2016江苏省高三压轴题数学试卷含答案解析

一、 填空题：（本大题共 14 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 70 分， 将答案填在答题纸上） 1 设集合 1, 0,1A ， 0,1, 2, 3B ，则 _. 【命题意图】本题考查集合 交集的概念 等基础知识，意在考查学生的基本运算能力 【答案】 0,1 【解析】 1, 0,1 I 0,1,2,3 = 0,1 . 2. 已知 23 ( , ,i a b i a b R 为虚数单位 ) ，则 _. 【命题意图】本题考查复数的运算，复数概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力 【答案】 1 【解析】 23 3 2 3 , 2 , 1 .i a b i i a b i a b a 3. 已知一个圆锥的母线长为 2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 _. 【命题意图】本题考查 圆锥体积、圆锥展开图等 基础知识，意在考查基本运算能力 【答案】 33 4. 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 _. 【命题意图】本题考查古典概型概率基础知识 ，意 在考查学生的基本运算能力和逻辑推理能力 . 【答案】 13【解析】从中 4个球中 任取两个球 共有 6种基本事件，其中 两个球颜色相同 包含两种基本事件，故 概率为 21=63. 5. 下 图是一个算法流程图，则输出的 x 的值是 _. 【命题意图】本题考查算法流程图、简单的不等式运算基础知识，意在考查基本概念，以及基本运算能力 【答案 】 59 . 【解析】第一次循环： 3, 7，第二次循环： 13, 33，第三次循环：5 9 , 1 5 1，结束循环，输出 6. 已知双曲线 22 1 ( 0 )xy 的 一个焦点为 (3,0) ，直线 10 = 与双曲线右支有交点，则当双曲线离心率最小时双曲线方程为 _. 【命题意图】本小题主要考查 双曲线的离心率 ，双曲线标准方程等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力 【答案】 221547. 若实数 , 2,1,1, 则目标函数 2z x y的最小值为 _. 【命题意图】本题考查线性规划求最值基础知识，意在考查学生的基本运算能力 【答案】 1 【解析】可行域为 及其内部，其中 ( 3 , 4 ) , (1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) ,A B C 直线 2z x y过点 (0,1)C 时取最小值 1 . 8. 设等比数列 n 项和为 ,63,763 987 _.【命题意图】本题考查等比数列的性质及求和等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力 【答案】 48 . 【解析】 由题意得 1 2 3 7a a a， 456 6 3 7 5 6a a a ，所以 7 8 9 5 6 8 4 4 8a a a 9. 将函数 ( )3 c o s s i ny x x x= + ? 的图像向左平移 )0个 单位长度后，所得的图像关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 _. 【命题意图】本题考查三角函数图像与性质等基础知识，意在考查基本运算能力 . 【答案】6 10. 若实数 ,，且22lo g lo g 1，则 22的最小值为 _. 【命题意图】本题考查基本不等式求最值基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力以及运算求解能力 【答案】 4 【解析】因为 22l o g l o g 1 2x y x y ，所 以2 2 2( ) 2 4( ) 4 ,x y x y x y y x y x y 当且仅当时 2 , 2x y x y ，即1 3 , 1 3 取等号，因此 22 的最小值为 4 . 11. 若 函数( ) 3 1 |f x x在定义域的某个子区间1, 1)上不具有单调性，则实数围为 _. 【命题意图】本题考查 函数的图象和性质的综合运用 等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力 【答案】 )35,3432,1( . 【解析】 函数 ()y f x 的图象如图， 11 0 13 或 121133 ，解得21 3k 或 4533k . 12. 已知实数 , 2 2a b c， 0c ，则2取值范围为 _. 【命 题意图】本题考查三角函数最值等基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算 能力 【答案】 33 , 3313. 已知 圆 22:2C x y， 直线 : 2 4 0l x y ， 点00( , )P x 线 l 上若 存在 圆 点 Q ， 使 得 45O o （ O 为坐标原点 ） ，则0 _. 【命题意图】本题考查正弦定理、直线与圆的位置关系基础知识，意在考查运用数形结合思想、分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力 【答案】 80, 5【解析】在 中，设 由正弦定理，得 ，即 P ，得 2 即 2)22( 2020 解得 580 0 x . 14. 已知函数 2()f x ，若存在两条过点 (1, 2)P 且相互垂直的直线与函数 ()实数 a 的取值范围为 _. 【命题意图】本题考查函数与方程、函数图像与性质基础 知识，意在考查分析问题 、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力 【答案】 1( , )8 二、解答题 （ 本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15. （本小题满分 14 分） 已知 ( c o s , s i n ) , ( c o s , s i n ) （ 1）若67 ，求 ab （ 2）若 4 ,58 且 0,2 ，求 ) 的值 【命题意图】本题考查 平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的 能力、基本运算能力 16. （本小题满分 14 分） 如图，在正三棱锥 1 1 1 B C 中， E ， F 分别为 1 中点 . （ 1）求证： /面 1 （ 2）求证：平面 1平面 11 【命题意图】本题考查线面平行及面面垂直的判定定理 等基础知识，意在考查空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、推理论证能力 . 【 解 析 】（ 1 ）连接1 ，连接 Q F 为 点， 111/ / = 2O F C C O F C Q E 为 1点， 111/ / = 2B E C C B E C / / =B E O F B E O 四边形 平行四边形， 4分 /E ， 又 平面 1 平面 1 /面 1 7分 17. （本小题满分 14 分） 如图，两座建筑物 均与水平面垂直，它们的高度分别是 95m，从建筑物 看建筑物 o （ 1） 求 长度 ； （ 2） 在线段 取一点 P(点 P 与点 B， C 不重合 )， 从点 P 看这 两座建筑物的张角分别为 ， ， 问点 P 在何处时 ， ) 最小？ 【命题意图】本题考查解三角形、两角和的正切公式、基本不等式的应用等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，以及运算推理能力 【解析】 (1)如图作 D 于 N 因为 5,9,/ , 所以 ,6 . 设 A N x D A N ， ， 因为 45所以 45 在 和 中， 因为 069t a n , t a n ( 4 5 - ) =， 4分 B C A D P (第 17 题图 ) 所以 ()9 1 t a t a nt a ,化简整理得 2 1 5 5 4 0 ， 解 之 得12 )1 8 3 (， 舍 去 所以 的长度是 18 m 7分 (2)设 BP t ，所以 9 1 5P C = 1 8 - t , t a n = , t a n =18 9分 则t a n t a n 6 61 3 5 0 1 3 5 01 t a n 51( 4 5 2 7 7 22789127) 518a - - 14 分 6301 3 5 02)27( 1 3 5 0)27( 当且仅当 1350t+27=27t ，即t=15 6， () 取 最小 值 15 分 答： P 在距离 B 点 m)27615( 时 , () 最小 16 分 18. （本小题满分 16 分） 已知椭圆 C : 22 1 ( 0 )xy , 经过点 P 3(1, )2，离心率是 32. （ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2） 设直线 l 与椭圆 C 交于 ,以 直径的圆过椭圆右顶点 M ，求证：直线 l 恒 过定点 【命题意图】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，意在考查基本的运算能力、分析问题和解决问题的能力 将 代入 ， 得 225 1 6 1 2 04 ， 解得 65m或 2m （舍） 综上， 直线 l 经 过定点6( ,0) 14分 19. （本小题满分 16 分） 已知函数 ()xf x e ， 2( ) 1 ( , )g x a x b x a b R 网 （ 1）若 0a ，则 a ， b 满足什么条件时，曲线 ()y f x 与 ()y g x 在 0x 处总有相同的切线？ （ 2）当 1a 时，求函数 ()() ()单调减区间； （ 3）当 0a 时，若 ( ) ( )f x g x 对任意的 恒成立，求 b 的取值的集合 . 【命题意图】本小题主要 考查利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立等基础知识，考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力 （ 2）由 1a ， 2 1()xx b e ， 2 ( 2 ) 1()xx b x e ， 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( ( 1 ) )()b x b x x ， 7分 由 ( ) 0 ， 得1 1x，2 1， 当 0b 时，函数 ()y h x 的减区间为 ( ,1 )b ， (1, ) ； 当 0b 时， 函数 ()y h x 的减区间为 ( , ) ； 当 0b 时，函数 ()y h x 的减区间为 ( ,1) ， (1 , )b . 10分 （ 3）由 1a ， 则 ( ) ( ) ( ) 1xx f x g x e b x ， () xx e b ， 当 0b 时 ， ( ) 0x ， 函数 ()x 在 R 上 单调递增 ， 又 (0) 0 ， ( , 0)x 时 ， ( ) 0x ， 与函数 ( ) ( )f x g x 矛盾， 12分 当 0b 时 ， ( ) 0x ， ； ( ) 0x ， ， 函数 ()x 在 ( ,b 单调递减； ( )b 单调递增， 20. （本小题满分 16 分） 等差数列 前 n 项和为 已知 1 2a ， 6 22S . （ 1）求 （ 2）若从 q 的等比数列 中1 1k，且12 nk k k . 当 q 取最小值时，求 通项公式； 若关于 *()n n N 的不等式 16 有解，试求 q 的值 . 【命题意图】本题考查等差数列和等比数列综合应用，等差数列前 列单调性等基础知识，意在考查学生灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力 【解析】 （ 1） 设等差数列的公差为 d ， 则61 16 6 5 2 22S a d ， 解得 23d， 2分 所以 ( 5)3n . 4分 （ 2） 因为 数列 正项递增等差数列， 所以 数列 q ， 若 22 k ， 则由382 a， 得3412 此时 932)34(2 23 由 )2(32932 n， 解得 *310 ， 所以 22 k ， 同理 32 k ； 6分 若 42 k ， 则由 44 a ， 得 2q ， 此时 122 另一方面， 2 ( 2 )3， 所以 2 ( 2 ) 23 ， 即 13 2 2 ， 8分 所以 对任何正整数 n ， 第 223 1 n 项 所以 最小的公比 2q 所以 223 1 10分 附加题部分 21.【 选做题 】 （ 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题， 请选定其中两题 ， 并在相应的答题区域内作 答 若多做，则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） A 【 选修 4 1 几何证明选讲 】（本小题满分 10 分） 如图， 接于 O，点 D 在 延长线上， O 相切，割线 O 相交于点 M， N，若 B=30， ，求命题意图】 本题主要考查 切割线定理等基础知识，意在考查学生平面几何推理证明和逻辑思维能力 . B【 选修 4 2：矩阵与变换 】（本小题满分 10 分） 已知曲线 C ： 1，若矩阵22222222M对应的变换将曲线 C 变为曲线 C ，求曲线 C 的方程 . 【命题意图】本题考查矩阵与向量乘积、相关点法求轨迹方程等基础知识，意在考查运算求解能力 【解析】设曲线 C 一点 ( , )对应于曲线 C 上一点 ( , ) 22222222 ， 22x y x， 22x y y， 5分 2 ，2 ， 122x y y ， 曲线 C 的 方 程 为222. 10分 C.【 选修 4 4：坐标系与参数方程 】（本小题满分 10 分） 在 极坐标系下，已知圆 O：c o s s 和直线 2: s i n ( )42l ， （ 1）求圆 l 的直角坐标方程； （ 2）当 0, 时，求直线 l 与圆 【命题意图】 本题主要考查 极坐标 方程 转化为直角坐标 方程 ，直线与曲线位置关系 等 基本 内容 . 意在考查转化与化归能力、基本运算能力， 方程思想与数形结合思想 . D 【 选修 4 5：不等式选讲 】（本小题满分 10 分） 已知 ,证明：2 2 2 21 1 1( ) 6 3 【命题意图】本题考查利用 均值 不等式证明不等式等基础知识，意在考查综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力 【解析】 因为 ， 均为正数，由均值不等式得 22 2 2 3()a b c a b c 3， 2分 因为 131 1 1 () 3，所以 22 31 1 1( ( ) ) 9 5分 故 222 2 2 2 331 1 1( ( ) ( )a b c a b c a b ) 39 （当且仅当 时取等号） 又 3 2233( ) 9 ( ) 2 2 7 6 3a b c a b c ， （当且仅当433 所以原不等式成立 10 分 【必做题】（第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分 明过程或演算步骤） 22. 如图，在空间直角坐标系 O ，正四棱锥