湖北省武汉市吴家山中学高三数学 常用逻辑用语误区辩析复习资料 文

1 例析例析 常用逻辑用语常用逻辑用语 中的思维误区中的思维误区 常用逻辑用语 一章 概念较多 抽象性强 对于初学者 困难较大 在教学过程中 笔者发现 有些学生由于受到某些因素的影响 往往望文生义 想当然地去解决问题 导 致频繁出错 为了澄清误解 纠正错误 本文就一些常见的思维误区进行归类剖析 并以示 错的方式呈现出来 希望对大家的学习有所启发 误区之一 对命题概念理解不透 把握不准误区之一 对命题概念理解不透 把握不准 例例 1 1 判断语句 对于 x 1 2 0 有 2x 1 0 是不是命题 错解错解 不是命题 思维误区思维误区 上述解法错误的原因是没能准确理解命题的概念 误认为只有判断语句 陈 述句 才能表示命题 事实上 只要是能够判断真假的语句都是命题 正解正解 是命题 因为 x 1 2 0 即 x 1 时 2x 1 0 不成立 所以该命题为假命题 点拨点拨 判断一个语句是不是命题 关键在于是否能判断真假 何为 可以判断真假 即可以下肯定的判断或否定的判断 另外 从形式上看 命题不只有两种规范形式 若 p 则 q 和 如果 p 那么 q 命题也可写成 只要 p 就有 q 的形式 教材 P3注释 因 此 将题中的语句改写成 若 x 1 2 0 则 2x 1 0 或 只要 x 1 2 0 就有 2x 1 0 是否为命题就一目了然了 例例 2 2 已知命题p 0 则 p对应的x的集合为 1 x2 x 2 A x 1 x 2 B x 1 x 2 C x 2 x 1 D x 2 x 1 错解错解 p的否定 p为 0 即x2 x 2 0 解得 1 x0 得p x 2 或x 1 所以 p对应的x值的取值范围是 1 x2 x 2 x 1 x 2 故选 B 点拨点拨 由真值表知 求否定等价于求补集 即p与 p的并集应是全集 解决此类问题 时 不宜直接通过式子的变形或运算得出命题 p 而是先由原命题为真得出参数的取值范 围 再由p与 p的并集是全集得出 p为真时参数的取值范围 误区之二误区之二 对关键词的否定形式对关键词的否定形式理解失误理解失误 例例 3 3 命题 a b 都是零 的否定是 错解错解 其否定是 a b 都不是零 思维误区思维误区 对关键词 都是 的否定失误 认为 都是 的否定为 都不是 正解正解 其否定是 a b 不都是零 或 a b 中至少有一个不是零 点拨点拨 要把握好命题的否定和正确写出命题的否命题 必须掌握一些关键词语的否 定 如 一定 的否定是 不一定 任意的 的否定是 某个 所有的 的否定 是 某些 至多有 n 个 的否定是 至少有 n 1 个 等等 误区之三 一般命题与全称 特称命题区分不清误区之三 一般命题与全称 特称命题区分不清 例例 4 4 已知命题 a b R 若0ab 则0a 则它的逆否命题是 A a b R 若0a 则0ab B a b R 若0ab 则0a C a b R 若0ab 则0a D a b R 若0a 则0ab 错解错解 选 D 思维误区思维误区 上述解答误解了命题的构成形式 以为原命题是全称命题 2 a b R 是全称量词 从而造成失误 正解正解 选 A 点拨点拨 构造其它形式的命题时 先要弄清命题的大前提 条件和结论 最好将命题改 写成规范格式 如果 那么 或 若 则 的形式 然后依据定义进行构造即可 此例中 a b R 是大前提 而不是全称量词 误区之四 混淆逻辑联结词误区之四 混淆逻辑联结词 或或 与日常生活中的与日常生活中的 或或 的含义的含义 例例 5 5 命题 p 方程的根是 1 命题 q 方程的根是 3 2 230 xx 2 230 xx 则命题 方程的根是 1 或 3 是 命题 填 真 或 假 2 230 xx 错解错解 因为命题 p 与命题 q 都是假命题 而命题 方程的根是 1 或 2 230 xx 3 为形式的命题 故由真值表知其为假命题 填 假 pq 思维误区思维误区 上述解答混淆了逻辑联结词 或 与日常生活中的 或 的涵义 命题 方程的根是 1 或 3 中的 或 不是逻辑联结词 而是 和 的意思 2 230 xx 正解正解 填 真 点拨点拨 要正确理解逻辑联结词 或 与日常生活中的 或 的涵义 一方面 作为逻 辑联结词的 或 用在数学命题上有三层涵义 例如 或就包含了 但1x 2y 1x 但 且 三种情形 而日常生活中的 或 相当于 和 2y 2y 1x 1x 2y 具有二者选其一的涵义 另一方面 作为逻辑联结词 且 与 或 用来联结两个命题或语 句 而作为连词的 且 与 或 用来联结两个对象 误区之五 忽视对逻辑联结词误区之五 忽视对逻辑联结词 或或 与与 且且 的否定的否定 例例 6 6 写出命题 若 则 且 的否命题 22 1 3 0 xx 1x 3x 错解错解 否命题为 若 则 且 22 1 3 0 xx 1x 3x 思维误区思维误区 上解法对结论进行否定时 忽视了对关键词 且 的否定 从而导致失误 正解正解 否命题为 若 则 或 22 1 3 0 xx 1x 3x 点拨点拨 在对含有逻辑联结词 或 与 且 的命题进行否定时 一定要注意 或 的否定为 且 且 的否定为 或 也即它们是互为否定的 误区之六误区之六 充分 必要条件关系颠倒 分不清条件 结论充分 必要条件关系颠倒 分不清条件 结论的的 顺序关系顺序关系 例例 7 7 已知 p 是 r 的充要条件 s 是 r 的必要条件 q 是 s 的必要条件 那么 p 是 q 成 立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 错解错解 选 C 思维误区思维误区 上解答误解了上解答误解了 必要条件必要条件 的概念 未理清条件 结论的的概念 未理清条件 结论的 顺序关系顺序关系 事 实上 必要条件 是由 结论 条件 但条件却不一定能推出结论 正解正解 由题意知 pr s q 但 s 成立不一定能推出 r 成立 所以有qp 但 q 成立不一定能推出 p 成立 所以选 A 点拨点拨 1 要正确理解充要条件的概念 特别是 充要条件 必要条件 的概念 2 判断充要条件的方法主要有定义法 集合法 命题法三种 在进行推理时 要注 意以下二点 一要弄清先后顺序 A 是 B 的充分不必要条件 指的是 但 AB 而 A 的充分不必要条件是 B 则是指 但 二要注重反例的应用 当正BA 面判断命题的正确与否较为困难时 则可通过 举反例说明该命题是错误的 来判断 例例 8 8 使不等式 2x2 5x 3 0 成立的一个充分不必要条件是 A x 0 B x2 C x 1 3 5 D x 或x 3 1 2 错解错解 B 或 D 思维误区思维误区 分不清条件和结论 即分不清是选项推出不等式还是不等式成立推出选 项 3 正解正解 依题意所选选项能使不等式 2x2 5x 3 0 成立 但当不等式 2x2 5x 3 0 成立时 却不一定能推出所选选项 由 2x2 5x 3 0 的得x 3 或x 所以应选 C 1 2 点拨点拨 充分 必要条件颠倒也是常见的导致错误的原因之一 当判断p与q之间的关 系时 要注意方向性 理清推理顺序 然后根据要求作答 另外 解决此类问题时 也要 注意转化 根据命题之间的关系 若是的充分不必要条件 则是的必要不充分pqp q 条件 同理 若是的必要不充分条件 则是的充分不必要条件 若是的pqp q pq 充要条件 则是的充要条件 p q 误区之七 误区之七 忽视原命题中的隐含条件忽视原命题中的隐含条件 例例 8 8 命题 若 则 则其逆否命题是 0 x 2 0 x 错解错解 逆否命题为 若 则 2 0 x 0 x 思维误区思维误区 上解答看似没有问题 但仔细推敲 就会发现漏洞 令 则有xi 但却不成立 因为复数 与实数 0 不能比较大小 这就出现了 原 22 10 xi 0 xi i 命题为真 其逆否命题为假 的怪现象 究其原因 问题出现在原命题的 隐含条件 大 前提 上 事实上 本身隐含了 这个 大前提 但在上解法中却没有0 x xR 体现这个大前提 因此 上述逆否命题不是原命题的逆否命题 正解正解 原命题即为 当时 若 则 其逆否命题为 当时 xR 0 x 2 0 x xR 若 则 2 0 x 0 x 点拨点拨 对于某些命题 要改写为其它形式的命题 最好利用其逆否命题来判别一下是 否等价 若是 则可继续改写 若否 则要进一步明确题中的隐含条件 或大前提 将原 命题补充完整后再继续改写 误区之八误区之八 忽视对忽视对 量词量词 的否定的否定 例例 9 9 已知命题 对任意实数 方程必有实数根 则为 pa 2 0 xaxa p 错解错解 为 对任意实数 方程没有实数根 p a 2 0 xaxa 思维误区思维误区 令 则方程没有实数根 故命题为假命题 令 1a 2 10 xx p0a 则方程有实根 故命题也为假命题 这与 命题与必有一真一假 2 0 x 0