数列求和方法及巩固

1 数列求和的方法数列求和的方法 1 公式法 公式法 如果一个数列是等差 等比数列或者是可以转化为等差 等比数列的数列 我们可以运用等差 等比数列的前 n 项和的公式来求 等差数列求和公式 1 1 1 22 n n n aan n Snad 等比数列求和公式 1 1 1 1 1 1 11 n n n na q S aq aa q q qq 常见的数列的前 n 项和 123 n 1 2 n n 1 3 5 2n 1 2 n 2222 123 n 1 21 6 n nn 3333 123 n 2 1 2 n n 等 2 倒序相加法 倒序相加法 类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法 如果一个数列 与首 n a 末两项等距的两项之和等于首末两项之和 可采用正序写和与倒序写和的两个 和式相加 就得到一个常数列的和 这一种求和的方法称为倒序相加法 例 1 已知函数 2 22 x x f x 1 证明 11f xfx 2 求的值 1289 10101010 ffff 解 1 先利用指数的相关性质对函数化简 后证明左边 右边 2 利用第 1 小题已经证明的结论可知 192855 1 101010101010 ffffff 1289 10101010 Sffff 令 9821 10101010 Sffff 则 两式相加得 所以 19 299 1010 Sff 9 2 S 2 小结 解题时 认真分析对某些前后具有对称性的数列 可以运用倒序相 加法求和 针对训练 3 求值 2222 22222222 12310 1102938101 S 3 错位相减法 错位相减法 类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法 若数列各项是由一个等差 数列和一个等比数列对应项相乘得到 即数列是一个 差 比 数列 则采用 错位相减法 若 其中是等差数列 是公比为等比数列 令 nnn abc n b n cq 1 12211nnnnn Sbcb cbcb c 则 n qS 1 22 311nnnn bcb cbcb c 两式相减并整理即得 例 2 2008 年全国 第 19 题第 2 小题 满分 6 分 已知 求数列 an 的前 n 项和 Sn 1 2n n an 解 0121 1 22 2 1 22 nn n Snn AA AA 121 21 22 2 1 22 nn n Snn AA AA 得 011 21 222221 nnnn n Snn AA A 小结 错位相减法的求解步骤 在等式两边同时乘以等比数列的公 n c 比 将两个等式相减 利用等比数列的前 n 项和的公式求和 q 针对训练 4 求和 23 230 1 n n Sxxxnxxx 4 裂项相消法 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差 即数列的每一项都可按此法拆成两项之差 在求和时一些正负项相互抵消 于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和 这 一求和方法称为裂项相消法 适用于类似 其中是各项不为零的 1nn c a a n a 等差数列 为常数 的数列 部分无理数列等 用裂项相消法求和 需要掌c 握一些常见的裂项方法 1 特别地当时 11 11 n nkknnk 1k 111 11n nnn 2 特别地当时 11 nkn knkn 1k 1 1 1 nn nn 3 例 3 数列的通项公式为 求它的前 n 项和 n a 1 1 n a n n n S 解 1231nnn Saaaaa 11111 1 22 33 411nnn n 111111111 1 2233411nnnn 1 1 11 n nn 小结 裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差 且这两 项是同一数列的相邻两项 即这两项的结构应一致 并且消项时前后所剩的项 数相同 针对训练 5 求数列的前 n 项和 1111 1223321nn n S 5 分组求和法 分组求和法 有一类数列 它既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比数列或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 例 4 求和 123 23 543 563 523 5 n n Sn 解 123 23 543 563 523 5 n n Sn 123 24623 5555 n n 2 11 1 55 31 131 1 45 1 5 n n n nnn 小结 这是求和的常用方法 按照一定规律将数列分成等差 比 数列或 常见的数列 使问题得到顺利求解 针对训练 6 求和 23 123 n n Saaaan 基本练习基本练习 1 等比数列等比数列的前 项和的前 项和 S 2 则 则 n a 22 3 2 2 2 1n aaaa 2 设设 则 则 1357 1 21 n n Sn n S 4 3 111 1 447 32 31 nn 4 1111 2 43 54 6 1 3 nn 5 数列数列的通项公式的通项公式 前 前 n 项和项和 221 1 12 122 1222 n n a n S 6 的前的前 n 项和为项和为 2 12 2 5 2 3 2 1 32 n n 提高练习提高练习 1 数列 an 满足 a1 1 且对任意的 m n N 都有 am n am an mn 则 2008321 1111 aaaa A 2009 4016 B 2009 2008 C 1004 2007 D 2008 2007 2 数列 an bn 都是公差为 1 的等差数列 若其首项满足 a1 b1 5 a1 b1 且 a1 b1 N 则数列 n b a 前 10 项的和等于 A 100B 85C 70D 55 3 设 m 1 2 2 3 3 4 n 1 n 则 m 等于 A 3 1 2 nn B 2 1 n n 4 C 2 1 n n 5 D 2 1 n n 7 4 若 Sn 1 2 3 4 1 n 1 n 则 S17 S33 50等于 A 1 B 1 C 0 D 2 5 设 an 为等比数列 bn 为等差数列 且 b1 0 cn an bn 若数列 cn 是 1 1 2 则 cn 的前 10 项和为 A 978 B 557 C 467 D 979 6 1002 992 982 972 22 12的值是 A 5000 B 5050 C 10100 D 20200 7 一个有 2001 项且各项非零的等差数列 其奇数项的和与偶数项的和之比为 8 若 12 22 n 1 2 an3 bn2 cn 则 a b c 9 已知等差数列 an 的首项 a1 1 公差 d 0 且其第二项 第五项 第十四项分别是等 比数列 bn 的第二 三 四项 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 设数列 cn 对任意自然数 n 均有 1 3 3 2 2 1 1 n n n a b c b c b c b c 成立 求c1 c2 c3 c2003的值 5 10 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn 2an 1 n n 1 1 求证数列 an 3 2 1 n 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对任意的整数 m 4 有 8 7111 54 m aaa 基础练习答案基础练习答案 1 2 3 4 5 6 41 3 n 1 nn 31 n n 1 1111 2 2323nn 1 21 22 nn n 23 3 2 n n n S 提高练习答案提高练习答案 1 解 am n am an mn an 1 an a1 n an 1 n 利用叠加法得到 2 1 nn an 1 11 2 1 21 nnnnan 2009 1 1 2 2009 1 2008 1 3 1 2 1 2 1 1 2 1111 2008321 aaaa 2009 4016 答案 A 2 解 an a1 n 1 bn b1 n 1 n b a a1 bn 1 a1 b1 n 1 1 a1 b1 n 2 5 n 2 n 3 则数列 n b a 也是等差数列 并且前 10 项和等于 8510 2 134 答案 B 3 解 因为 an n2 n 则依据分组集合即得 答案 A 4 解 对前 n 项和要分奇偶分别解决 即 Sn 2 2 1 为为 为为 n n n n 答案 A 6 5 解 由题意可得 a1 1 设公比为 q 公差为 d 则 22 1 2 dq dq q2 2q 0 q 0 q 2 an 2n 1 bn n 1 1 1 n cn 2n 1 1 n Sn 978 答案 A 6 解 并项求和 每两项合并 原式 100 99 98 97 2 1 5050 答案 B 7 解 设此数列 an 其中间项为 a1001 则 S奇 a1 a3 a5 a2001 1001 a1001 S偶 a2 a4 a6 a2000 1000a1001 答案 1000 1001 8 解 原式 6 32 6 12 1 23 nnnnnn 答案 6 1 2 1 3 1 9 解 1 由题意得 a1 d a1 13d a1 4d 2 d 0 解得 d 2 an 2n 1 可得 bn 3n 1 2 当 n 1 时 c1 3 当 n 2 时 由 nn n n aa b c 1 得 cn 2 3n 1 故 2 32 1 3 1 n n c n n 故 c1 c2 c3 c2003 3 2 3 2 32 2 32002 32003 10 1 证明证明 由已知得 an Sn Sn 1 2an 1 n 2an 1 1 n 1 n 2 化简得 an 2an 1 2 1 n 1 n 2 上式可化为 an 3 2 1 n 2 an 1 3 2 1 n 1 n 2 a1 1 a1 3 2 1 1 3 1 故数列 an 3 2 1 n 是以 3 1 为首项 公比为 2 的等比数列 2 解解 由 1 可知 an 3 2 1 n 3 2 1 n an 3 1 2n 1 3 2 1 n 3 2 2n 2 1 n 故数列 an 的通项公式为 an 3 2 2n 2 1 n 3 证明证明 由已知得 m aaa 111 54 mmmm 1 2 1