宁夏吴忠市2016届高考数学模拟试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 25 页） 2016 年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1设复数 z 满足 ，则 =（ ） A 2+i B 2 i C 2+i D 2 i 2集合 A=x| 1x2， B=x|x 1，则 A（ =（ ） A x|x 1 B x|x1 C x|1 x2 D x|1x2 3 “x 1”是 “1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4在等差数列 ，已知 a3+0，则 3a5+ ） A 10 B 18 C 20 D 28 5（ 1+ ）（ 1 x） 4 的展开式中含 ） A 2 B 2 C 3 D 3 6如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 34 B 16 C 48 D 24 7已知实数 x， y 满足 ，则目标函数 z=x+y 的最小值为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 8函数 f（ x） =x+）（其中 A 0， 0， | ）的图象如图所示，为了得到 y=只要将 f（ x）的图象（ ） 第 2 页（共 25 页） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 9执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 21，则判断框中应填（ ） A i 5 B i 6 C i 7 D i 8 10已知正三棱锥 P P、 A、 B、 C 都在半径为 的球面上，若 两互相垂直，则球心到截面 距离为（ ） A B C D 11如图，把圆周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上，顶点 A（ 0， 1），一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周，记 =x，直线 x 轴交于点 N（ t， 0），则函数 t=f（ x）的图象大致为（ ） A B C D 第 3 页（共 25 页） 12定义域 R 的奇函数 f（ x），当 x（ ， 0）时 f（ x） + x） 0 恒成立，若 a=3f（ 3）， b=f（ 1）， c= 2f（ 2），则（ ） A a c b B c b a C c a b D a b c 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13设函数 f（ x） = ，若 f（ f（ 1） =2，则 a 的值为 14已知向量 ， 夹角为 45，且 | |=1， |2 |= ，则 | |= 15已知等比数列 ， a3+， ，则 = 16已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 点 直线与双曲线 C 的右支相交于 P、 Q 两点，且点 P 的横坐标为 2，则 周长为 三、解答题：解答应洗出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，内角 A， B， C 的对应边分别为 a， b， c，已知 b= 1）求 A+B 的值； （ 2）若 c= ，求 积的最大值 18第十七届亚运会于 2014 年 9 月 19 日至 10 月 4 日在韩国仁川举行为了搞好接待工作，组委会在首尔大学某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者从事礼宾接待和语言翻译工作，将这 30 名志愿者的身高（单位： 成茎叶图（如图所示）： 组委会安排决定：身高 175上（包含 175志愿者从事礼宾接待，身高在 175下的志愿者从事语言翻译 （ ）如果从分层抽样的方法从从事礼宾接待的志愿者和从事语言翻译的志愿者中抽取 5 人，再从这 5 人中随机选 2 人，那么至少有一人是从事礼宾接待的志愿者的概率是多少？ 第 4 页（共 25 页） （ ）若从所有从事礼宾接待的志愿者中随机选 3 名志愿者，用 表示从事礼宾接待的志愿者中女志愿者的人数，试写出 的分布列，并求出 的数学期望 19如图，三棱柱 平面 C=2， ， D 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 B 的余弦值 20已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好在抛物线 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）点 P（ 2， ）， Q（ 2， ）在椭圆上， A， B 是椭圆上位于直线 侧的动点当 A，B 运动时，满足 问直线 斜率是否为定值，请说明理由 21设函数 f（ x） =x2+ （ ） 若 x=2 是函数 f（ x）的极值点， 1 是函数 f（ x）的一个零点，求函数 f（ x）的解析式； （ ） 若对任意 b 2， 1，都存在 x（ 1， e）（ e 为自然对数的底数），使得 f（ x） 0 成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答 ，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，已知圆 O 上的弦 D，过点 C 作圆 O 的切线与 延长线相交于点 E （ 1）求证： （ 2）若 ， ，求 长 第 5 页（共 25 页） 选修 4标系与参数方程 23已知在平面直角坐标系 ，点 P（ x， y）在曲线 C： 为参数， R）上运动以 极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （ ）写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直角坐标方程； （ ）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，点 M 在曲线 C 上移动，试求 积的最大值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x 4|+|x a|（ a 4） （ 1）若 f（ x）的最小值为 3，求 a 的值； （ 2）当 a=1 时，若 g（ x） = 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2016 年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题 解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1设复数 z 满足 ，则 =（ ） A 2+i B 2 i C 2+i D 2 i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 先设出复数的代数形式，再由题意求出复数 z，根据共轭复数的定义求出即可 【解答】 解：设 z=a+a、 bR），由题意知， ， 1+2i=b，则 a=2， b= 1， z=2 i， =2+i， 故选 C 【点评】 本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位 i 的幂运算性质，共轭复数的概念，难度不大，属于基础题 2集合 A=x| 1x2， B=x|x 1，则 A（ =（ ） A x|x 1 B x|x1 C x|1 x2 D x|1x2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题；集合 思想；定义法；集合 【分析】 由集合 B，求出集合 B 的补集，然后求出集合 A 和集合 B 补集的交集即可 【解答】 解：由 B=x|x 1， 得到 x|x1， 又集合 A=x| 1x2， 则 A（ =x|1x2 故选： D 【点评】 此题考查学生会进行补集及交集的运算，是一道基础题学生在求补集时注意全集的范围 第 7 页（共 25 页） 3 “x 1”是 “1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判 断 【专题】 规律型 【分析】 直接利用充要条件的判断方法判断即可 【解答】 解：因为 “x 1”“1”，而 “1”推不出 “x 1”，所以 “x 1”是 “1”充分不必要条件 故选 A 【点评】 本题考查充要条件的判定，基本知识的考查，注意条件与结论的判断 4在等差数列 ，已知 a3+0，则 3a5+ ） A 10 B 18 C 20 D 28 【考点】 等差数列的性质 【专题】 计算题；等差数列与等比数列 【分析】 根据等差数列性质可得： 3a5+（ a5+=2（ a3+即可得到结论 【解答】 解：由等差数列的性质得： 3a5+ a5+=2 2=2（ a5+=2（ a3+=20， 故选 C 【点评】 本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的关键 5（ 1+ ）（ 1 x） 4 的展开式中含 ） A 2 B 2 C 3 D 3 【考点】 二项式定理的应用 【专题】 转化思想；综合法；二项式定理 【分析】 把（ 1 x） 4 按照二项式定理展开，可得（ 1+ ）（ 1 x） 4 的展开式中含 【解答】 解： （ 1 x） 4 = x+ （ 1+ ）（ 1 x） 4=（ 1+ ）（ x+ ， 第 8 页（共 25 页） 含 +2= 2， 故 选： A 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题 6如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 34 B 16 C 48 D 24 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题 【分析】 由三视图知，此几何体是一个四棱锥，其中一个侧面垂直于底面，棱锥高为 4，底面是一个长为 6，宽为 2 的矩形，由公式易求出体积 【解答】 解：由图几何体是一个高为 4，底面是一个长为 6，宽为 2 的矩形的 四棱锥， 故其体积为 426=16 故选 B 【点评】 本题考查由三视图求面积、体积，解题的关键是根据三视图的作图规则还原出几何体的几何特征，点线面的位置关系，长宽高等测度等，再利用公式求体积与面积，此类题数形结合，由形入数，正确识图是做对此类题的保证 7已知实数 x， y 满足 ，则目标函数 z=x+y 的最小值为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】 简单线性规划 【专题】 数形 结合；不等式的解法及应用 第 9 页（共 25 页） 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z=x+y 为直线方程的斜截式，得 y= x+z， 由图可知，当直线 y= x+z 过可行域内的点 B（ 6， 3）时， 直线在 y 轴上的截距最小，即 z 最小 目标函数 z=x+y 的最小值为 6+3= 3 故选： C 【点评】 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 8函数 f（ x） =x+）（其中 A 0， 0， | ）的图象如图所示，为了得到 y=只要将 f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左 平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 计算题 第 10 页（共 25 页） 【分析】 先根据图象确定 A 和 T 的值，进而根据三角函数最小正周期的求法求 的值，再将特殊点代入求出 值从而可确定函数 f（ x）的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可 【解答】 解：由图象可知 A=1， T=， = =2 f（ x） =2x+），又因为 f（ ） =+） = 1 += +2= （ kZ） | ， = f（ x） =2x+ ） = 2x ） = 2x） =2x ） 将函数 f（ x）向左平移 可得到 （ x+ ） =y 故选 C 【点评】 本题主要考查根据图象求函数解析式和方法和三角函数的平移变换根据图象求三角函数解析式时，一般先根据图象确定 A 的值和最小正周期的值，进而求出 w 的值，再将特殊点代入求 的值 9执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 21，则判断框中应填（ ） A i 5 B i 6 C i 7 D i 8 【考点】 程序框图 【专题】 算法和程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的执行过程，计算输出结果即可 【解答】 解：模拟程序框图执行过程，如下； 开始， i=1， s=0，不输出，进入循环， 1 是奇数？是， s=0 12= 1， i=1+1=2， 第 11 页（共 25 页） 不输出，进入循环， 2 是奇数？否， s= 1+22=3， i=2+1=3，不输出，进入循环， 3 是奇数？是， s=3 32= 6， i=3+1=4，不输出，进入循环， 4 是奇数？否 s= 6+42=10， i=4+1=5，不输出，进入循环， 5 是奇数？是， s=10 52= 15， i=5+1=6，不输出，进入循环， 6 是奇数？否， s= 15+62=21， i=6+1=7，退出循环，输出 21， 判断框中的条件是： i 7？ 故选 C 【点评】 本题考查了程序框图的执行结果的问题，解题时应模拟程序的执行过程，是基础题 10已知正三棱锥 P P、 A、 B、 C 都在半径为 的球面上，若 两互相垂直，则球心到截面 距离为（ ） A B C D 【考点】 球内接多面体 【专题】 综合题；空间位置关系与距离 【分析】 先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算 【解答】 解： 正三棱锥 P 两垂直， 此正三棱锥的外接球即以 三边的正方体的外接球 O， 球 O 的半径为 ， 正方体的边长为 2，即 B=， 球心到截面 距离即正方体中心到截面 距离， 设 h，则正三棱锥 P = S h= S C= 222= ， 边长为 2 的正三角形， S （ 2 ） 2=2 ， h= ， 球心（即正方体中心） O 到截面 距离为 = 故选： C 【点评】 本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题 第 12 页（共 25 页） 11如图，把圆周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上，顶点 A（ 0， 1），一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周，记 =x，直线 x 轴交于点 N（ t， 0），则函数 t=f（ x）的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据动点移动过程的规律，利用单调性进行排除即可得到结论 【解答】 解：当 x 由 0 时， t 从 0，且单调递增， 由 1 时， t 从 0+，且单调递增， 排除 A， B， C， 故选： D 【点评】 本题主要 考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法，结合点的移动规律是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度 12定义域 R 的奇函数 f（ x），当 x（ ， 0）时 f（ x） + x） 0 恒成立，若 a=3f（ 3）， b=f（ 1）， c= 2f（ 2），则（ ） A a c b B c b a C c a b D a b c 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【专题】 导数的综合应用 【分析】 先构造函数 g（ x） =x），依题意得 g（ x）是偶函数，且 g（ x） 0 恒成立，从而故 g（ x）在 x（ ， 0）单调递减 ，根据偶函数的对称性得出 g（ x）在（ 0， +）上递增，即可比较a， b， c 的大小 第 13 页（共 25 页） 【解答】 解：设 g（ x） =x），依题意得 g（ x）是偶函数， 当 x（ ， 0）时， f（ x） + x） 0， 即 g（ x） 0 恒成立，故 g（ x）在 x（ ， 0）单调递减， 则 g（ x）在（ 0， +）上递增， 又 a=3f（ 3） =g（ 3）， b=f（ 1） =g（ 1）， c= 2f（ 2） =g（ 2） =g（ 2）， 故 a c b 故选 A 【点评】 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识， 考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于中档题 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13设函数 f（ x） = ，若 f（ f（ 1） =2，则 a 的值为 5 【考点】 函数的值 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由已知得 f（ 1） =21=2，从而 f（ f（ 1） =f（ 2） =4 a） =2，由此能求出 a 的值 【解答】 解： 数 f（ x） = ， f（ f（ 1） =2， f（ 1） =21=2， f（ f（ 1） =f（ 2） =4 a） =2， 4 a=9，解得 a= 5 故答案为： 5 【点评】 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用 14已知向量 ， 夹角为 45，且 | |=1， |2 |= ，则 | |= 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 利用数量积的性质即可得出 【解答】 解： 向量 ， 夹角为 45，且 | |=1， |2 |= 第 14 页（共 25 页） = ， 化为 =10， 化为 ， ， 解得 | |= 故答案为： 【点评】 本题考查了数量积的性质，属于基础题 15已知等比数列 ， a3+， ，则 = 9 【考点】 等比数列的性质 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 由等比数列的性质可得 ，解出 别可得 =入可得答案 【解答】 解：由等比数列的性质可得 ， 解得 ，或 2， 当 时，可得 ， =3 当 2，可得 0， = 5，（舍去） =2=9 故答案为： 9 【点评】 本题考查等比数列的性质，涉及分类 讨论的思想，属基础题 16已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 点 直线与双曲线 C 的右支相交于 P、 Q 两点，且点 P 的横坐标为 2，则 周长为 【考点】 双曲线的简单性质 第 15 页（共 25 页） 【专题】 计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 由题意画出图形，求出 |长度，利用双曲线定义求出 |长度，则 周长可求 【解答】 解：由双 曲线 C： ，得 ， ，则 2， 0）， 2， 0）， 由于点 P 的横坐标为 2，则 x 轴， 令 x=2，有 ， 即 y= ，则 | ， |2a+| ， 则 周长为 | 故答案为： 【点评】 本题考查双曲线的方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线定义的应用，是中档题 三、解答题：解答应洗出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，内角 A， B， C 的对应边分别为 a， b， c，已 知 b= 1）求 A+B 的值； （ 2）若 c= ，求 积的最大值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【专题】 转化思想；解三角形；不等式的解法及应用 【分析】 （ 1）由 b=正弦定理可得： A+C）=得 ， C（ 0， ）即可得出 A+B 第 16 页（共 25 页） （ 2）由余弦定理可得： c2=a2+2利 用基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1）在 ， b=正弦定理可得： 又 （ A+C） =A+C） = A（ 0， ）， ， 得 ， C（ 0， ） C= ， A+B= （ 2）由余弦定理可得： c2=a2+2 2=a2+ 2+ ab=a2+得 =2+ 当且仅当 a=b= 时取等号 S = 【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18第十七届亚运会于 2014 年 9 月 19 日至 10 月 4 日在韩国仁川举行为了搞好接待工作，组委会在首尔大学某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者从事礼宾接待和语言翻译工作，将这 30 名志愿者的身高（单位： 成茎叶图（如图所示）： 组委会安排决定：身高 175上（包含 175志愿者从事礼宾接待，身高在 175下的志愿者从事语言翻译 （ ）如果从分层抽样的方法从从事礼宾接待的志愿者和从事语言翻译的志愿者中抽取 5 人，再从这 5 人中随机选 2 人，那么至少有一人是从事礼宾接待的志愿者的概率是多少？ 第 17 页（共 25 页） （ ）若从所有从事礼宾接待的志愿者中随机选 3 名志愿者，用 表示从事礼宾接待的志愿者中女志愿者的人数，试写出 的分布列，并求出 的数学期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；茎叶图；古典概型及其概率计 算公式；离散型随机变量的期望与方差 【专题】 概率与统计 【分析】 （ I）先用分层抽样的方法，计算出每个人被抽中的概率，再利用对立事件的概率和为 1 可求得结果；（ 题意分别计算出 取值为 0， 1， 2， 3 时各自的概率，然后列出分布列并求出期望 【解答】 解：（ I）根据茎叶图，有从事礼宾接待的志愿者 12 人，有从事语言翻译的志愿者 18 人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 所以抽中的从事礼宾接待的志愿者有 人，从事语言翻译的志愿者有 人 用事件 A 表示 “至少有 1 名从事礼宾接待的志愿者被选中 ”，则它的对立事件 表示 “没有 1 名从事礼宾接待的志愿者被选中 ”， 则 （ 题意： 的可能取值为 0， 1， 2， 3 则 ， ， ， 因此， 0 1 2 3 p 故 【点评】 本题考查知识点茎叶图；对立事件的概率；离散型随机变量的分布列及期望，基本知识 的应用 第 18 页（共 25 页） 19如图，三棱柱 平面 C=2， ， D 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【专题】 数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角 【分析】 （ 1）连接 交 0，连接 据线面平行的判定定理即可证明 平面 （ 2）建立坐标系，求出平面 的法向量，利用向量法进行求解 【解答】 证明：连接 交 0，连接 矩形， O 是 中点， D 为 中点， 面 面 平面 （ 2）建立空间坐标系如图： 第 19 页（共 25 页） 则 0， 0， 0）， B（ 0， 3， 2）， C（ 0， 3， 0）， A（ 2， 3， 0）， D（ 1， 3， 0）， 0， 0， 2） 则 =（ 0， 3， 2）， =（ 1， 3， 0）， =（ 0， 0， 2）， 令平面 一个法向量为 =0， =0，从而有 ， 不妨令 x=1，则 y= ， z= 得到平面 一个法向量为 =（ 1， ， ） 令平面 一个法向量为 ， 所以 =0 ，从而有， ，不妨令 y= 1，则 x=3， z=0 得到平面 一个法向量为 =（ 3， 1， 0）， 因为 = = 则二面角 B 的余弦值是 【点评】 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间二面角的常用方法，综合性较强，运算量较大 20已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好在抛物线 （ 1）求椭圆 C 的标准方 程； （ 2）点 P（ 2， ）， Q（ 2， ）在椭圆上， A， B 是椭圆上位于直线 侧的动点当 A，B 运动时，满足 问直线 斜率是否为定值，请说明理由 第 20 页（共 25 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【专题】 圆锥曲线中的最值与范围问题 【分析】 （ 1）设椭圆 C 的标准方程为 （ a b 0），由 椭圆的一个顶点恰好在抛物线 y= 2 上，可得 b= 2，解得 b又 ， a2=b2+立解得即可 （ 2）设 A（ B（ 由 斜率互为相互数，可设直线斜率为 k，则 斜率为 k，直线 方程为： =k（ x 2），与椭圆的方程联立化为 +4 16=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设椭圆 C 的标准方程为 （ a b 0）， 椭圆的一个顶点恰好在抛物线 y 的准线 y= 2 上， b= 2，解得 b=2 又 ， a2=b2+ a=4， ， 可得椭圆 C 的标准方程为 （ 2）设 A（ B（ 斜率互为相互数， 可设直线 斜率为 k，则 斜率为 k， 直线 方程为： =k（ x 2）， 联立 ， 化为 +4 16=0， 第 21 页（共 25 页） = ， 同理可得： = = ， x1+， ， = = 直线 斜率为定值 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21设函数 f（ x） =x2+ （ ） 若 x=2 是函数 f（ x）的极值点， 1 是函数 f（ x）的一个零点，求函数 f（ x）的解析式； （ ） 若对任意 b 2， 1，都存在 x（ 1， e）（ e 为自然对数的底数），使得 f（ x） 0 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单 调性 【专题】 导数的综合应用 【分析】 （ ）先求导得到 ，由， f（ 1） =1+b=0，得到 a 与 b 的值，继而求出函数的解析式， （ ）令 g（ b） =xb+b 2， 1，问题转化为在 x（ 1， e）上 g（ b） g（ 1）0 有解即可，亦即只需存在 1， e）使得 x 0 即可，连续利用导函数，然后分别对 1 a0， 1 a 0，看是否存在 1， e）使得 h（ h（ 1） =0，进而得到结论 【解答】 解：（ ） ， x=2 是函数 f（ x）的极值点， f（ 2） =4 +b=0 1 是函数 f（ x）的零点，得 f（ 1） =1+b=0， 第 22 页（共 25 页） 由 ， 解得 a=6， b= 1 f（ x） =x 6 （ ）令 g（ b） =xb+b 2， 1，则 g（ b）为关于 b 的一次函数且为增函数， 根据题意，对任意 b 2， 1，都存在 x（ 1， e）（ e 为自然对数的底数），使得 f（ x） 0 成立， 则在 x（ 1， e）上 g（ b） g（ 1） = x+0，有解， 令 h（ x） =x 需存在 1， e）使得 h（ 0 即可， 由于 h（ x） =2x 1 ， 令 （ x） =2x a， x（ 1， e）， （ x） =4x 1 0， （ x）在（ 1， e）上单调递增， （ x） （ 1） =1 a， 当 1 a0，即 a1 时， （ x） 0，即 h（ x） 0， h（ x）在（ 1， e） 上单调递增， h（ x） h（ 1） =0，不符合题意 当 1 a 0，即 a 1 时， （ 1） =1 a 0， （ e） =2e a 若 a2e 1，则 （ e） 0，所以在（ 1， e）上 （ x） 0 恒成立，即 h（ x） 0 恒成立， h（ x）在（ 1， e）上单调递减， 存在 1， e）使得 h（ h（ 1） =0，符合题意 若 2e a 1，则 （ e） 0， 在（ 1， e）上一定存在实数 m，使得 （ m） =0， 在（ 1， m）上 （ x） 0 恒成立，即 h（ x） 0 恒成立， h（ x）在（ 1， e）上单调递减， 存在 1， e）使得 h（ h（ 1） =0，符合题意 综上所述，当 a 1 时，对任意 b 2， 1，都存在 x（ 1， e）（ e 为自然对数的底数），使得 f（ x） 0 成立 【点评】 本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想对数学思维的要求比较高，有一定的探索性综合性强，难度大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 第 23 页（共 25 页） 22如图，已知圆 O 上的 弦 D，过点 C 作圆 O 的切线与 延长线相交于点 E （ 1）求证： （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【专题】 选作题；推理和证明 【分析】 （ 1）由同圆中等圆弧的性质可得 弦切角