算法对高中数学的渗透VIP

算法对高中数学的渗透算法对高中数学的渗透 成都市高新实验中学成都市高新实验中学 张平福张平福 普通高中数学课程标准 实验 指出 算法除作为本模块的内容之外 其思想 方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中 鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题 新课程不仅开设算法初步专题 而且从内容上把算法融入数学课程的各个相关部分 在高 中数学课程中 解一元二次方程组 解二元线性方程组 解一元二次不等式 质数的判定 二分法 判定平面直角坐标系中直线与圆的位置关系 解三角形 求导数和定积分 建立 线性回归方程等 都是算法的典型案例 由此可见 算法思想贯穿整个高中数学 算法的 学习对整个高中数学的学习有着 源 与 流 的关系 在教学中 要体现数学与算法的有 机结合 在学习相应内容的过程中 有意识地引导学生体会算法思想 使他们看到数学在 算法设计中的作用 以及掌握算法思想对于提高数学能力的重要性 一 在问题解决中强化算法意识 提升算法思想一 在问题解决中强化算法意识 提升算法思想 算法一方面具有具体化 程序化 机械化的特点 同时又有抽象性 概 括性和精确性 在教学时尽量根据问题 解决情景培养算法思想 以真正提高 学生思维能力 例 1 已知椭圆的离心1 4 22 m yx 率为 试设计求的算法程序框 2 1 m 图 算法分析 信息 椭圆 1 4 22 m yx 意味着 离心率4 0 mm 需定位方程中 4 和哪一 1 2 c e a m 个是 2 a 可用条件结构表现 椭圆焦点在 哪个坐标轴上 与 与 4 的大小 m 之间的依赖关系 即需判断与 4 的m 大小 并据此设计算法 程序框图如 下 二 波利亚的二 波利亚的 怎样解题表怎样解题表 是数学问题解决的普适性算法是数学问题解决的普适性算法 按照波利亚的 怎样解题 表 解决数学问题的过程可以被分解为这样四个步骤 第 一 弄清问题 第二 拟定计划 第三 实现计划 第四 回顾 就这四个步骤而言 波利 亚指出 最糟糕的情况是 学生并没有理解问题就进行演算或作图 一般说来 在尚未看 到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下 去处理细节是毫无用处的 作为新课程的践 行者 数学教师需认真研读波利亚的 怎样解题 波利亚的波利亚的 怎样解题怎样解题 表表 弄清问题弄清问题 第一第一 你必须弄清问题你必须弄清问题 拟定计划拟定计划 第二第二 找出已知数与未知数找出已知数与未知数 之间的联系之间的联系 如果找如果找 不出直接的联系 你不出直接的联系 你 可能不得不考虑辅助可能不得不考虑辅助 问题问题 你应该最终得出你应该最终得出 一个求解的计划一个求解的计划 实现计划实现计划 第三第三 实现你的计划实现你的计划 回顾回顾 第四第四 验算所得到的解验算所得到的解 未知是什么 已知是什么 满足条件是否可能 要缺点未知 条件 是否充分 或者它是否不充分 或者是多余的 或者是矛盾的 画张图 引入适当的符号 把条件的各个部分分开 你能否把它们写下来 你以前见过它吗 你是否见过相同的问题而形式稍有不同 你是否知道与此有关的问题 你是否知道一个可能用得上的定理 看着未知数 试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题 这里有一个与你现在的问题有关 且早已解决的问题 你能不能利用它 你能利用它的结果吗 你能利用它的方法吗 为 了能利用它 你是否应该引入某些辅助元素 你能不能重新叙述这个问题 你能不能用不同的方法重新叙述这个 问题 回到定义去 如果你解决所提出的问题 可先解决一个与此相关的问题 你能不 能想出一个更容易着手的问题 一个更普遍的问题 一个更特殊的 问题 一个类比的问题 你能否解决这个问题的一部分 仅仅保持 条件的一部分而舍去其余部分 这样对于未知数能确定到什么程度 它回怎样变化 你能不能从已知数据导出某些有用的东西 你能不 能想出适合于确定未知数的其它数据 如果需要的话 你能不能改 变未知数或数据 或者二者都改变 以使新未知数和新数据彼此更 接近 你是否利用了所有已知的数据 你是否利用了所有条件 你是否考 虑了包含在问题中的必要的概念 实现你的求解计划 检验每一个步骤 你能否清楚地看出这一步骤是正确的 你能否证明这一步骤是正确的 你能否检验这个论证 你能否用别的方法导出这个结果 你能不能一 下子看出它来 你能不能把这一结果或方法用于其它的问题 例 2 2003 年全国卷第 21 题 已知常数 a 0 在矩形 ABCD 中 AB 4 BC 4a O 是 AB 的中点 点 E F G 分别在 BC CD DA 上移动 且 P 为 GE 与 OF 的交点 如图 15 问是否 DA DG CD CF BC BE 存在两个定点 使 P 到这两点的距离的和为定值 若存在 求出这两点的坐标及此定值 若不存在 请说明理由 分析 本题高考四川省均分仅 1 59 惨不忍睹 很多学生考 后仍然心有余悸地说面对此题无从下手 此题果真就这样难吗 让我们听听高考场内完美解决了此题的同学谈的解题感受 首先 这个问题虽然不好下手 但从问题情境看 它不是代数 问题 不是立体几何问题 肯定是解析几何问题 其次 既然这是解析几何问题 那就应该在坐标系环境下求解 因此要建立恰当的坐标系 第三 给出的图形太对称了 有助于建立坐标系 不妨如下图 建系 第四 建立坐标系的目的是什么呢 当然从问题情境看可以设 置点 A B C D E F G O 的坐标 事实上只需设元引参 设 k 进而确定相关 DA DG CD CF BC BE 的点的坐标 第五 不妨回到问题中来 结论需 要我们做什么呢 若存在两个定点 使 P 到这两点的距离的和为定值的 话 点 P 的轨迹不就是椭圆吗 因 此问题的核心是求点 P 的轨迹方程 第六 根据前面五点可知 只需建 立直线 OF 和 GE 的方程 用交轨 法解决即可 我们在赞叹这位同学聪明机智 的同时 更应该看到他思维过程中 算法思想的影子 我们不妨用算法的 框图来描述解决此问题的思维过程 和逻辑关系如右 事实上 上述框图中的前三步 应该容易想到 并且有了前三步 想到第四步及以后的步骤就比较自 然了 解 如图建立直角坐标系 按题意有 A 2 0 B 2 0 C 2 4a D 2 4a 01 2 4 24 4 2 44 BECFDG kk BCCDDA EakFka Gaak 设 由此有 y x O BA CD E G F P P O C A B D E G F 开始 结束 问题的信息输入 这是解析几何问题 需建立坐 标 根据图形的对称性建立恰当的坐标系 设置点 A B C D E F G O 的坐标 建立直线 OF 和 GE 的方程 用交轨法求点 P 的轨迹方程 根据点 P 的轨迹方程判断点 P 的存在性 222 2 21 0 1 21 20 2 12 220 OFaxk GEakxya kP x ya xyay 直线的方程为 直线的方程为 从 消去参数得点坐标满足方程 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 22 和为定长到该椭圆焦点的距离的 点的轨迹为椭圆的一部分时 点当 存在符合题意的两点的轨迹为圆弧 所以不时 点当 整理得 PPa Pa a ayx 222 222 111 2 222 111 0 0 2 222 aaaaa aaaaaa 当时 点到椭圆两个焦点的距离之和为定值 当时 点到椭圆两个焦点的距离之和为定值 三 算法思想也是思想实验算法思想也是思想实验 例 3 2002 年全国卷文科 22 给出两块相同的正三角形纸片 如图 1 图 2 要求用其 中一块剪拼成一个正三棱锥模型 另一块剪拼成一个正三棱柱模型 使它们的全面积都与 原三角形面积相等 请设计一种剪拼方法 分别用虚线标示在图 1 图 2 中 并作简要说 明 2 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小 分析 要求用正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型 使它们的全面积都与原三角形面积 相等 除了给出的标准答案外 其实还有一种更简单自然的方法 如右图 这种做法应该 更容易想到 所用知识更少 像这样的动 手实践的问题 其实更需要学生在平时积 累的直接经验 这也是新课程标准所强调 的 即动手实践能力 而这一算法思想古人早就应用其解决 实际问题 在 九章算术 中卷一 方田 第 25 题 今有圭田广十二步 正从二十一步 问为田几何 注文中的 以盈补虚 就是刘徽的 出入相补 法 在高考中从代 数角度也进行了考查 如上海高考试题 已知函数 的图象和直线 y 2 围成一个封闭的平面图 20cos2 xxy 形 则这个封闭图形的面积是 A 4B 8C 2D 4 图一图二 广广 盈盈 正正从从 虚虚 正正从从 广广 虚虚 盈盈 四 四 数学问题是算法思想培养的素材数学问题是算法思想培养的素材 例 4 设实数 m n m n 8 mn 12 求 m 和 n 解析 算法一 传统方法 m n 是方程 x2 8x 12 0 的根 利用求根公式或十字相乘法 知 m 6 n 2 算法延伸 在等差数列中 则 n a30 11 6592 aaaa n a 思路 由等差数列性质知 可知是方程 的两个 6592 aaaa 65 a a03011 2 xx 根 故 得 或 5 665 6565 aaaa或 nan nan 7 算法二 构造共轭 m n 8 mn 12 m n 2 64m2 2mn n2 64m2 2mn n2 16 m n 2 16m n 4 m 6 n 2 应用示例 设是第二象限的角 sin cos 则 tan 5 1 思路 由算法二方法构造共轭式 sin cos 得 5 7 4 3 tan 算法三 增量代换 m n 8m 超过 4 的的部分正好是 n 少于 4 的部分 据此设 m 4 t n 4 t 代入 mn 12 4 t 4 t 12t2 4t 2 m 6 n 2 应用示例 1 已知正数满足 则的最小值为 ba 2 ba ba 11 2 06 江苏 某人 5 次上班途中所花的时间 单位 分钟 分别为x y 10 11 9 已 知这组数据的平均数为 10 方差为 2 则 x y 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 思路 1 令 则 所 1 0 1 1 ttbta 10 1 2 1 1 1 1 11 2 t ttt tf ba 以时取最小值 2 0 t ba 11 2 本题考查统计的基本知识 样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法 所 涉及的是初中知识 而不是离散型随机 变量分布列的期望 平均 与方差 样本平均数为 2010 5 91110 yx yx 样本方差为 8 10 10 2 5 109 1011 1010 10 10 22 22222 yx yx 解这个方程组需要用一些技巧 因为不要直接求出 x y 只要求出即可 由 设yx x 10 t y 10 t 代入 得 故 选 D2 82 2 tt4 2 tyx 五 利用算法思想提高学生数学思维品质五 利用算法思想提高学生数学思维品质 例 5 09 福建理 15 五位同学围成一圈依序循环报数 规定 第一位同学首次报出的 数为 1 第二位同学首次报出的数也为 1 之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出 的数之和 若报出的数为 3 的倍数 则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数 当五位同学依序循环报到第 100 个数时 甲同学拍手的总次数为 解析 解析 这是历史上著名的斐波那契数列 寻找规律是解决问题的根本 否则 费时费力 利 用 算法初步 案例 1 的思想首先求出这个数列的每一项除以 3 所得余数的变化规律 再 求所求就比较简单了 这个数列的变化规律是 从第三个数开始递增 且是前两项之和 即设第次报数 n 第次报数 第次报数分别为 则有 那么有1n 2n n a 1n a 2n a 12nnn aaa 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 分别除以 3 得余 数分别是 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1 0 由此可见余数的变化规 律是按 1 1 2 0 2 2 1 0 循环 周期是 8 在一个周期内只有第四个数和第八个数都 是 3 的倍数 五位同学依序循环报完 100 个数共经历 12 5 个周期 其中第 4 8 12 16 96 100 个数是 3 的倍数 已知甲同学第一个报数 他报数4k 的位置为 1 6 96 问题转化为当时有多少项是 451n 51 100 n an n a 的倍数 易知时是 4 的倍数 即甲同学拍手的总次数为 5 次 3 7 11 15 19n n a 我们在看看四川 06 年理科 12 题 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复 数字的三位数 这个数不能被 3 整除的概率为 A B C D 19 54 35 54 38 54 41 60 考查目的 本题考查排列组合 概率及分类的思想方法 解法 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数一共有 9 9 8 648 个 1 9 P 2 9 P 因为一个整数能被 3 整除当且仅当其各位数字之和能被 3 整除 所以我们将 0 到 9 这 10 个数字按被 3 除所得余数分成 1 4 7 2 5 8 0 3 6 9 三组来考虑 组成三位数的三个数字不含 0 3 6 9 这时三个数字之和要能被 3 整除只能是 1 4 7 或 2 5 8 的组合 共有 2个 12 3 3 P 三个数字中有且只有 0 3 6 9 中的一个 这时三个数字之和要能被 3 整除 其余两个 数字只能分别是 1 4 7 和 2 5 8 两组中各取一个 共个 除去 0 在首位的 3 3 1 3 1 3 1 4 PCCC 个 还有 198 个 2 2 1 3 1 3 PCC 三个数字中有且只有 0 3 6 9 中的两个 这时组成的三位数三个数字之和都不能被 3 整除 三个数字都取自 0 3 6 9 共个 这时三个数字之和必可被 3 整除 除去 0 在首 3 4 P 位的个 还有 18 个 2 3 P 故能被 3 整除的共有 12 198 18 228 个 不能被 3 整除的有 648 228 420 个 因此概率 P 54 35 648 420 点评 本题是当年四川高考理科选择题的压轴题 求能被 3 整除的三位数的个数是一个 常规题 求能被 3 整除的没有重复数字的三位数难度就增加了不少 如果再与概率综合 随着需要考虑的情况复杂性的增加 需根据算法思想进行正确清晰的分类 对思维能力的 要求很高 本题对高分考生的区分度明显高于对全体考生的区分 是一个难题 六 利用算法思想提高学生问题解决能力六 利用算法思想提高学生问题解决能力 算法是思维的条理化和逻辑化 其基本思想是程序化 按部就班 我们可以利用这一 算法思想拟订解决具体数学问题的思维流程或解题步骤 帮助我们走出思维混乱 表述不 清的困境 例 6 09 海南宁夏理 17 为了测量两山顶 M N 间 的距离 飞机沿水平方向在 A B 两点进行测 量 A B M N 在同一个铅垂平面内 如示意图 飞机能够测量的数据有俯角和 A B 间的距离 请 设计一个方案 包括 指出需要测量的数据 用字 母表示 并在图中标出 用文字和公式写出计算 M N 间的距离的步骤 解析 这是一个以三角为背景考查算法思想的一个好题 需要一定的算法分析能力 方案一 需要测量的数据有 点到 点AMN 的俯角 点到 的俯角 11 BMN 22 的距离 如图所示 AB d 第一步 计算 由正弦定理AM 2 12 sin sin d AM 第二步 计算 由正弦定理 AN 2 21 sin sin d AN 第三步 计算 由余弦定理