b d 中， a b c d， ， ， 为有理数， x 是无理数。 （ 1）当 a b c d， ， ， 满足什么条件是， s 是有理数？ （ 2）当 a b c d， ， ， 满足什么条件是， s 是无理数？ 4数 基本概念及化简 题库教师版 3 【考点】 简单数论 【难度】 5 星 【题型】 解答 【关键词】 竞赛 【解析】显然有 0cx d ，于是有 c x d s a x b ，且 不能同时为 0。 （ 1）将上式整理得 a c s x d s b 。 当 s 是有理数时，应有 0a ，否则有 ds ，此式左边是无理数，右边是有理数，不能成立。 于是有 0a 从而 0ds b 若 0c ，则 0a ，此时应有 0d ， 有理数 若 0c ，则由 得 代入 ，得 0ad ，即 ad ，此时 有理数 （ 2）当 s 是有理数时，若 0c ，则 0a ，故若 0c ，且 00， 时， s 是无理数； 若 0c ，则 ad ，若 0c ，且 ad 时， s 是无理数。 当 0c ，且 0a ， 0d 时，或 0c ，且 ad 时， s 是无理数 【答案】（ 1）若 0c ，则 0a ，此时应有 0d ， 有理数 若 0c ，则由 得 代入 ，得 0ad ，即 ad ，此时 有理数 （ 2）当 0c ，且 0a ， 0d 时，或 0c ，且 ad 时， s 是无理数 【例 8】 若 是不等于 1 的有理数，求证： 【考点】 简单数论 【难度】 5 星 【题型】 解答 【关键词】竞赛 【解析】 略 【答案】 因为 是不等于 1 的有理数，所以可设 a b qa b p （ 为整数， 00， ）， 所以 a b p a b q ， p q b q p a ， 故 a p qb q p 。因为 p q q p， 均为整数，且 ， 所以 【例 9】 已知 是两个任意有理数，且 ，问是否存在无理 数 ，使得 成立？ 【考点】 简单数论 【难度】 5 星 4数 基本概念及化简 题库教师版 3 【题型】解答 【关键词】竞赛 【解析】 2 1 0 ， ， 2 1 2 1 ，即 2 2 1a b a 又 22a b b b b ， 22a b b b ，即 2 1 2b a b 由 、 有 2 2 1 2a b a b ，所以 212， 取 21 22 2222ba b a b ， 2，是有理数，且 02，所以 22是无理数。 即存在无理数 ，使得 。 二、 数的开方 【例 10】 | 9| 的平方根是（ ） A 81 B 3 C 3 D 3 【考点】数的开方 【难度】 2 星 【题型】选择 【关键词】 2009 年，湖北省荆门市中考试题 【解析】略 【答案】 B 【例 11】 下列命题中，真命题是（ ） A 22001 的平方根是 2001 B 49 的平方根是 7 C 64 8 D若 22，则 22 【考点】数的开方 【难度】 2 星 【题型】选择 【关键词】 1995 年，浙江省 温州市中考试题 【解析】 D 【例 12】 16 的平方根是 ； 2( 的平方根是 ； 2( 2) 的平方根是 . 4数 基本概念及化简 题库教师版 3 【考点】数的开方 【难度】 1 星 【题型】判断 【关键词】 安顺市中考试题 【解析】 略 【答案】 2 【例 13】 若 42 9，则 A 的算术平方根是 _。 【考点】数的开方 【难度】 2 星 【题型】填空 【关键词】 2007 年，肇庆市八年级数学竞赛初赛试题 【解析】 2 9a 【答案】 2 9a 【例 14】 判断下列各题，并说明理由 81 的平方根是 9 ( ) a 一定是正数 ( ) 2a 的算术平方根是 a ( ) 若 2( ) 5a，则 5a . ( ) 93 . ( ) 6 是 2( 6) 的平方根 ( ) 2( 6) 的平方根是 6 ( ) 若 2 36x ，则 36 6x . ( ) 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等 ( ) 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等 ( ) 算术平方根一定是正数 ( ) 2a 没有算术平方根 ( ) 64 的立方根是 4 ( ) 12是 16的立方根 ( ) 3 3 ( ) 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 ( ) 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根 ( ) 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】判断 【关键词】 【解析】略 【答案】 、 、 、 、 、 正确 4数 基本概念及化简 题库教师版 3 【例 15】 设 a 是 整数，则使 1989a 为最小正有理数的 a 的值是 _。 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】选择 【关键词】 1989 年，第 3 届中华少年杯初二数学邀请赛 【解析】因为 21 9 8 9 3 1 3 1 7 ，故应取 13 17 221a 。 【答案】 221 【例 16】 已知： 20n 是整数，则满足条件的最小正整数 n 为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】判断 【关键词】江西省中考 试题 【解析】 略 【答案】 D. 【例 17】 若 22( 2)a ，则 a ； 若 22( ) ( 3)x ，则 x . 【考点】数的开方 【难度】 2 星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略 【答案】 2 ； 3 . 【例 18】 若 22x ，则 (2 5)x 的平方根是 ；若 2 5x ，则 x . 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略 【答案】 3 ； 5 . 【例 19】 方程 12x 的根是 . 【考点】数的开方 【难度】 1 星 【题型】判断 4数 基本概念及化简 题库教师版 3 【关键词】上海市中考试题 【解析】 略 【答案】 3x . 【例 20】 已知某正数的两个平方根是 35a 与 1a ，求这个正数 【考点】数的开 方 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】由已知可得： ( 3 5 ) ( 1) 0 ，则 1a ，所以这个正数为 2( 1) 4a . 【答案】 4 【例 21】 若一正数的平方根是 36a 与 29a ，求这个正数 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 正数的平方根互为相反数，所以 ( 3 6 ) ( 2 9 ) 0 ， 3a ，这个正数是 2(2 9) 9a . 【答案】 9 【例 22】 一个数的平方根是 22和 4 6 13 ，求这个数 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】根据题意可得： 22( ) ( 4 6 1 3 ) 0a b a b 所以 2 2 2 24 4 6 9 ( 2 ) ( 3 ) 0a a b b a b ，则 2a ， 3b 这个数为 2 2 2 2( ) 1 3 1 6 9 【答案】 169 【例 23】 已知 为两个连续整数，且 7，则 _。 【考点】数的开方 【难度】 2 星 【题型】填空 【关键词】 2008 年，长沙市中考试题 【解析】由已 知得 23， ， 5 【答案】 5 【例 24】 已知数 14 的小数部分是 b ，求 4 3 21 2 3 7 6 2 0b b b b 【考点】数的开方 【难度】 4 星 4数 基本概念及化简 题库教师版 0 3 【题型】解答 【关键词】 【解析】因为 9 14 16，即 3 14 4，所以 14 的整数部分是 3。 设 14 3 b ，两边同时平方得 214 9 6 ， 所以 2 65。故 4 3 21 2 3 7 6 2 0b b b b 4 3 2 22 6 3 6 6 2 0b b b b b 2226 6 2 0b b b b 25 5 20 10 【答案】 10 【例 25】 当 0m ， 2m 的算术平方根是 . 【考点】数的开方 【难度】 1 星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略 【答案】 m . 【例 26】 2()算术平方根是 ，则 a b . 【考点】数的开方 【难度】 2 星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略 【答案】 . 【例 27】 若一个自然数的一个平方根是 m ，那么比它大 1 的自然数的平方根是 . 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略 【答案】 2 1m. 【例 28】 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 . 【考点】数的开方 【难度】 3 星 4数 基本概念及化简 题库教师版 1 3 【题型】填空 【关键词】 【解析】略 【答案 】 0 ； 0 和 1 ； 0 和 1 ； 0 . 【例 29】 8 的立方根是（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 【考点】数的开方 【难度】 1 星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】 A 【例 30】 3 27 的绝对值是（ ） A 3 B 3 C 13D 13【考点】数的开方 【难度】 1 星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】 A 【例 31】 38 的相反数是 ； 64 的立方根是 . 【考点】数的开方 【难度】 1 星 【题型】判断 【关键词】威海 市 中考 试题 【解析】 略 【答案】 2 ； 2 【例 32】 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 . 【考点】数的开方 【难度】 1 星 【题型】判断 【关键词】 4数 基本概念及化简 题库教师版 2 3 【解析】 略 【答案】 0 ； 0 和 1 ； 0 和 1 ； 0 . 【例 33】 若 3 1 5 8 4 8 1 ，则 3 1815848 _. 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】判断 【关键词】 【解析】 略 【答案】 122 . 【例 34】 3332 1 6 0 0 0 1 0 . 1 2 5 【考点】数的开方 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】原式 6 0 1 0 8 . 【答案】 【例 35】 若 22( 3)x ， 33( 2)y ，求 所有可能值 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 由题意可知 3x ， 2y ，所以 3 2 1 或 3 2 5 . 【答案】 1 或 5 【例 36】 求 x 的值 21 (5 1) 3 03 x ； 【考点】数的开方 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 2(5 1) 9x ， 5 1 3x ，1 25x ，2 45x ； 【答案】1 25x ，2 45x ； 4数 基本概念及化简 题库教师版 3 3 【例 37】 求 x 的值 3(1 0 0 . 2 ) 0 . 0 2 7x 【考点】数的开方 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 33( 1 0 0 . 2 ) 0 . 0 2 7 ( 0 . 3 )x ， 10 ， ； 【答案】 【例 38】 331 2 5 7 3 5 1116 4 1 6 8 ； 【考点】数的开方 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】原式 5 3 7 3442 ； 【答案】 3； 【例 39】 已知 3(2 ) 27 ， 2 3 5，求 21(3 ) 的值 (n 为正整数 ). 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 根据题意可得： 232 3 25 ，解得 27， 31 ， 21(3 ) 1 【答案】 1 【例 40】 已知 2a 的平方根是 2 ， 27 的立方根是 3 ，求 22的平方根 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 101 中学实验班单元练习 【解析】 2a 的平方根是 2 ， 27 的立方 根是 3 ， 24a ，即 6a 22 7 3 2 7 ，即得 8b ， 2 2 2 26 8 1 0 0 ， 22的平方根是 10 【答案】 10 【例 41】 已知 的负的平方根是 3 ， 的立方根是 3 ，求 25的平方根 . 4数 基本概念及化简 题库教师版 4 3 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 101 中学实验班单元练习 【解析】根据题意可得： 927，解得 189， 2 5 81，其平方根为 9 . 【答案】 9 【例 42】 已知 3 ， 2( 0y )，且 2(4 ) 8( 4)， 33 ( ) 18，求 值 . 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 2(4 ) 8， 48 ， 4， 48； 又 33 ( ) 18， 18 ，解得 2a ， 16b ， 进而可得 8x ， 4y ， 32. 【答案】 32 【例 43】 243是 3a 的算术平方根， 32 3是 3b 的立方根，求 的立方根 . 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】根据题意可得： 2 4 23 2 3 ，解得 14， 2x ， 1y ， 3 1 . 【答案】 1 【例 44】 若 3 21y 和 313x 互为相反数，求 【考点】数的开方 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 若 3 3 0，则 0 2 1 1 3 0 ， 23， 23 【答案】 23【例 45】 求 2 2 2 21 9 9 5 1 9 9 5 1 9 9 6 1 9 9 6 的平方根 . 【考点】数的开方 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】换元法 4数 基本概念及化简 题库教师版 5 3 【解析】 设 1995x ，则 2 2 2 21 9 9 5 1 9 9 5 1 9 9 6 1 9 9 6 2 2 2 2( 1 ) ( 1 )x x x x 2 2 2 22 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 )x x x x x x x x 22( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 )x x x x x x 21 2 ( 1 ) ( 1 )x x x x 22 2( 1 ) 1 1 9 9 5 ( 1 9 9 5 1 ) 1 ( 3 9 8 2 0 2 1 ) 2 2 2 21 9 9 5 1 9 9 5 1 9 9 6 1 9 9 6 的平方根是 3982021 【答案】 3982021 【例 46】 设 3320082006 20082008 20082007 20082005a ，求 3a 【考点】数的开方 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】换元法 【解析】 设 20082006m ，则 3 3 3 2 3 3 3( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) 8 1 2 6 1 ( 2 1 ) ( 2 2 0 0 8 2 0 0 6 1 ) 4 0 1 6 4 0 1 3a m m m m m m m m 【答案】 40164013 【例 47】 若 a ， b ， c 为两两不等的有理数，求证：2 2 21 1 1( ) ( ) ( )a b b c c a 为有理数 . 【考点】分式恒等 证明 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】换元法 【解析】 原式2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c b c c a a b c a 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c b c c a a b c a 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )a b b c c a 22 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c c a a b b c c a 即2 2 21 1 1( ) ( ) ( )a b b c c a 为有理数 【例 48】 （ 1995 年第 6 届希望杯全国数学邀请赛试题）设 x 表示不大于 x 的最大整数，如 3 ，则1 2 3 1 0 0 _ _ _ _ _ _ L。 【考点】数的开方 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】估算 【解析】 1 2 3 1 4数 基本概念及化简 题库教师版 6 3 4 5 6 7 8 2 9 1 0 1 1 1 5 3 L 1 6 1 7 2 4 4 L 8 1 8 2 9 9 9 L 100 10。 原式 1 3 2 5 3 7 4 9 5 1 1 6 1 3 7 1 5 8 1 7 9 1 9 1 0 6 2 5 【答案】 625 板块二 二次根式 二次根式的概念： 形如 a （ 0a ）的式子叫做二次根式 二次根式的基本性质： 0a （ 0a ）双重非负性； 2()（ 0a ）； 2 ( 0 ) ( 0 ) 【例 49】 x 取何值时，下列各式有意义： 2x 12 x 23 2 1 3 11 x x 【考点】二次根式的概念 【难度】 2 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 此题的关键有两点： 被开方数大于或等于 0 ； 分母不等于 0 0x ； 2x 且 2x ，即 2x ； 2x 且 3x ； 1 32 x ； 0x 且 1x ； x 取任意数 【答案】 被开方数大于或等于 0 ； 分母不等于 0 0x ； 2x 且 2x ，即 2x ； 2x 且 3x ； 1 32 x ； 0x 且 1x ； x 取任意数 【例 50】 x 取何值时，下列各式有意义？ 36x ； 25； 112x 【考点】二次根式的概念 【难度】 2 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 当 3 6 0x 即 12x时， 36x 有意义 4数 基本概念及化简 题库教师版 7 3 当 2050 ，时， 25有意义解得： 2x 且 5x 当 10x 且当 1 2 0x 时， 112x 有意义 1x 且 12x 即 1x 且 3x 【答案】 当 3 6 0x 即 12x时， 36x 有意义 当 2x 且 5x 1x 且 3x 【例 51】 当 a _时，二次根式 3x 在实数范围内有意义。 【考点】 二次根式的概念 【难度】 1 星 【题型】 填空 【关键词】 【解析】略 【答案】 3x 【例 52】 当 a _时， 11 在实数范围内有意义 【考点】 二次根式的概念 【难度】 2 星 【题型】 填空 【关键词】 【解析】略 【答案】 1 【例 53】 当 x 满足 _时， 2 5 3 2 在实数范围内有意义。 【考点】 二次根式的概念 【难度】 2 星 【题型】 填空 【关键词】 【解析】 略 【答案】 5322x 【例 54】 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A a B 2a C 2a D 3a 【考点】 二次根式的概念 【难度】 2 星 【题型】 选择 【关键词】 【解析】略 4数 基本概念及化简 题库教师版 8 3 【答案】 B 【例 55】 若代数式 2 1 3 1 2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A 12xB 12xC 12xD x 可取一切值 【考点】 二次根式的概念 【难度】 2 星 【题型】 选择 【关键词】 【解析】略 【答案】 C 【例 56】 式子 32意义，则 x 的取值范围是（ ） A 3x 且 0x B 3x 且 0x C 0x D 3x 【考点】 二次根式的概念 【难度】 2 星 【题型】 选择 【关键词】 2009 年，青海省，中考试题 【解析】略 【答案】 A 【例 57】 x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义 ? （ 1） 3x （ 2） 16x（ 3） 211（ 4） 25 （ 5） 23x【考点】 二次根式的概念 【难度】 2 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】略 【答案】 （ 1） 3x ；（ 2） 6x ；（ 3） 12x 且 1x ；（ 4） 25x ；（ 5） 0x 且 9x 【例 58】 下列哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ （ 1） 33 （ 2） 2 2x （ 3） 50 【考点】 二次根式的概念 【难度】 2 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】略 【答案】 （ 1）是；（ 2）不是；（ 3）是 4数 基本概念及化简 题库教师版 9 3 【例 59】 当 x 取何值时，式子2实数范围内有意义 【考点】二次根式的概念 【难度】 1 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】利用分式 0条件 00 或 ，把此题转化为解两个不等式组的问题 由 02得 020 或 020 解得 0x 或 2x 当 0x 或 2x 时，原式在实数范围内由意义 点评：记住 0条件为 00 或 00 ， 0的条件为 00 或 00 【答案】当 0x 或 2x 【例 60】 当 x 时，22 23有意义 【考点】二次根式的概念 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】通过观察可以发现 22 2 3 1 2x x x 一定是一个正数，这样就将原式有意义的条件2 2 023且 2 2 3 0 转化为 20x ，解不等式得 2x 点评：判定 2 23是正数是关键，同理， 22 2 3 1 2x x x 是负数 【例 61】 设 3 1221x ，求使 y 有意义的 x 的取值范围 . 【考点】 二次根式的概念 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 202 1 0，即 1 22 x . 【答案】 1 22 x 【答案】 2x 【例 62】 观察下列各式： 1 1 1 1 1 11 2 ; 2 3 ; 3 43 3 4 4 5 5 ，请你将猜想的规律用含有自然数 1的等式表示出来： _。 4数 基本概念及化简 题库教师版 0 3 【考点】 规律探索 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 略 【答案】 11122 【例 63】 求代数式 12x x x 的最小值 . 【考点】 二次根式的概念 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】第 12 届，希望杯邀请赛 【解析】根据题意可得： 01020 ，即 2x ，当 2x 时， 12x x x 有最小值 12 . 【答案】 12 【例 64】 已知 a 为实数，且满足 2 0 0 2 0 1a a a ，求 2200a 的值 . 【考点】 二次根式的概念 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】人大附单元测试 【解析】由题意 可知 201a ，所以原式可变形为 2 0 0 2 0 1a a a ， 所以 201 200a ， 2201 200a ，即 2200 201a 【答案】 201 【例 65】 已知： 4 3 2 2 2 3 2b a a ，求 11平方根 . 【考点】 二次根式的概念 【难度】 4 星 【题型】解答 【关