17河南省北大附中河南分校2013届高考押题数学(理)试卷

河南省北大附中河南分校河南省北大附中河南分校 2013 高考押题高考押题 数学 理科 试题数学 理科 试题 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 设设 若 若 则 则 1 4 2 Ax 2 1 Bx BA x A 0 B C 0 或或 D 0 或或2 2 2 2 数列 数列为递增数列为递增数列 的一个充分不必要条件是 的一个充分不必要条件是 n n aaq A B C D 0 1aq 0 0aq 0 0aq 1 0 0 2 aq 3 设实数设实数 x y 满足不等式组满足不等式组 若 若 z 3x y 的最大值是最小值的的最大值是最小值的 2 倍 则倍 则 a 等于等于2 yx xy xa A B 3 C D 2 3 1 2 1 4 若若且且 则 则的可能取值是 的可能取值是 2 0 x 2 0 y tan 32tanyxx yx A B C D 12 4 3 12 7 5 已知已知分别是双曲线分别是双曲线的左 右焦点 若的左 右焦点 若关于渐近线的对称点恰落在关于渐近线的对称点恰落在 21 FF C1 2 2 2 2 b y a x 2 F 以以为圆心 为圆心 为半径的圆上 则为半径的圆上 则的离心率为 的离心率为 1 F 1 OFC A B 3 C D 232 6 某校周四下午第五 六两节是选修课时间 现有甲 乙 丙 丁四位教师可开课 已知甲 某校周四下午第五 六两节是选修课时间 现有甲 乙 丙 丁四位教师可开课 已知甲 乙教师各自最多可以开设两节课 丙 丁教师各自最多可以开设一节课 现要求第五 六两乙教师各自最多可以开设两节课 丙 丁教师各自最多可以开设一节课 现要求第五 六两 节课中每节课恰有两位教师开课 不必考虑教师所开课的班级和内容 节课中每节课恰有两位教师开课 不必考虑教师所开课的班级和内容 则不同的开课方案 则不同的开课方案 共有 共有 种 种 A 15 B 16 C 19 D 20 7 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积等于 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积等于 A B 160 C D 3 160 23264 2888 8 非零向量非零向量 a b 使得使得 abab 成立的一个充分非必要条件是成立的一个充分非必要条件是 A ab B ab C ab ab D 20ab 9 已知球 已知球的直径的直径 是球是球球面上的三点 球面上的三点 是正三角形 且是正三角形 且O4 PQCBA OABC 则三棱锥 则三棱锥的体积为 的体积为 30 CPQBPQAPQABCP A B C D 3 4 3 3 4 9 3 2 3 3 4 27 10 已知集合 已知集合 则任取 则任取 关于 关于的方程的方程 20 20 RcacacaA a cA x 有实根的概率 有实根的概率 02 2 cxax A B C D 2 2ln1 4 2ln21 2 2ln1 4 2ln23 11 函数函数 xxf cos 与函数与函数 1log2 xxg的图象所有交点的横坐标之和为的图象所有交点的横坐标之和为 A 2 B 4 C 6 D 8 12 已知定义在已知定义在上的单调函数上的单调函数 对 对 都有 都有 则方程 则方程 0 f x 0 x 2 log 3f f xx 的解所在的区间是的解所在的区间是 2f xfx A 1 2 B C 0 D 2 3 1 1 2 1 2 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 某某程程序序框框图图如如图图所所示示 则则该该程程序序运运行行后后输输出出的的 值值是是 14 在半径为在半径为 R 的半球内有一内接圆柱 的半球内有一内接圆柱 则这个圆柱的体积的最大值是则这个圆柱的体积的最大值是 15 已知已知 323 0123 23 xaa xa xa x 则则 22 0213 aaaa 16 已知已知为抛物线为抛物线的焦点 的焦点 为坐标原点 点为坐标原点 点为抛物线上的任一点 过点为抛物线上的任一点 过点F 0 2 aayxOM 作抛物线的切线交作抛物线的切线交轴于点轴于点 设 设分别为直线分别为直线与直线与直线的斜率 则的斜率 则 MxN 21 k kMONF 21k k 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 72 分 解答应给出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应给出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 本题满分 12 分 在分 在中 角中 角所对的边为所对的边为 且满足 且满足ABC CBA cba BA2cos2cos AA 6 cos 6 cos2 1 求角 求角的值 的值 B 2 若 若且且 求 求的取值范围 的取值范围 3 bab ca 2 1 18 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知长方体的长 宽 高分别为已知长方体的长 宽 高分别为 3 3 4 从从长长方方体体的的12 条条棱棱中中任任取取两两条条 设设 为为随随机机变变量量 当当两两条条棱棱相相交交时时 当当两条棱平行时 两条棱平行时 的值为两条棱之间的距离 当两条棱异面时 的值为两条棱之间的距离 当两条棱异面时 0 3 1 求概率 求概率 0 P 2 求 求的的分分布布列列及及数数学学期期望望 E 19 如图 已知三棱柱如图 已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直 的侧棱与底面垂直 AA1 AB AC 1 AB AC M N 分别是分别是 CC1 BC 的中点 点的中点 点 P 在线段在线段 A1B1上 且上 且 111 BAPA 1 证明 无论 证明 无论 取何值 总有取何值 总有 AM PN 2 当 当 2 1 时 求直线时 求直线 PN 与平面与平面 ABC 所成角的正切值所成角的正切值 20 本小题满分本小题满分 12 分分 如图 已知椭圆如图 已知椭圆 直线 直线 的方程为的方程为 过右焦点 过右焦点的直线的直线与椭圆交于异与椭圆交于异1 34 22 yx Cl4 xF l N 于左顶点于左顶点的的两点 直线两点 直线 交直线交直线 分别于点分别于点 AQP APAQlMN 当 当时 求此时直线时 求此时直线的方程 的方程 2 9 AQAP l 试试问问 两两点点的的纵纵坐坐标标之之积积是是否否为为定定值值 若若是是 求求出出该该定定值值 若若不不是是 请请说说明明理理由由 MN 21 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数已知函数 1 2 axxxgexf x 若函数若函数在区间在区间上单调递增 求实数上单调递增 求实数的取值范围 的取值范围 xgxfy 1a 记记 若若 则当 则当时 函数时 函数的图象是否总在不等式的图象是否总在不等式 xg xf xh 2 1 0a 1 0 ax xh 所表示的平面区域内 请写出判断过程 所表示的平面区域内 请写出判断过程 xy 请考生在第请考生在第 22 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 如图 如图 A B C D四点共圆 四点共圆 BC与与AD的延长线交于点的延长线交于点E 点 点F在在BA的延长线的延长线 上 上 1 若 若2EAED 3EBEC 求 求 AB CD 的值 的值 2 若 若EF CD 求证 线段 求证 线段FA FE FB成等比数列 成等比数列 23 在直角坐标系在直角坐标系xoy中 曲线中 曲线C的参数方程的参数方程 为为 cos2sin2 2sin1 y x 为参数 为参数 若以直角坐标系的原点为极点 若以直角坐标系的原点为极点 x轴的正半轴为极轴建轴的正半轴为极轴建 立极坐标系 曲线立极坐标系 曲线M的极坐标方程为的极坐标方程为a 2 2 4 sin 其中 其中a为常数 为常数 1 当 当 9 10 a 时 曲线时 曲线M与曲线与曲线C有两个交点有两个交点BA 求求AB的值的值 2 若曲线 若曲线M与曲线与曲线C只有一个公共点 求只有一个公共点 求a的取值范围的取值范围 24 已知函数已知函数21 xxxf 1 解不等式解不等式5 xf 2 若对任意实数若对任意实数x 不等式 不等式axxx 21恒成立 求实数恒成立 求实数a的取值范围的取值范围 北大附中河南分校北大附中河南分校 2013 高考押题高考押题 数学 理科 试题数学 理科 试题参考答案参考答案 1 选择题 选择题 CDCAD CCDBB BA 2 填空题 填空题 13 2012 14 15 1 16 3 9 32 R 2 1 3 解答题 解答题 17 解 解 1 由已知 由已知得得 AABA 6 cos 6 cos22cos2cos 4 分分 AB 22 sin2sin2 AA 22 sin 4 1 cos 4 3 2 化简得化简得 故 故 6 分分 2 3 sin B 3 2 3 B 2 由正弦定理 由正弦定理 得 得 2 sinsinsin B b C c A a CcAasin2 sin2 故故AAAACAcacos 2 3 sin 2 3 3 2 sinsin2sinsin2 2 1 8 分分 6 sin3A 因为因为 所以 所以 10 分分ab 3 2 3 A 266 A 所以所以 12 分分 3 2 3 6 sin3 2 1 Aca 18 解 解 1 若两条棱相交 则交点必为长方体若两条棱相交 则交点必为长方体 8 个顶点中的一个 过任意个顶点中的一个 过任意 1 个顶点恰有个顶点恰有 3 条条 棱 所以共有棱 所以共有对相交棱 因此对相交棱 因此 4 分分 2 3 8C 11 4 66 248 0 2 12 2 3 C C P 2 若两条棱平行则他们的距离为 若两条棱平行则他们的距离为 3 4 5 23 5 分分 33 2 66 44 4 2 12 C P 6 分分 33 2 66 44 5 2 12 C P 7 分分 33 1 66 22 23 2 12 C P 33 16 66 32 66 24 66 24 21 0 23 5 4 1 3 2 12 C PPPPP 8 分分 所以随机变量所以随机变量的分布列为 的分布列为 034523 P 11 4 33 16 33 2 33 2 33 1 12 分分 33 2366 33 1 23 33 2 5 33 2 4 33 16 3 E 19 以以 A 为坐标原点 分别以为坐标原点 分别以 1 AB AC AA为为 x y z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 则则 A1 0 0 1 B1 1 0 1 M 0 1 2 1 N 2 1 2 1 0 0 0 0 0 1 111 BAPA 1 0 11 PAAAAP 1 2 1 2 1 PN 4 分分 1 2 1 1 0 AM 0 2 1 2 1 0 PNAM 无论无论 取何值 取何值 AMPN 6 分分 C N 2 1 2 时 时 11 0 1 0 1 22 PPN 8 分分 而面而面 ABC的法向量 0 0 1n 设设 为为PNABC与面所成角 所成角 则则 2 5 sin 5 PN n PN n A tan2 10 分分 所以直线与所以直线与PN与平面与平面ABC所成角的正切值为所成角的正切值为2 12 分分 20 解 解 当直线当直线的斜率不存在时 由的斜率不存在时 由可知可知方程为方程为PQ 0 1 FPQ1 x 代入椭圆代入椭圆得得又又1 34 22 yx C 2 3 1 2 3 1 QP 0 2 A 不满足不满足 2 分分 2 3 3 2 3 3 AQAP 4 27 AQAP 当直线当直线的斜率存在时 设的斜率存在时 设方程为方程为PQPQ 0 1 kxky 代入椭圆代入椭圆得得 3 分分1 34 22 yx C01248 43 2222 kxkxk 设设得得 4 分分 2211 yxQyxP 2 2 21 2 2 21 43 124 43 8 k k xx k k xx 2 2 2121 2 21 2 21 43 9 1 1 1 k k xxxxkxxkyy 2 9 43 27 4 2 2 2 2 2 2121212121 k k yyxxxxyyxxAQAP 2 6 k 故直线故直线的方程 的方程 6 分分 l 1 2 6 xy 21 解 解 1 因 因 1 2 axxexgxfy x axey x 2 因函数因函数在在上单调递增上单调递增 xgxfy 1x 在在上恒成立上恒成立 02 axey x 1x 4 分分2 ea 2 2222 2 1 1 1 1 21 axx axxe axx axaxxe xh xx 当当时 时 所以函数所以函数在在单调递增 所以单调递增 所以0a 0 1 1 1 21 22 2 22 2 x xe x xxe xh xx xh 0 1 其最小值为其最小值为 而 而在在的最大值为的最大值为 1 所以函数 所以函数图象总在不等式图象总在不等式所表示所表示1 0 hx 0 1 xh yx 的平面区域内的平面区域内 6 分分 当当时 时 1 0 2 a 当 当 函数函数在在单调递减 所以其最小值为单调递减 所以其最小值为 ax 1 1 xh ax 1 1 2 1 1 a e ah a 所以下面判断所以下面判断与与的大小 即判断的大小 即判断与与的大小 其中的大小 其中 1 ah a 1 x exx 1 2 3 11ax 令令 xxexm x 1 12 xexm x 2 x exm 因因所以所以 单调递增 单调递增 2 3 11ax02 x exm xm 所以所以 故存在故存在03 1 em04 2 3 2 3 em 2 3 1 0 x 使得使得012 00 0 xexm x 所以所以在在上单调递减 在上单调递减 在单调递增单调递增 xm 0 1 x 2 3 0 x 所以所以112 0 2 00 2 000 2 00 0 xxxxxxxexmxm x 所以所以时 时 2 3 1 0 x01 0 2 00 xxxm 即即也即也即xxe x 1 1 aha 1 所以函数所以函数图象总在不等式图象总在不等式所表示的平面区域内所表示的平面区域内 12 分分 xhxy 22 1 解 由 解 由A B C D四点共圆 得四点共圆 得CDEABE 又又DECBEA ABE CDE 于是 于是 ABBEAE CDDECE 设设DEa CEb 则由 则由 BEAE DECE 得 得 22 32ba 即 即 2 3 ba 代入代入 得 得 3 6 ABb CDa 5 分分 证明 由 证明 由EF CD 得 得AEFCDE x 2 2 2 2 2 2 O y B A CDEABE AEFEBF 又又BFEEFA BEF EAF 于是 于是 FAFE FEFB 故故FA FE FB成等比数列 成等比数列 10 分分 23 解 解 C 的方程是的方程是 cos2sin2 2sin1 y x 消去参数消去参数 得 得 20 4 2 xxy 2 分分 曲线曲线M的方程的方程a 2 2 4 sin 即即a 2 2 cos 2 2 sin 2 2 转化为直角坐标方程为