小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全

小学奥数基础教程 六年级 1 小学奥数基础教程小学奥数基础教程 六年级六年级 第第 1 1 讲讲 比较分数的大小比较分数的大小 第第 2 2 讲讲 巧求分数巧求分数 第第 3 3 讲讲 分数运算的技巧分数运算的技巧 第第 4 4 讲讲 循环小数与分数循环小数与分数 第第 5 5 讲讲 工程问题工程问题 一一 第第 6 6 讲讲 工程问题工程问题 二二 第第 7 7 讲讲 巧用单位巧用单位 1 1 第第 8 8 讲讲 比和比例比和比例 第第 9 9 讲讲 百分数百分数 第第 1010 讲讲 商业中的数学商业中的数学 第第 1111 讲讲 圆与扇形圆与扇形 第第 1212 讲讲 圆柱与圆锥圆柱与圆锥 第第 1313 讲讲 立体图形立体图形 一一 第第 1414 讲讲 立体图形立体图形 二二 第第 1515 讲讲 棋盘的覆盖棋盘的覆盖 第第 1616 讲讲 找规律找规律 第第 1717 讲讲 操作问题操作问题 第第 1818 讲讲 取整计算取整计算 第第 1919 讲讲 近似值与估算近似值与估算 第第 2020 讲讲 数值代入法数值代入法 第第 2121 讲讲 枚举法枚举法 第第 2222 讲讲 列表法列表法 第第 2323 讲讲 图解法图解法 第第 2424 讲讲 时钟问题时钟问题 第第 2525 讲讲 时间问题时间问题 第第 2626 讲讲 牛吃草问题牛吃草问题 第第 2727 讲讲 运筹学初步 一 运筹学初步 一 第第 2828 讲讲 运筹学初步 二 运筹学初步 二 第第 2929 讲讲 运筹学初步 三 运筹学初步 三 第第 3030 讲讲 趣题巧解趣题巧解 第一讲第一讲 比较分数的大小比较分数的大小 同学们从一开始接触数学 就有比较数的大小问题 比较整数 小数的大小的方法比较简单 而比较分数的大 小就不那么简单了 因此也就产生了多种多样的方法 对于两个不同的分数 有分母相同 分子相同以及分子 分母都不相同三种情况 其中前两种情况判别大小的方法 是 分母相同的两个分数 分子大的那个分数比较大 分母相同的两个分数 分子大的那个分数比较大 分子相同的两个分数 分母大的那个分数比较小 分子相同的两个分数 分母大的那个分数比较小 第三种情况 即分子 分母都不同的两个分数 通常 是采用通分的方法 使它们的分母相同 化为第一种情况 再比较大小 由于要比较的分数千差万别 所以通分的方法不一定 是最简捷的 下面我们介绍另外几种方法 1 通分子 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大 而分子的最 小公倍数比较小时 可以把它们化成同分子的分数 再比 较大小 这种方法比通分的方法简便 如果我们把课本里的通分称为 通分母 那么这里 讲的方法可以称为 通分子 2 化为小数 这种方法对任意的分数都适用 因此也叫万能方法 但在比较大小时是否简便 就要看具体情况了 3 先约分 后比较 有时已知分数不是最简分数 可以先约分 4 根据倒数比较大小 5 若两个真分数的分母与分子的差相等 则分母 子 大的分数较大 若两个假分数的分子与分母的差相等 则 分母 子 小的分数较大 也就是说 6 借助第三个数进行比较 有以下几种情况 1 对于分数 m 和 n 若 m k k n 则 m n 小学奥数基础教程 六年级 2 2 对于分数 m 和 n 若 m k n k 则 m n 前一个差比较小 所以 m n 3 对于分数 m 和 n 若 k m k n 则 m n 注意 2 与 3 的差别在于 2 中借助的数 k 小于 原来的两个分数 m 和 n 3 中借助的数 k 大于原来的两 个分数 m 和 n 4 把两个已知分数的分母 分子分别相加 得到一 个新分数 新分数一定介于两个已知分数之间 即比其中 一个分数大 比另一个分数小 利用这一点 当两个已知分数不容易比较大小 新分 数与其中一个已知分数容易比较大小时 就可以借助于这 个新分数 比较分数大小的方法还有很多 同学们可以在学习中 不断发现总结 但无论哪种方法 均来源于 分母相同 分子大的分数大 分子相同 分母小的分数大 这一基本 方法 练习练习 1 1 1 比较下列各组分数的大小 答案与提示练习练习 1 1 第二讲第二讲 巧求分数巧求分数 我们经常会遇到一些分数的分子 分母发生变化的题 目 例如分子或分母加 减某数 或分子与分母同时加 减某数 或分子 分母分别加 减不同的数 得到一个新 分数 求加 减的数 或求原来的分数 这类题目变化很 多 因此解法也不尽相同 数 分析 若把这个分数的分子 分母调换位置 原题中 的分母加 减 1 就变成分子加 减 1 这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子 分母调换位置后的分数 再求 倒数即可 个分数 分析与解 分析与解 因为加上和减去的数不同 所以不能用求平均 数的方法求解 小学奥数基础教程 六年级 3 这个分数是多少 分析与解 分析与解 如果把这个分数的分子与分母调换位置 问题就变为 这个分数是多少 于是与例 3 类似 可以求出 在例 1 例 4 中 两次改变的都是分子 或都是分母 如 果分子 分母同时变化 那么会怎样呢 数 a 分析与解 分析与解 分子减去 a 分母加上 a 约分前 分子与分 母之和不变 等于 29 43 72 约分后的分子与分母之和变 为 3 5 8 所以分子 分母约掉 45 43 2 求这个自然数 同一个自然数 得到的新分数如果不约分 那么差还是 45 新分数约分后变 例 7 一个分数的分子与分母之和是 23 分母增加 19 后得到一个新分数 分子与分母的和是 1 5 6 是由新分数的分子 分母同时 除以 42 6 7 得到 分析与解 分析与解 分子加 10 等于分子增加了 10 5 2 倍 为保持分数的大小不变 分母也应增加相同的倍数 所以 分母应加 8 2 16 在例 8 中 分母应加的数是 在例 9 中 分子应加的数是 由此 我们得到解答例 8 例 9 这类分数问题的公式 分子应加 减 的数 分母所加 减 的数 原分数 分母应加 减 的数 分子所加 减 的数 原分数 分析与解 分析与解 这道题的分子 分母分别加 减不同的数 可 以说是这类题中最难的 我们用设未知数列方程的方法解 答 2x 2 3 x 5 4 6x 6 4x 20 2x 14 x 7 练习练习 2 2 小学奥数基础教程 六年级 4 是多少 答案与提示练习练习 2 2 5 5 解 53 79 4 7 12 a 53 4 12 5 6 13 解 67 22 16 7 5 7 5 22 13 解 设分子为 x 根据分母可列方程 第三讲第三讲 分数运算的技巧分数运算的技巧 对于分数的混合运算 除了掌握常规的四则运算法则 外 还应该掌握一些特殊的运算技巧 才能提高运算速度 解答较难的问题 1 1 凑整法凑整法 与整数运算中的 凑整法 相同 在分数运算中 充 分利用四则运算法则和运算律 如交换律 结合律 分配 律 使部分的和 差 积 商成为整数 整十数 从 而使运算得到简化 2 2 约分法约分法 小学奥数基础教程 六年级 5 3 3 裂项法裂项法 若能将每个分数都分解成两个分数之差 并且使中间 的分数相互抵消 则能大大简化运算 例例 7 7 在自然数 1 100 中找出 10 个不同的数 使这 10 个数的倒数的和等于 1 分析与解 分析与解 这道题看上去比较复杂 要求 10 个分子为 1 而分母不同的 就非常简单了 括号 此题要求的是 10 个数的倒数和为 1 于是做成 所求的 10 个数是 2 6 12 20 30 42 56 72 90 10 的 10 和 30 仍是符合题意的解 4 4 代数法代数法 5 5 分组法分组法 分析与解 分析与解 利用加法交换律和结合律 先将同分母的 分数相加 分母为 n 的分数之和为 原式中分母为 2 20 的分数之和依次为 练习练习 3 3 小学奥数基础教程 六年级 6 8 在自然数 1 60 中找出 8 个不同的数 使这 8 个数的 倒数之和等于 1 答案与提示 练习练习 3 3 1 3 8 2 6 8 12 20 30 42 56 9 5680 解 从前向后 分子与分母之和等于 2 的有 1 个 等 于 3 的有 2 个 等于 4 的有 3 个人 一般地 分子与分 母之和等于 n 的有 n 1 个 分子与分母之和小于 9 99 108 的有 1 2 3 106 5671 个 5671 9 5680 个 第四讲第四讲 循环小数与分数循环小数与分数 任何分数化为小数只有两种结果 或者是有限小数 或者是循环小数 而循环小数又分为纯循环小数和混循环 小数两类 那么 什么样的分数能化成有限小数 什么样 的分数能化成纯循环小数 混循环小数呢 我们先看下面 的分数 1 中的分数都化成了有限小数 其分数的分母只有 质因数 2 和 5 化 因为 40 23 5 含有 3 个 2 1 个 5 所以化成的小数 有三位 2 中的分数都化成了纯循环小数 其分数的分母没 有质因数 2 和 5 3 中的分数都化成了混循环小数 其分数的分母中既含 有质因数 2 或 5 又含有 2 和 5 以外的质因数 化成的混 循环小数中的不循环部分的位数与 5 所以化成混循环小数中的不循环部分有两位 于是我们得到结论 一个最简分数化为小数有三种情况 一个最简分数化为小数有三种情况 1 1 如果分母只含有质因数 如果分母只含有质因数 2 2 和和 5 5 那么这个分数一 那么这个分数一 定能化成有限小数 并且小数部分的位数等于分母中质因定能化成有限小数 并且小数部分的位数等于分母中质因 数数 2 2 与与 5 5 中个数较多的那个数的个数 中个数较多的那个数的个数 2 2 如果分母中只含有 如果分母中只含有 2 2 与与 5 5 以外的质因数 那么这以外的质因数 那么这 个分数一定能化成纯循环小数 个分数一定能化成纯循环小数 3 3 如果分母中既含有质因数 如果分母中既含有质因数 2 2 或或 5 5 又含有 又含有 2 2 与与 5 5 以外的质因数 那么这个分数一定能化成混循环小数 并以外的质因数 那么这个分数一定能化成混循环小数 并 且不循环部分的位数等于分母中质因数且不循环部分的位数等于分母中质因数 2 2 与与 5 5 中个数较多中个数较多 的那个数的个数 的那个数的个数 小学奥数基础教程 六年级 7 例例 1 1 判断下列分数中 哪些能化成有限小数 纯循环 小数 混循环小数 能化成有限小数的 小数部分有几位 能化成混循环小数的 不循环部分有几位 分析与解 分析与解 上述分数都是最简分数 并且 32 25 21 3 7 250 2 53 78 2 3 13 117 33 13 850 2 52 17 根据上面的结论 得到 不循环部分有两位 将分数化为小数是非常简单的 反过来 将小数化为分数 同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法 而对将 循环小数化成分数的方法就不一定清楚了 我们分纯循环 小数和混循环小数两种情况 讲解将循环小数化成分数的 方法 1 将纯循环小数化成分数 将上两式相减 得将上两式相减 得 从例 2 例 3 可以总结出将纯循环小数化成分数的方法 纯循环小数化成分数的方法 纯循环小数化成分数的方法 分数的分子是一个循环节的数字组成的数 分母的各分数的分子是一个循环节的数字组成的数 分母的各 位数都是位数都是 9 9 9 9 的个数与循环节的位数相同 的个数与循环节的位数相同 2 将混循环小数化成分数 将上两式相减 得 将上两式相减 得 从例 4 例 5 可以总结出将混循环小数化成分数的方法 混循环小数化成分数的方法 混循环小数化成分数的方法 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节 的末位数字所组成的数 减去不循环数字所组成的数所得的末位数字所组成的数 减去不循环数字所组成的数所得 的差 分母的头几位数字是的差 分母的头几位数字是 9 9 末几位数字都是 末几位数字都是 0 0 其中 其中 9 9 的个数与循环节的位数相同 的个数与循环节的位数相同 0 0 的个数与不循环部分的位的个数与不循环部分的位 数相同 数相同 掌握了将循环小数化成分数的方法后 就可以正确地 进行循环小数的运算了 例例 6 6 计算下列各式 练习 4 1 下列各式中哪些不正确 为什么 小学奥数基础教程 六年级 8 2 划去小数 0 27483619 后面的若干位 再添上表示循 环节的两个圆点 得到一个循环小数 例如 0 274836 请 找出这样的小数中最大的与最小的 3 将下列纯循环小数化成最简分数 4 将下列混循环小数化成最简分数 5 计算下列各式 答案与提示 练习练习 4 4 1 1 3 4 不正确 第五讲第五讲 工程问题 一 工程问题 一 顾名思义 工程问题指的是与工程建造有关的数学问 题 其实 这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题 也括行路 水管注水等许多内容 在分析解答工程问题时 一般常用的数量关系式是 工作量工作量 工作效率工作效率 工作时间 工作时间 工作时间工作时间 工作量工作量 工作效率 工作效率 工作效率工作效率 工作量工作量 工作时间 工作时间 工作量指的是工作的多少 它可以是全部工作量 一 般用数 1 表示 也可 工作效率指的是干工作的快慢 其意义是单位时间里所干 的工作量 单位时间的选取 根据题目需要 可以是天 也可以是时 分 秒等 工作效率的单位是一个复合单位 表示成 工作量 天 或 工作量 时 等 但在不引起误会的情况下 一般不写 工作效率的单位 例 1 单独干某项工程 甲队需 100 天完成 乙队需 150 天完成 甲 乙两队合干 50 天后 剩下的工程乙队干 还需多少天 分析与解 分析与解 以全部工程量为单位 1 甲队单独干需 100 天 甲的工作效 例例 2 2 某项工程 甲单独做需 36 天完成 乙单独做需 45 天 完成 如果开工时甲 乙两队合做 中途甲队退出转做新 的工程 那么乙队又做了 18 天才完成任务 问 甲队干了 多少天 分析 分析 将题目的条件倒过来想 变为 乙队先干 18 天 后 面的工作甲 乙两队合干需多少天 这样一来 问题就 简单多了 答 甲队干了 12 天 例例 3 3 单独完成某工程 甲队需 10 天 乙队需 15 天 丙队 需 20 天 开始三个队一起干 因工作需要甲队中途撤走了 结果一共用了 6 天完成这一工程 问 甲队实际工作了几 天 分析与解 分析与解 乙 丙两队自始至终工作了 6 天 去掉乙 丙 两队 6 天的工作量 剩下的是甲队干的 所以甲队实际工 作了 小学奥数基础教程 六年级 9 例例 4 4 一批零件 张师傅独做 20 时完成 王师傅独做 30 时完成 如果两人同时做 那么完成任务时张师傅比王 师傅多做 60 个零件 这批零件共有多少个 分析与解 分析与解 这道题可以分三步 首先求出两人合作完 成需要的时间 例例 5 5 一水池装有一个放水管和一个排水管 单开放水管 5 时可将空池灌满 单开排水管 7 时可将满池水排完 如果 一开始是空池 打开放水管 1 时后又打开排水管 那么再 过多长时间池内将积有半池水 例例 6 6 甲 乙二人同时从两地出发 相向而行 走完全 程甲需 60 分钟 乙需 40 分钟 出发后 5 分钟 甲因忘带 东西而返回出发点 取东西又耽误了 5 分钟 甲再出发后 多长时间两人相遇 分析 分析 这道题看起来像行程问题 但是既没有路程又 没有速度 所以不能用时间 路程 速度三者的关系来解 答 甲出发 5 分钟后返回 路上耽误 10 分钟 再加上取东 西的 5 分钟 等于比乙晚出发 15 分钟 我们将题目改述一 下 完成一件工作 甲需 60 分钟 乙需 40 分钟 乙先干 15 分钟后 甲 乙合干还需多少时间 由此看出 这道题 应该用工程问题的解法来解答 答 甲再出发后 15 分钟两人相遇 练习练习 5 5 1 某工程甲单独干 10 天完成 乙单独干 15 天完成 他们合干多少天才可完成工程的一半 2 某工程甲队单独做需 48 天 乙队单独做需 36 天 甲队先干了 6 天后转交给乙队干 后来甲队重新回来与乙 队一起干了 10 天 将工程做完 求乙队在中间单独工作的 天数 3 一条水渠 甲 乙两队合挖需 30 天完工 现在合挖 12 天后 剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完 这条水渠由 甲队单独挖需多少天 则完成任务时乙比甲多植 50 棵 这批树共有多少棵 5 修一段公路 甲队独做要用 40 天 乙队独做要用 24 天 现在两队同时从两端开工 结果在距中点 750 米处相 遇 这段公路长多少米 6 蓄水池有甲 乙两个进水管 单开甲管需 18 时注满 单 开乙管需 24 时注满 如果要求 12 时注满水池 那么甲 乙两管至少要合开多长时间 7 两列火车从甲 乙两地相向而行 慢车从甲地到乙地需 8 时 比快车从 40 千米 求甲 乙两地的距离 答案与提示 练习练习 5 5 2 14 天 3 120 天 4 350 棵 5 6000 米 6 8 时 提示 甲管 12 时都开着 乙管开 7 280 千米 小学奥数基础教程 六年级 10 第六讲第六讲 工程问题 二 工程问题 二 上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题 在较复杂的工程问题中 工作效率往往隐藏在题目条件里 这时 只要我们灵活运用基本的分析方法 问题也不难解 决 例例 1 1 一项工程 如果甲先做 5 天 那么乙接着做 20 天可完成 如果甲先做 20 天 那么乙接着做 8 天可完成 如果甲 乙合做 那么多少天可以完成 分析与解 分析与解 本题没有直接给出工作效率 为了求出甲 乙 的工作效率 我们先画出示意图 从上图可直观地看出 甲 15 天的工作量和乙 12 天的 工作量相等 即甲 5 天的工作量等于乙 4 天的工作量 于 是可用 乙工作 4 天 等量替换题中 甲工作 5 天 这一 条件 通过此替换可知乙单独做这一工程需用 20 4 24 天 甲 乙合做这一工程 需用的时间为 例例 2 2 一项工程 甲 乙两队合作需 6 天完成 现在乙 队先做 7 天 然后 么还要几天才能完成 分析与解 分析与解 题中没有告诉甲 乙两队单独的工作效率 只知道他们合作 们把 乙先做 7 天 甲再做 4 天 的过程转化为 甲 乙 合做 4 天 乙再单独 例例 3 3 单独完成一件工作 甲按规定时间可提前 2 天完 成 乙则要超过规定时间 3 天才能完成 如果甲 乙二人 合做 2 天后 剩下的继续由乙单独做 那么刚好在规定时 间完成 问 甲 乙二人合做需多少天完成 分析与解 分析与解 乙单独做要超过 3 天 甲 乙合做 2 天后 乙继续做 刚好按时完成 说明甲做 2 天等于乙做 3 天 即完成这件工作 乙需要的时间是甲的 乙需要 10 5 15 天 甲 乙合作需要 例例 4 4 放满一个水池的水 若同时打开 1 2 3 号阀门 则 20 分钟可以完成 若同时打开 2 3 4 号阀门 则 21 分钟可以完成 若同时打开 1 3 4 号阀门 则 28 分钟可 以完成 若同时打开 1 2 4 号阀门 则 30 分钟可以完成 问 如果同时打开 1 2 3 4 号阀门 那么多少分钟可以 完成 分析与解 分析与解 同时打开 1 2 3 号阀门 1 分钟 再同时 打开 2 3 4 号阀门 1 分钟 再同时打开 1 3 4 号阀门 1 分钟 再同时打开 1 2 4 号阀门 1 分钟 这时 1 2 3 4 号阀门各打开了 3 分钟 放水量等于一 例例 5 5 某工程由一 二 三小队合干 需要 8 天完成 由二 三 四小队合干 需要 10 天完成 由一 四小队合 干 需 15 天完成 如果按一 二 三 四 一 二 三 四 的顺序 每个小队干一天地轮流干 那么工程由 哪个队最后完成 小学奥数基础教程 六年级 11 分析与解 分析与解 与例 4 类似 可求出一 二 三 四小队 的工作效率之和是 例例 6 6 甲 乙 丙三人做一件工作 原计划按甲 乙 丙的顺序每人一天轮流去做 恰好整天做完 并且结束工 作的是乙 若按乙 丙 甲的顺序轮流 件工作 要用多少天才能完成 分析与解 分析与解 把甲 乙 丙三人每人做一天称为一轮 在一轮中 无论谁先谁后 完成的总工作量都相同 所以 三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同 见 下图虚线左边 相差的就是最后一轮 见下图虚线右边 由最后一轮完成的工作量相同 得到 练习练习 6 6 1 甲 乙二人同时开始加工一批零件 每人加工零件总数 的一半 甲完成 有多少个 需的时间相等 问 甲 乙单独做各需多少天 3 加工一批零件 王师傅先做 6 时李师傅再做 12 时可 完成 王师傅先做 8 时李师傅再做 9 时也可完成 现在王 师傅先做 2 时 剩下的两人合做 还需要多少小时 独修各需几天 5 蓄水池有甲 乙 丙三个进水管 甲 乙 丙管单 独灌满一池水依次需要 10 12 15 时 上午 8 点三个管同 时打开 中间甲管因故关闭 结果到下午 2 点水池被灌满 问 甲管在何时被关闭 6 单独完成某项工作 甲需 9 时 乙需 12 时 如果按 照甲 乙 甲 乙 的顺序轮流工作 每次 1 时 那 么完成这项工作需要多长时间 7 一项工程 乙单独干要 17 天完成 如果第一天甲干 第二天乙干 这样交替轮流干 那么恰好用整天数完成 如果第一天乙干 第二天甲干 这样交替轮流干 那么比 上次轮流的做法多用半天完工 问 甲单独干需要几天 答案与提示练习练习 6 6 1 360 个 2 甲 18 天 乙 12 天 3 7 2 时 解 由下页图知 王干 2 时等于李干 3 时 所以单独干李 需 12 6 2 3 21 时 王需 21 3 2 14 时 所求 为 小学奥数基础教程 六年级 12 5 上午 9 时 6 10 时 15 分 7 8 5 天 解 如果两人轮流做完的天数是偶数 那么不论甲先还 是乙先 两种轮流做的方式完成的天数必定相同 见左下 图 甲乙甲乙 甲乙甲乙甲乙 甲乙 甲 现在乙先比甲先要多用半天 所以甲先时 完成的天 数一定是奇数 于是得到右上图 其中虚线左边的工作量 相同 右边的工作量也相同 说明乙做 1 天等于甲做半天 所以乙做 17 天等于甲做 8 5 天 第七讲第七讲 巧用单位巧用单位 1 在工程问题中 我们往往设工作总量为单位 1 在许多 分数应用题中 都会遇到单位 1 的问题 根据题目条件 正确使用单位 1 能使解答的思路更清晰 方法更简捷 分析 因为第一天 第二天都是与全书比较 所以应 以全书的页数为单位 答 这本故事书共有 240 页 分析与解 分析与解 本题条件中单位 1 的量在变化 依次是 全书的页数 第一天看后余下的页数 第二天 看后余下的页数 出现了 3 个不同的单位 1 按照常 规思路 需要统一单位 1 转化分率 但在本题中 不 统一单位 1 反而更方便 我们先把全书看成 1 看成 1 就可以求出第三天看后余下的部分占全书的 共有多少本图书 分析与解 分析与解 故事书增加了 图书的总数随之增加 题 中出现两个分率 这给计算带来很多不便 需要统一单位 1 统一单位 1 的一个窍门就是抓 不变量 为单位 1 本题中故事书 图书总数都发生了变化 而其它书的 本数没有变 可以以 图书室原来共有图书 小学奥数基础教程 六年级 13 分析与解 分析与解 与例 3 类似 甲 乙组人数都发生了变化 不变量是甲 乙组的总人数 所以以甲 乙组的总人数为 单位 1 例例 5 5 公路上同向行驶着三辆汽车 客车在前 货车在 中 小轿车在后 在某一时刻 货车与客车 小轿车的距 离相等 走了 10 分钟 小轿车追上了货车 又过了 5 分钟 小轿车追上了客车 再过多少分钟 货车追上客车 分析与解 分析与解 根据 在某一时刻 货车与客车 小轿车 的距离相等 设这段距离为单位 1 由 走了 10 分 钟 小轿车追上了货车 可知小轿 可知小轿车 10 5 分钟比客车多行了两个这样的距离 每 分钟多行这段距离的 两班各有多少人 乙班有 84 48 36 人 练习练习 7 7 树上原有多少个桃 剩下的部分收完后刚好又装满 6 筐 共收西红柿多少千克 7 六年级两个班共有学生 94 人 其中女生有 39 人 已知一班的女生占本 答案与提示 练习练习 7 7 1 35 个 2 60 个 3 64 吨 小学奥数基础教程 六年级 14 4 384 千克 6 男生 15 人 女生 21 人 7 一班 45 人 二班 49 人 第八讲第八讲 比和比例比和比例 比的概念是借助于除法的概念建立的 两个数相除叫做两个数的比 例如 5 6 可记作 5 6 比值 表示两个比相等的式子叫做比例 式 如 3 7 9 21 判断两个比是否成比例 就要看它们的比值 是否相等 两个比的比值相等 这两个比能组成比例 否 则不能组成比例 在任意一个比例中 两个外项的积等于两个内项的积 即 如果 a b c d 那么 a d b c 两个数的比叫做单比 两个以上的数的比叫做连比 例如 a b c 连比中的 不能用 代替 不能 把连比看成连除 把两个比化为连比 关键是使第一个比 的后项等于第二个比的前项 方法是把这两项化成它们的 最小公倍数 例如 甲 乙 5 6 乙 丙 4 3 因为 6 4 12 所以 5 6 10 12 4 3 12 9 得到甲 乙 丙 10 12 9 例例 1 1 已知 3 x 1 7 9 求 x 解 7 x 1 3 9 x 1 3 9 7 例例 2 2 六年级一班的男 女生比例为 3 2 又来了 4 名 女生后 全班共有 44 人 求现在的男 女生人数之比 分析与解 分析与解 原来共有学生 44 4 40 人 由男 女 生人数之比为 3 2 知 如果将人数分为 5 份 那么男生占 3 份 女生占 2 份 由此求出 女生增加 4 人变为 16 4 20 人 男生人数不变 现在男 女生人数之比为 24 20 6 5 在例 2 中 我们用到了按比例分配的方法 将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例 分配 按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分 配 把比的各项相加得到总份数 各项与总份数之比就是 各个分量在总量中所占的分率 由此可求得各个分量 例例 3 3 配制一种农药 其中生石灰 硫磺粉和水的重量 比是 1 2 12 现在要配制这种农药 2700 千克 求各种 原料分别需要多少千克 分析 分析 总量是 2700 千克 各分量的比是 1 2 12 总份数是 1 2 12 15 答 生石灰 硫磺粉 水分别需要 180 360 和 2160 千 克 在按比例分配的问题中 也可以先求出每份的量 再求 出各个分量 如例 3 中 总份数是 1 2 12 15 每份的量 是 2700 15 180 千克 然后用每份的量分别乘以各分 量的份数 即用 180 千克分别乘以 1 2 12 就可以求出 各个分量 例例 4 4 师徒二人共加工零件 400 个 师傅加工一个零件 用 9 分钟 徒弟加工一个零件用 15 分钟 完成任务时 师 傅比徒弟多加工多少个零件 小学奥数基础教程 六年级 15 分析与解 分析与解 解法很多 这里只用按比例分配做 师傅 与徒弟的工作效率 有多少学生 按比例分配得到 例例 6 6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是 大 客车 30 元 小客车 15 元 小轿车 10 元 某日通过该收费 站的大客车和小客车数量之比是 5 6 小客车与小轿车之 比是 4 11 收取小轿车的通行费比大客车多 210 元 求 这天这三种车辆通过的数量 分析与解 分析与解 大客车 小轿车通过的数量都是与小客车 相比 如果能将 5 6 中的 6 与 4 11 中的 4 统一成 4 6 12 就可以得到大客车 小客车 小轿车的连比 由 5 6 10 12 和 4 11 12 33 得到 大客车 小客车 小轿车 10 12 33 以 10 辆大客车 12 辆小客车 33 辆小轿车为一组 因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多 10 33 30 10 30 元 所以这天通过的车辆共有 210 30 7 组 这天通过 大客车 10 7 70 辆 小客车 12 7 84 辆 小轿车 33 7 231 辆 练习练习 8 8 1 一块长方形的地 长和宽的比是 5 3 周长是 96 米 求这块地的面积 2 一个长方体 长与宽的比是 4 3 宽与高的比是 5 4 体积是 450 分米 3 问 长方体的长 宽 高各多少 厘米 3 一把小刀售价 6 元 如果小明买了这把小刀 那么小明 与小强的钱数之比是 3 5 如果小强买了这把小刀 那么 小明与小强的钱数之比是 9 11 问 两人原来共有多少 钱 5 甲 乙 丙三人分 138 只贝壳 甲每取走 5 只乙就 取走 4 只 乙每取走 5 只丙就取走 6 只 问 最后三人各 分到多少只贝壳 6 一条路全长 60 千米 分成上坡 平路 下坡三段 各段路程的长度之比是 1 2 3 某人走各段路程所用的 时间之比是 3 4 5 已知他走平路的速度是 5 千米 时 他走完全程用多少时间 7 某俱乐部男 女会员的人数之比是 3 2 分为甲 乙 丙三组 甲 乙 丙三组的人数之比是 10 8 7 如 果甲组中男 女会员的人数之比是 3 1 乙组中男 女会 员的人数之比是 5 3 那么丙组中男 女会员的人数之比 是多少 答案与提示练习练习 8 8 1 540 米 2 2 长 100 厘米 宽 75 厘米 高 60 厘米 解 长 宽 高 20 15 12 450000 20 15 12 125 53 长 20 5 100 厘米 宽 15 5 75 厘米 高 12 5 60 厘米 3 86 元 解 设小明有 x 元钱 根据小强的钱数可列方程 36 50 86 元 4 2640 元 5 甲 50 只 乙 40 只 丙 48 只 解 甲 乙 丙 25 20 24 138 25 20 24 2 小学奥数基础教程 六年级 16 甲 2 25 50 只 乙 2 20 40 只 丙 2 24 48 只 6 12 时 7 5 9 第九讲第九讲 百分数百分数 百分数有两种不同的定义 1 分母是分母是 100100 的分数叫做百分数 的分数叫做百分数 这种定义着眼于 形式 把百分数作为分数的一种特殊形式 2 表示一个数 比较数 是另一个数 标准数 的表示一个数 比较数 是另一个数 标准数 的 百分之几的数叫做百分数 百分之几的数叫做百分数 这种定义着眼于应用 用来表 示两个数的比 所以百分数又叫百分比或百分率 百分数通常不写成分数形式 而采用符号 来表 示 叫做百分号 在第二种定义中 出现了比较数 标准数 分率 百 分数 这三者的关系如下 比较数比较数 标准数标准数 分率 百分数 分率 百分数 标准数标准数 分率分率 比较数 比较数 比较数比较数 分率分率 标准数 标准数 根据比较数 标准数 分率三者的关系 就可以解答 许多与百分数有关的应用题 例例 1 1 纺织厂的女工占全厂人数的 80 一车间的男工 占全厂男工的 25 问 一车间的男工占全厂人数的百分 之几 分析与解 分析与解 因为 女工占全厂人数的 80 所以男 工占全厂人数的 1 80 20 又因为 一车间的男工占全厂男工的 25 所以一 车间的男工占全厂人数的 20 25 5 例例 2 2 学校去年春季植树 500 棵 成活率为 85 去年 秋季植树的成活率为 90 已知去年春季比秋季多死了 20 棵树 那么去年学校共种活了多少棵树 分析与解 分析与解 去年春季种的树活了 500 85 425 棵 死了 500 425 75 棵 去年秋季种的树 死了 75 20 55 棵 活了 55 1 90 90 495 棵 所以 去年学校共种活 425 495 920 棵 例例 3 3 一次考试共有 5 道试题 做对第 1 2 3 4 5 题的人数分别占参加考试人数的 85 95 90 75 80 如果做对三道或三道以 上为及格 那么这次考试的及格率至少是多少 分析与解 分析与解 因为百分数的含义是部分量占总量的百分 之几 所以不妨设总量即参加考试的人数为 100 由此得到做错第 1 题的有 100 1 85 15 人 同理可得 做错第 2 3 4 5 题的分别有 5 10 25 20 人 总共做错 15 5 10 25 20 75 题 一人做错 3 道或 3 道以上为不及格 由 75 3 25 人 推知至多有 25 人不及格 也就是说至少有 75 人及格 及格率至少是 75 例例 4 4 育红小学四年级学生比三年级学生多 25 五年 级学生比四年级学生少 10 六年级学生比五年级学生多 10 如果六年级学生比三年级学生多 38 人 那么三至六 年级共有多少名学生 分析 分析 以三年级学生人数为标准量 则四年级是三年 级的 125 五年级是三年级的 125 1 10 六年 级是三年级的 125 1 10 1 10 因为已 知六年级比三年级多 38 人 所以可根据六年级的人数列方 程 解 解 设三年级有 x 名学生 根据六年级的人数可列方 程 x 125 1 10 1 10 x 38 x 125 90 110 x 38 1 2375x x 38 0 2375x 38 x 160 三年级有 160 名学生 四年级有学生 160 125 200 名 五年级有学生 200 1 10 180 名 六年级有学生 160 38 198 名 160 200 180 198 738 名 答 三至六年级共有学生 738 名 在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题溶液配比问题 我们都知 道 将糖溶于水就得到了糖水 其中糖叫溶质 水叫溶剂 糖水叫溶液 如果水的量不变 那么糖加得越多 糖水就 越甜 也就是说 糖水甜的程度是由糖 溶质 与糖水 溶液 糖 水 二者重量的比值决定的 这个比值就叫糖 水的含糖量或糖含量 类似地 酒精溶于水中 纯酒精与 酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量 溶质 溶剂 溶 液及溶质含量有如下基本关系 小学奥数基础教程 六年级 17 溶液重量溶液重量 溶质重量溶质重量 溶剂重量 溶剂重量 溶质含量溶质含量 溶质重量溶质重量 溶液重量 溶液重量 溶液重量溶液重量 溶质重量溶质重量 溶质含量 溶质含量 溶质重量溶质重量 溶液重量溶液重量 溶质含量 溶质含量 溶质含量通常用百分数表示 例如 10 克白糖溶于 90 克水中 含糖量 溶 例例 5 5 有含糖量为 7 的糖水 600 克 要使其含糖量加 大到 10 需要再加入多少克糖 分析与解 分析与解 在 600 克含糖量为 7 的糖水中 有糖 溶质 600 7 42 克 设再加 x 克糖 可使其含糖量加大到 10 此时溶质有 42 x 克 溶液有 600 x 克 根据溶质含量可得方程 需要再加入 20 克糖 例例 6 6 仓库运来含水量为 90 的一种水果 100 千克 一 星期后再测 发现含水量降低到 80 现在这批水果的总 重量是多少千克 分析与解 分析与解 可将水果分成 水 和 果 两部分 一开始 果重 100 1 90 10 千克 一星期后含水量变为 80 果 与 水 的比值为 因为 果 始终是 10 千克 可求出此时 水 的重量为 所以总重量是 10 40 50 千克 练习练习 9 1 某修路队修一条路 5 天完成了全长的 20 照此 计算 完成任务还需多少天 2 服装厂一车间人数占全厂的 25 二车间人数比一 车间少 20 三车间人数比二车间多 30 已知三车间有 156 人 全厂有多少人 3 有三块地 第二块地的面积是第一块地的 80 第 三块地的面积比第二块多 20 三块地共 69 公顷 求三 块地各多少公顷 4 某工厂四个季度的全勤率分别为 90 86 92 94 问 全年全勤的人至少占百分 之几 5 有酒精含量为 30 的酒精溶液若干 加了一定数量 的水后稀释成酒精含量为 24 的溶液 如果再加入同样多 的水 那么酒精含量将变为多少 6 配制硫酸含量为 20 的硫酸溶液 1000 克 需要用 硫酸含量为 18 和 23 的硫酸溶液各多少克 7 有一堆含水量 14 5 的煤 经过一段时间的风干 含水量降为 10 现在这堆煤的重量是原来的百分之几 答案与提示 练习练习 9 9 1 20 天 解 5 20 5 20 天 2 600 人 解 156 1 20 1 30 25 600 人 3 第一 二 三块依次为 25 20 和 24 公顷 解 第 一块地的面积为 69 1 80 80 1 20 25 公顷 第二块地为 25 80 20 公顷 第三块地为 69 25 24 公顷 4 62 解 设全厂有 100 人 则四个季度没有全勤 的共有 10 14 8 6 38 人次 当四个季度没有全勤的人 互不相同时 全年没有全勤的人最多 为 38 人 所以至少 有 100 36 62 人 全勤 即全年全勤率至少为 62 5 20 解 设酒精含量为 30 的酒精溶液有 100 克 则溶质 为 30 克 稀释成酒精含量为 24 的酒精溶液需加水 30 24 100 25 克 若再加入 25 克水 则酒精含量 变为 30 100 25 25 20 6 600 克 400 克 提示 设需要 18 的溶液 x 克 则需要 23 的溶液 100 x 克 根据溶质重量可得 x 18 1000 x 23 1000 20 解得 x 600 7 95 解 设原有 100 吨煤 则有水份 14 5 吨 又设风干掉 水份 x 吨 则由含 现在煤的重量为 100 5 95 吨 是原来的 95 第十讲第十讲 商业中的数学商业中的数学 市场经济中有许多数学问题 同学们可能都有和父母一起 去买东西的经历 都知道商品有定价 但是这个价格是怎 样定的 这就涉及到商品的成本 利润等听起来有些陌生 的名词 这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用 利润利润 售出价售出价 成本 成本 例如 一件商品进货价是 80 元 售出价是 100 元 则 这件商品的利润是 100 80 20 元 利润率是 小学奥数基础教程 六年级 18 在这里我们用 进货价 代替了 成本 实际上成 本除了进货价 还包括运输费 仓储费 损耗等 为简便 有时就忽略不计了 例例 1 1 某商品按每个 7 元的利润卖出 13 个的钱 与按每 个 11 元的利润卖出 12 个的钱一样多 这种商品的进货价 是每个多少元 解 解 设进货价是每个 x 元 由 售出价 进货价 利润 根据前 后两次卖出的钱相等 可列方程 x 7 13 x 11 12 13x 91 12 132 x 41 答 进货价是每个 41 元 例例 2 2 租用仓库堆放 3 吨货物 每月租金 7000 元 这 些货物原计划要销售 3 个月 由于降低了价格 结果 2 个 月就销售完了 由于节省了租仓库的租金 所以结算下来 反而比原计划多赚了 1000 元 问 每千克货物的价格降低 了多少元 分析与解 分析与解 原计划租仓库 3 个月 现只租用了 2 个月 节约了 1 个月的租金 7000 元 如果不降低价格 那么应比 原计划多赚 7000 元 但现在只多赚了 1000 元 说明降价 损失是 7000 1000 6000 元 因为共有 3 吨 即 3000 千克货物 所以每千克货物降 低了 6000 3000 2 元 例例 3 3 张先生向商店订购了每件定价 100 元的某种商品 80 件 张先生对商店经理说 如果你肯减价 那么每减 价 1 元 我就多订购 4 件 商店经理算了一下 若减价 5 则由于张先生多订购 获得的利润反而比原来多 100 元 问 这种商品的成本是多少元 分析与解 分析与解 设这种商品的成本是 x 元 减价 5 就是 每件减 100 5 5 元 张先生可多买 4 5 20 件 由获得利润的情况 可列方程 100 x 80 100 100 5 x 80 20 8000 80 x 100 9500 100 x 20 x 1400 x 70 这种商品的成本是 70 元 由例 2 例 3 看出 商品降价后 由于增加了销售量 所以获得的利润有时反而比原来多 例例 4 4 某商店到苹果产地去收购苹果 收购价为每千克 1 20 元 从产地到商店的距离是 400 千米 运费为每吨货 物每运 1 千米收 1 50 元 如果在运输及销售过程中的损耗 是 10 商店要想实现 25 的利润率 零售价应是每千克 多少元 分析与解 分析与解 本题的成本包括收购价 运费 损耗 每 千克的收购价加运费是 1 20 1 50 400 1000 1 80 元 因为有 10 的损耗 所以每千克的成本为 1 80 1 10 2 00 元 售出价 成本 利润率 1 2 00 25 1 2 50 元 即零售价应是每千克 2 50 元 例例 5 5 小明到商店买了相同数量的红球和白球 红球原价 2 元 3 个 白球原价 3 元 5 个 新年优惠 两种球都按 1 元 2 个卖 结果小明少花了 8 元钱 问 小明共买了多少 个球 例例 6 6 某厂向银行申请甲 乙两种贷款共 40 万元 每 年需付利息 5 万元 甲种贷款年利率为 12 乙种贷款年 利率为 14 该厂申请甲 乙两种贷款的金额各是多少 解 解 设申请甲种贷款 x 万元 则申请乙种贷款 40 x 万元 根据需付利息可得方程 x 12 40 x 14 5 0 12x 5 6 0 14x 5 0 02x 0 6 x 30 万元 40 30 10 万元 答 申请甲种贷款 30 万元 乙种贷款 10 万元 练习练习 1010 1 商店进了一批钢笔 用零售价 10 元卖出 20 支与用零售 价 11 元卖出 15 支的利润相同 这批钢笔的进货价每支多 少元 2 某种蜜瓜大量上市 这几天的价格每天都是前一天 的 80 妈妈第一天买了 2 个 第二天买了 3 个 第三天 买了 5 个 共花了 38 元 若这 10 个蜜瓜都在第三天买 则能少花多少钱 3 商店以每双 13 元购进一批凉鞋 售价为 14 8 元 卖到还剩 5 双时 除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利 88 元 问 这批凉鞋共多少双 4 体育用品商店用 3000 元购进 50 个足球和 40 个篮球 小学奥数基础教程 六年级 19 零售时足球加价 9 篮球加价 11 全部卖出后获利润 298 元 问 每个足球和篮球的进价是多少元 5 某种商品的利润率是 20 如果进货价降低 20 售出价保持不变 那么利润率将是多少 6 某商店到苹果产地去收购苹果 收购价为每千克 1 20 元 从产地到商店的距离是 400 千米 运费为每吨货 物每运 1 千米收费 1 50 元 如果不计损耗 那么商店要想 实现 25 的利润率 零售价应是每千克多少元 减价 10 元出售 全部售完 共获利润 3000 元 书店共售 出这种挂历多少本 答案与提示 练习练习 1010 1 7 元 解 10 20 11 15 20 15 7 元 2 6 元 解 设第一天每个蜜瓜 x 元 由 2x 3x 80 5x 80 38 解得 x 5 元 10 个瓜都在第三天买要花 5 10 80 80 32 元 少花 38 32 6 元 3 9