2008年江苏省高考数学试卷加详细解析

2008 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2008 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷 一 填空题 共一 填空题 共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 70 分 分 1 5 分 2008 江苏 若函数最小正周期为 则 2 5 分 2008 江苏 若将一颗质地均匀的骰子 一种各面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正方体玩具 先后抛掷两次 则出现向上的点数之和为 4 的概率是 3 5 分 2008 江苏 若将复数表示为 a bi a b R i 是虚数单位 的形式 则 a b 4 5 分 2008 江苏 若集合 A x x 1 2 3x 7 x R 则 A Z 中有 个元素 5 5 分 2008 江苏 已知向量 和 的夹角为 120 则 6 5 分 2008 江苏 在平面直角坐标系 xoy 中 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域 E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域 向 D 中随机投一点 则所投点在 E 中的概率是 7 5 分 2008 江苏 某地区为了解 70 80 岁的老人的日平均睡眠时间 单位 h 随机选择了 50 位老人进行 调查 下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表 序 号 i 分组 睡眠时间 组中值 Gi 频数 人数 频率 Fi 1 4 5 4 560 12 2 5 6 5 5100 20 3 6 7 6 5200 40 4 7 8 7 5100 20 5 8 9 8 540 08 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图 则输出的 S 的值为 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 8 5 分 2008 江苏 设直线 y x b 是曲线 y lnx x 0 的一条切线 则实数 b 的值为 9 5 分 2008 江苏 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 设三角形 ABC 的顶点分别为 A 0 a B b 0 C c 0 点 P 0 p 在线段 AO 上的一点 异于端点 这里 a b c p 均为非零实数 设直线 BP CP 分别 与边 AC AB 交于点 E F 某同学已正确求得直线 OE 的方程为 请你完成直线 OF 的方程 10 5 分 2008 江苏 将全体正整数排成一个三角形数阵 按照以上排列的规律 第 n 行 n 3 从左向右的第 3 个数为 11 5 分 2008 江苏 设 x y z 为正实数 满足 x 2y 3z 0 则的最小值是 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 12 5 分 2008 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆的焦距为 2c 以 O 为圆心 a 为半径作圆 M 若过作圆 M 的两条切线相互垂直 则椭圆的离心率为 13 5 分 2008 江苏 满足条件 AB 2 AC BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 14 5 分 2008 江苏 f x ax3 3x 1 对于 x 1 1 总有 f x 0 成立 则 a 二 解答题 共二 解答题 共 12 小题 满分小题 满分 90 分 分 15 15 分 2008 江苏 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 以 Ox 轴为始边作两个锐角 它们的终边分别 交单位圆于 A B 两点 已知 A B 两点的横坐标分别是 1 求 tan 的值 2 求 2 的值 16 15 分 2008 江苏 如图 在四面体 ABCD 中 CB CD AD BD 点 E F 分别是 AB BD 的中点 求证 1 直线 EF 面 ACD 2 平面 EFC 面 BCD 17 15 分 2008 江苏 如图 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 AB 20km BC 10km 为了处理这三家工厂的污水 现要在该矩形区域上 含边界 且与 A B 等距的一点 O 处 建造一个污水处理厂 并铺设三条排污管道 AO BO PO 记铺设管道的总长度为 ykm 1 按下列要求建立函数关系式 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 i 设 BAO rad 将 y 表示成 的函数 ii 设 OP x km 将 y 表示成 x 的函数 2 请你选用 1 中的一个函数关系确定污水处理厂的位置 使铺设的污水管道的总长度最短 18 15 分 2008 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 记二次函数 f x x2 2x b x R 与两坐标轴有三个交 点 经过三个交点的圆记为 C 1 求实数 b 的取值范围 2 求圆 C 的方程 3 问圆 C 是否经过定点 其坐标与 b 的无关 请证明你的结论 19 15 分 2008 江苏 1 设 a1 a2 an是各项均不为零的 n n 4 项等差数列 且公差 d 0 若将此数 列删去某一项后得到的数列 按原来的顺序 是等比数列 i 当 n 4 时 求的数值 ii 求 n 的所有可能值 2 求证 对于给定的正整数 n n 4 存在一个各项及公差均不为零的等差数列 b1 b2 bn 其中任意三项 按原来的顺序 都不能组成等比数列 20 15 分 2008 江苏 已知函数 x R p1 p2为常数 函数 f x 定义为 对每个给定的实数 x 1 求 f x f1 x 对所有实数 x 成立的充分必要条件 用 p1 p2表示 2 设 a b 是两个实数 满足 a b 且 p1 p2 a b 若 f a f b 求证 函数 f x 在区间 a b 上 的单调增区间的长度之和为 闭区间 m n 的长度定义为 n m 21 2008 江苏 如图 ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E BAC 的平分线与 BC 交于点 D 求证 ED2 EB EC 22 2008 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 设椭圆 4x2 y2 1 在矩阵对应的变换作用下得到曲线 F 求 F 的 方程 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 23 2008 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P x y 是椭圆上的一个动点 求 S x y 的最大 值 24 2008 江苏 设 a b c 为正实数 求证 25 2008 江苏 记动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的对角线 BD1上一点 记 当 APC 为 钝角时 求 的取值范围 26 2008 江苏 请先阅读 在等式 cos2x 2cos2x 1 x R 的两边求导 得 cos2x 2cos2x 1 由求导法则 得 sin2x 2 4cosx sinx 化简得等式 sin2x 2cosx sinx 1 利用上题的想法 或其他方法 结合等式 1 x n Cn0 Cn1x Cn2x2 Cnnxn x R 正整数 n 2 证明 2 对于正整数 n 3 求证 i ii iii 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2008 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 共一 填空题 共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 70 分 分 1 5 分 2008 江苏 若函数最小正周期为 则 10 考点 三角函数的 周期性及其 求法 4664233 专题 计算题 分析 根据三角函 数的周期公 式 即 T 可直接 得到答案 解答 解 故答案为 10 点评 本小题考查 三角函数的 周期公式 即 T 2 5 分 2008 江苏 若将一颗质地均匀的骰子 一种各面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正方体玩具 先后抛掷两次 则出现向上的点数之和为 4 的概率是 考点 古典概型及 其概率计算 公式 4664233 专题 计算题 分析 分别求出基 本事件数 点数和为 4 的种数 再 根据概率公 式解答即 可 解答 解析 基本 事件共 6 6 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 个 点数和为 4 的有 1 3 2 2 3 1 共 3 个 故 故填 点评 本小题考查 古典概型及 其概率计算 公式 考查 概率的求法 如果一个事 件有 n 种可 能 而且这 些事件的可 能性相同 其中事件 A 出现 m 种结 果 那么事 件 A 的概率 P A 3 5 分 2008 江苏 若将复数表示为 a bi a b R i 是虚数单位 的形式 则 a b 1 考点 复数的基本 概念 复数 代数形式的 乘除运算 4664233 专题 计算题 分析 利用复数除 法的法则 分子分母同 乘以分母的 共轭复数 解答 解 a 0 b 1 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 因此 a b 1 故答案为 1 点评 本小题考查 复数的除法 运算 4 5 分 2008 江苏 若集合 A x x 1 2 3x 7 x R 则 A Z 中有 6 个元素 考点 交集及其运 算 4664233 分析 先化简集合 A 即解一元 二次不等式 x 1 2 3x 7 再 与 Z 求交 集 解答 解 由 x 1 2 3x 7 得 x2 5x 6 0 A 1 6 因此 A Z 0 1 2 3 4 5 共有 6 个元素 故答案是 6 点评 本小题考查 集合的运算 和解一元二 次不等式 5 5 分 2008 江苏 已知向量 和 的夹角为 120 则 7 考点 向量的模 4664233 专题 计算题 分析 根据向量的 数量积运算 公式得 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 化简后把 已知条件代 入求值 解答 解 由题意 得 7 故答案为 7 点评 本小题考查 向量模的求 法 即利用 数量积运算 公式 进行求解 6 5 分 2008 江苏 在平面直角坐标系 xoy 中 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域 E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域 向 D 中随机投一点 则所投点在 E 中的概率是 考点 古典概型及 其概率计算 公式 4664233 专题 计算题 分析 本题是一个 几何概型 试验包含的 所有事件是 区域 D 表示 边长为 4 的 正方形的内 部 含边界 满足条件的 事件表示单 位圆及其内 部 根据几 何概型概率 公式得到结 果 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 解答 解析 本小 题是一个几 何概型 试验包含的 所有事件是 区域 D 表示 边长为 4 的 正方形的内 部 含边界 面积是 42 16 满足条件的 事件表示单 位圆及其内 部 面积是 12 根据几何概 型概率公式 得到 故答案为 点评 本题考查几 何概型 几 何概型的概 率的值是通 过长度 面 积 和体积 的比值得到 本题是通过 两个图形的 面积之比得 到概率的 值 本题可 以以选择和 填空形式出 现 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 7 5 分 2008 江苏 某地区为了解 70 80 岁的老人的日平均睡眠时间 单位 h 随机选择了 50 位老人进行 调查 下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表 序 号 i 分组 睡眠时间 组中值 Gi 频数 人数 频率 Fi 1 4 5 4 560 12 2 5 6 5 5100 20 3 6 7 6 5200 40 4 7 8 7 5100 20 5 8 9 8 540 08 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图 则输出的 S 的值为 6 42 考点 频率分布表 工序流程图 即统筹图 4664233 专题 图表型 分析 观察算法流 程图知 此 图包含一个 循环结构 即求 G1F1 G2F2 G3F3 G4F4 G5F5的值 再结合直方 图中数据即 可求解 解答 解 由流程 图知 S G1F1 G2F2 G3F3 G4F4 G5F5 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 4 5 0 12 5 5 0 20 6 5 0 40 7 5 0 2 8 5 0 08 6 42 故填 6 42 点评 本题考查读 频率分布直 方图 算法 流程图的能 力和利用统 计图获取信 息的能 力 利用图 表获取信息 时 必须认 真观察 分 析 研究图 表 才能作 出正确的判 断和解决问 题 8 5 分 2008 江苏 设直线 y x b 是曲线 y lnx x 0 的一条切线 则实数 b 的值为 ln2 1 考点 利用导数研 究曲线上某 点切线方 程 4664233 专题 计算题 分析 欲实数 b 的 大小 只须 求出切线方 程即可 故 先利用导数 求出在切点 处的导函数 值 再结合 导数的几何 意义即可求 出切线的斜 率 最后求 出切线方程 与已知直线 方程对照即 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 可 解答 解 y lnx 令 得 x 2 切点为 2 ln2 代入直线方 程 y x b ln2 2 b b ln2 1 故答案为 ln2 1 点评 本小题主要 考查直线的 方程 导数 的几何意义 利用导数研 究曲线上某 点切线方程 等基础知识 考查运算求 解能力 属 于基础题 9 5 分 2008 江苏 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 设三角形 ABC 的顶点分别为 A 0 a B b 0 C c 0 点 P 0 p 在线段 AO 上的一点 异于端点 这里 a b c p 均为非零实数 设直线 BP CP 分别 与边 AC AB 交于点 E F 某同学已正确求得直线 OE 的方程为 请你完成直线 OF 的方程 考点 直线的一般 式方程 归 纳推理 4664233 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 专题 转化思想 分析 本题考查的 知识点是类 比推理 我 们类比直线 OE 的方程为 分析 A 0 a B b 0 C c 0 P 0 p 我们可以类 比推断出直 线 OF 的方程 为 解答 解 由截距 式可得直线 AB 直线 CP 两式相减得 显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程 又原点 O 也 满足此方程 故为所求直 线 OF 的方 程 故答案为 点评 类比推理的 一般步骤是 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 1 找出两 类事物之间 的相似性或 一致性 2 用一类 事物的性质 去推测另一 类事物的性 质 得出一 个明确的命 题 猜想 10 5 分 2008 江苏 将全体正整数排成一个三角形数阵 按照以上排列的规律 第 n 行 n 3 从左向右的第 3 个数为 考点 归纳推理 等比数列的 前 n 项和 4664233 专题 压轴题 规 律型 分析 观察图例 我们可以得 到每一行的 数放在一起 是从一开始 的连续的正 整数 故 n 行的最后一 个数 即为 前 n 项数据 的个数 故 我们要判断 第 n 行 n 3 从左 向右的第 3 个数 可先 判断第 n 1 行 的最后一个 数 然后递 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 推出最后一 个数据 解答 解 本小题 考查归纳推 理和等差数 列求和公 式 前 n 1 行共有 正整数 1 2 n 1 个 即个 因此第 n 行 第 3 个数是 全体正整数 中第 3 个 即为 点评 归纳推理的 一般步骤是 1 通过观 察个别情况 发现某些相 同性质 2 从已知 的相同性质 中推出一个 明确表达的 一般性命题 猜想 11 5 分 2008 江苏 设 x y z 为正实数 满足 x 2y 3z 0 则的最小值是 3 考点 基本不等 式 4664233 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 分析 由 x 2y 3z 0 可推出 代 入中 消 去 y 再利用 均值不等式 求解即可 解答 解 x 2y 3z 0 当且仅当 x 3z 时取 故答案为 3 点评 本小题考查 了二元基本 不等式 运 用了消元的 思想 是高 考考查的重 点内容 12 5 分 2008 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆的焦距为 2c 以 O 为圆心 a 为半径作圆 M 若过作圆 M 的两条切线相互垂直 则椭圆的离心率为 考点 椭圆的简单 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 性质 4664233 专题 计算题 压 轴题 分析 抓住 OAP 是等腰直角 三角形 建 立 a c 的关 系 问题迎 刃而解 解答 解 设切线 PA PB 互相 垂直 又半 径 OA 垂直 于 PA 所以 OAP 是等 腰直角三角 形 故 解得 故答案 为 点评 本题考查了 椭圆的离心 率 有助于 提高学生分 析问题的能 力 13 5 分 2008 江苏 满足条件 AB 2 AC BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 2 考点 三角形中的 几何计算 4664233 专题 计算题 压 轴题 分析 设 BC x 根 据面积公式 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 用 x 和 sinB 表示出三角 形的面积 再根据余弦 定理用 x 表 示出 sinB 代入三角形 的面积表达 式 进而得 到关于 x 的 三角形面积 表达式 再 根据 x 的范 围求得三角 形面积的最 大值 解答 解 设 BC x 则 AC x 根据面积公 式得 S ABC AB BCsinB 2x 根据余弦定 理得 cosB 代入上式得 S ABC x 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 由三角形三 边关系有 解得 2 2 x 2 2 故当 x 2 时 S ABC取得最大 值 2 点评 本题主要考 查了余弦定 理和面积公 式在解三角 形中的应 用 当涉及 最值问题时 可考虑用函 数的单调性 和定义域等 问题 14 5 分 2008 江苏 f x ax3 3x 1 对于 x 1 1 总有 f x 0 成立 则 a 4 考点 利用导数求 闭区间上函 数的最值 4664233 专题 计算题 压 轴题 分析 这类不等式 在某个区间 上恒成立的 问题 可转 化为求函数 最值的问题 本题要分三 类 x 0 x 0 x 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 0 等三种情形 当 x 0 时 不论 a 取何 值 f x 0 都成立 当 x 0 时有 a 可构造函 数 g x 然后利用导 数求 g x 的最大值 只需要使 a g x max 同理可 得 x 0 时的 a 的范围 从 而可得 a 的 值 解答 解 若 x 0 则不论 a 取 何值 f x 0 都 成立 当 x 0 即 x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0 可化为 a 设 g x 则 g x 所以 g x 在区间 0 上单调递 增 在区间 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 1 上单调 递减 因此 g x max g 4 从而 a 4 当 x 0 即 x 1 0 时 f x ax3 3x 1 0 可化为 a g x 在 区间 1 0 上单调递增 因此 g x min g 1 4 从而 a 4 综上 a 4 答案为 4 点评 本题考查的 是含参数不 等式的恒成 立问题 考 查分类讨论 转化与化归 的思想方法 利用导数和 函数的单调 性求函数的 最大值 最 小值等知识 与方法 在 讨论时 容 易漏掉 x 0 的情形 因 此分类讨论 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 时要特别注 意该问题的 解答 二 解答题 共二 解答题 共 12 小题 满分小题 满分 90 分 分 15 15 分 2008 江苏 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 以 Ox 轴为始边作两个锐角 它们的终边分别 交单位圆于 A B 两点 已知 A B 两点的横坐标分别是 1 求 tan 的值 2 求 2 的值 考点 两角和与差 的正切函 数 4664233 分析 1 先由已 知条件得 再求 sin sin 进 而求出 tan tan 最后利用 tan 解之 2 利用第 一问把 tan 2 转化为 tan 求之 再 根据 2 的 范围确定角 的值 解答 解 1 由 已知条件即 三角函数的 定义可知 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 因为 为锐 角 则 sin 0 从 而 同理可得 因此 所以 tan 2 tan 2 tan 又 故 所以由 tan 2 1 得 点评 本题主要考 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 查正切的和 角公式与转 化思想 16 15 分 2008 江苏 如图 在四面体 ABCD 中 CB CD AD BD 点 E F 分别是 AB BD 的中点 求证 1 直线 EF 面 ACD 2 平面 EFC 面 BCD 考点 直线与平面 平行的判定 平面与平面 垂直的判 定 4664233 专题 证明题 分析 1 根据线 面平行关系 的判定定理 在面 ACD 内 找一条直线 和直线 EF 平 行即可 根 据中位线可 知 EF AD EF 面 ACD AD 面 ACD 满 足定理条件 2 需在其 中一个平面 内找一条直 线和另一个 面垂直 由 线面垂直推 出面面垂直 根据线面垂 直的判定定 理可知 BD 面 EFC 而 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 BD 面 BCD 满足 定理所需条 件 解答 证明 1 E F 分别 是 AB BD 的中点 EF 是 ABD 的中位线 EF AD EF 面 ACD AD 面 ACD 直线 EF 面 ACD 2 AD BD E F AD EF BD CB CD F 是 BD 的中 点 CF BD 又 EF CF F BD 面 EFC BD 面 BCD 面 EFC 面 BCD 点评 本题主要考 查线面平行 的判定定理 以及面面 垂 直的判定定 理 考查对 基础知识的 综合应用能 力和基本定 理的掌握能 力 17 15 分 2008 江苏 如图 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 AB 20km BC 10km 为了处理这三家工厂的污水 现要在该矩形区域上 含边界 且与 A B 等距的一点 O 处 建造一个污水处理厂 并铺设三条排污管道 AO BO PO 记铺设管道的总长度为 ykm 1 按下列要求建立函数关系式 i 设 BAO rad 将 y 表示成 的函数 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 ii 设 OP x km 将 y 表示成 x 的函数 2 请你选用 1 中的一个函数关系确定污水处理厂的位置 使铺设的污水管道的总长度最短 考点 在实际问题 中建立三角 函数模型 4664233 分析 1 i 根 据题意知 PQ 垂直平分 AB 在直角 三角形中由 三角函数的 关系可推得 OP 从而得 出 y 的函数 关系式 注 意最后要化 为最简形式 确定自变量 范围 ii 已知 OP 可 得出 OQ 的 表达式 由 勾股定理推 出 OA 易得 y 的函数关系 式 2 欲确定 污水处理厂 的位置 使 铺设的污水 管道的总长 度最短也就 是最小值问 题 1 中 已求出函数 关系式 故 可以利用导 数求解最值 注意结果应 与实际情况 相符合 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 解答 解 由条件知 PQ 垂直平分 AB 若 BAO ra d 则 故 又 OP 10 10tan 所以 所求函数关 系式为 若 OP x km 则 OQ 10 x 所 以 OA OB 所求函数关 系式为 选择 函数模型 令 y 0 得 sin 因为 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 所以 当 时 y 0 y 是 的减函数 当 时 y 0 y 是 的增函数 所以当 时 这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上 在矩形区域 内且距离 AB 边km 处 点评 本小题主要 考查函数最 值的应用 生活中的 优化问题 往往涉及到 函数的最值 求最值可利 用单调性 也可直接利 用导数求最 值 要掌握 求最值的方 法和技巧 在求实际 问题中的最 大值或最小 值时 一般 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 先设自变量 因变量 建 立函数关系 式 并确定 其定义域 利用求函数 最值的方法 求解 注意 结果应与实 际情况相符 合 用导数 求解实际问 题中的最大 小 值时 如果函数在 区间内只有 一个极值点 那么根据实 际意义该极 值点也就是 最值点 18 15 分 2008 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 记二次函数 f x x2 2x b x R 与两坐标轴有三个交 点 经过三个交点的圆记为 C 1 求实数 b 的取值范围 2 求圆 C 的方程 3 问圆 C 是否经过定点 其坐标与 b 的无关 请证明你的结论 考点 二次函数的 图象 圆的 标准方程 4664233 专题 计算题 分析 1 由题意 知 由抛物 线与坐标轴 有三个交点 可知抛物线 不过原点即 b 不等于 0 然后抛物线 与 x 轴有两 个交点即令 f x 0 的 根的判别式 大于 0 即可 求出 b 的范 围 2 设出圆 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 的一般式方 程 根据抛 物线与坐标 轴的交点坐 标可知 令 y 0 得到与 f x 0 一 样的方程 令 x 0 得到 方程有一个 根是 b 即可 求出圆的方 程 3 设圆的 方程过定点 x0 y0 将其代入圆 的方程得 x02 y02 2x0 y 0 b 1 y0 0 因为 x0 y0不依 赖于 b 得取 值 所以得 到 1 y0 0 即 y0 1 代入 x02 y02 2x0 y 0 0 中即可求 出定点的坐 标 解答 解 1 令 x 0 得抛 物线与 y 轴 交点是 0 b 令 f x x2 2x b 0 由题意 b 0 且 0 解得 b 1 且 b 0 2 设所求 圆的一般方 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 程为 x2 y2 Dx Ey F 0 令 y 0 得 x2 Dx F 0 这与 x2 2x b 0 是 同一个方程 故 D 2 F b 令 x 0 得 y2 Ey F 0 方程有一个 根为 b 代入 得出 E b 1 所以圆 C 的 方程为 x2 y2 2x b 1 y b 0 3 圆 C 必 过定点 证 明如下 假设圆 C 过 定点 x0 y0 x0 y0不 依赖于 b 将该点的坐 标代入圆 C 的方程 并变形为 x02 y02 2x0 y 0 b 1 y0 0 为使 式 对所有满足 b 1 b 0 的 b 都成立 必须有 1 y0 0 结合 式得 x02 y02 2x0 y 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 0 0 解得 经检验知 2 1 均 在圆 C 上 因此圆 C 过 定点 点评 本小题主要 考查二次函 数图象与性 质 圆的方 程的求 法 是一道 综合题 19 15 分 2008 江苏 1 设 a1 a2 an是各项均不为零的 n n 4 项等差数列 且公差 d 0 若将此数 列删去某一项后得到的数列 按原来的顺序 是等比数列 i 当 n 4 时 求的数值 ii 求 n 的所有可能值 2 求证 对于给定的正整数 n n 4 存在一个各项及公差均不为零的等差数列 b1 b2 bn 其中任意三项 按原来的顺序 都不能组成等比数列 考点 等差数列的 性质 等比 关系的确定 等比数列的 性质 4664233 专题 探究型 分 类讨论 反 证法 分析 1 根据题 意 对 n 4 n 5 时 数列中各项 的情况逐一 讨论 利用 反证法结合 等差数列的 性质进行论 证 进而推 广到 n 4 的 所有情况 2 利用反 证法结合等 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 差数列的性 质进行论证 即可 解答 解 1 当 n 4 时 a1 a2 a3 a4中不可能 删去首项或 末项 否则 等差数列中 连续三项成 等比数列 则推出 d 0 若删去 a2 则 a32 a1 a4 即 a1 2d 2 a1 a1 3d 化简得 a1 4d 0 得 若删去 a3 则 a22 a1 a4 即 a1 d 2 a1 a1 3d 化简得 a1 d 0 得 综上 得 或 当 n 5 时 a1 a2 a3 a4 a5中同 样不可能删 去 a1 a2 a4 a5 否则出现 连续三项 若删去 a3 则 a1 a5 a2 a4 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 即 a1 a1 4d a1 d a1 3d 化简得 3d2 0 因为 d 0 所以 a3 不能删去 当 n 6 时 不存在这样 的等差数 列 事实上 在数列 a1 a2 a3 an 2 an 1 an中 由 于不能删去 首项或末项 若删去 a2 则必有 a1 an a3 an 2 这与 d 0 矛盾 同样若删去 an 1也有 a1 an a3 an 2 这与 d 0 矛盾 若删去 a3 an 2中 任意一个 则必有 a1 an a2 an 1 这与 d 0 矛盾 或者 说 当 n 6 时 无论删 去哪一项 剩余的项中 必有连续的 三项 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 综上所述 n 4 2 假设对 于某个正整 数 n 存在一 个公差为 d 的 n 项等差 数列 b1 b2 bn 其中 bx 1 by 1 bz 1 0 x y z n 1 为 任意三项成 等比数列 则 b2y 1 bx 1 bz 1 即 b1 yd 2 b1 xd b1 zd 化简得 y2 xz d2 x z 2y b1d 由 b1d 0 知 y2 xz 与 x z 2y 同时 为 0 或同时 不为 0 当 y2 xz 与 x z 2y 同时 为 0 时 有 x y z 与题设 矛盾 故 y2 xz 与 x z 2y 同时 不为 0 所以 由 得 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 因为 0 x y z n 1 且 x y z 为整 数 所以上 式右边为有 理数 从而 为有理 数 于是 对于 任意的正整 数 n n 4 只要为无 理数 相应 的数列就是 满足题意要 求的数列 例如 n 项数 列 1 满足要求 点评 本题是一道 探究性题目 考查了等差 数列和等比 数列的通项 公式 以及 学生的运算 能力和推理 论证能力 20 15 分 2008 江苏 已知函数 x R p1 p2为常数 函数 f x 定义为 对每个给定的实数 x 1 求 f x f1 x 对所有实数 x 成立的充分必要条件 用 p1 p2表示 2 设 a b 是两个实数 满足 a b 且 p1 p2 a b 若 f a f b 求证 函数 f x 在区间 a b 上 的单调增区间的长度之和为 闭区间 m n 的长度定义为 n m 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 考点 指数函数综 合题 4664233 专题 计算题 压 轴题 分类 讨论 分析 1 根据题 意 先证充 分性 由 f x 的定 义可知 f x f1 x 对所 有实数成立 等价于 f1 x f2 x 对所 有实数 x 成 立等价于 即 对所有实数 x 均成立 分 析容易得证 再证必要性 对所有实数 x 均成立等价 于 即 p1 p2 log32 2 分两种 情形讨论 当 p1 p2 log32 时 由中值 定理及函数 的单调性得 到函数 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 f x 在区 间 a b 上的 单调增区间 的长度 当 p1 p2 log32 时 a b 是 两个实数 满足 a b 且 p1 p2 a b 若 f a f b 根据图象和 函数的单调 性得到函数 f x 在区 间 a b 上的 单调增区间 的长度 解答 解 1 由 f x 的定 义可知 f x f1 x 对 所有实数 x 等价于 f1 x f2 x 对 所有实数 x 这又等价于 即 对所有实数 x 均成 立 由于 x p1 x p2 x p1 x p2 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 p1 p2 x R 的最大值 为 p1 p2 故 等价 于 即 p1 p2 log32 这就是所 求的充分必 要条件 2 分两种 情形讨论 i 当 p1 p2 log32 时 由 1 知 f x f1 x 对 所有实数 x a b 则由 f a f b 及 a p1 b 易 知 再由 的单调性可 知 函数 f x 在区间 a b 上的单调增 区间的长度 为 参见示意 图 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 ii p1 p2 log32 时 不妨设 p1 p2 则 p2 p1 log32 于是 当 x p1时 有 从而 f x f1 x 当 x p2时 有 从而 f x f2 x 当 p1 x p2时 及 由方程 解得 f1 x 与 f2 x 图 象交点的横 坐标为 1 显然 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 这表明 x0在 p1与 p2之 间 由 1 易知 综上可知 在区间 a b 上 参见示意 图 故由函数 f1 x 及 f2 x 的单 调性可知 f x 在区 间 a b 上的 单调增区间 的长度之和 为 x0 p1 b p2 由 于 f a f b 即 得 p1 p2 a b lo g32 2 故由 1 2 得 综合 i ii 可知 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 f x 在区 间 a b 上的 单调增区间 的长度和为 点评 考查学生理 解充分必要 条件的证明 方法 用数 形结合的数 学思想解决 问题的能力 以及充分必 要条件的证 明方法 21 2008 江苏 如图 ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E BAC 的平分线与 BC 交于点 D 求证 ED2 EB EC 考点 与圆有关的 比例线段 二阶行列式 与逆矩阵 简单曲线的 极坐标方程 不等式的证 明 4664233 分析 根据已知 EA 是圆的切线 AC 为过切点 A 的弦得两 个角相等 再结合角平 分线条件 从而得到 EAD 是等腰 三角形 再 根据切割线 定理即可证 得 解答 证明 因为 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 EA 是圆的切 线 AC 为过 切点 A 的弦 所以 CAE CB A 又因为 AD 是 BAC 的 平分线 所 以 BAD CA D 所以 DAE DA C EAC B AD CBA ADE 所以 EAD 是等腰三角 形 所以 EA ED 又 EA2 EC EB 所以 ED2 EB EC 点评 此题主要是 运用了弦切 角定理的切 割线定 理 注意 切线长的平 方应是 EB 和 EC 的乘 积 22 2008 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 设椭圆 4x2 y2 1 在矩阵对应的变换作用下得到曲线 F 求 F 的 方程 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 考点 圆的标准方 程 矩阵变 换的性质 4664233 专题 计算题 分析 由题意先设 椭圆上任意 一点 P x0 y0 根据矩阵与 变换的公式 求出对应的 点 P x0 y0 得到两点的 关系式 再 由点 P 在椭 圆上代入化 简 解答 解 设 P x0 y0 是椭圆上任 意一点 则点 P x0 y0 在矩阵 A 对 应的变换下 变为点 P x0 y0 则有 即 所以 又因为点 P 在椭圆上 故 4x02 y02 1 从而 x0 2 y0 2 1 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 所以 曲线 F 的方程是 x2 y2 1 点评 本题主要考 查了矩阵与 变换的运算 结合求轨迹 方程得方法 代入法求解 是一个较综 合的题目 23 2008 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P x y 是椭圆上的一个动点 求 S x y 的最大 值 考点 椭圆的参数 方程 4664233 专题 计算题 转 化思想 分析 先根据椭圆 的标准方程 进行三角代 换表示椭圆 上任意一点 然后利用三 角函数的辅 助角公式进 行化简 即 可求出所 求 解答 解 因椭圆 的 参数方程为 为参数 故可设动点 P 的坐标为 其中 0 2 因此 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 所以 当 时 S 取最大值 2 点评 本题主要考 查了椭圆的 简单性质及 参数方程的 问题 考查 了学生综合 分析问题和 解决问题的 能力 24 2008 江苏 设 a b c 为正实数 求证 考点 平均值不等 式 不等式 的证明 4664233 专题 证