例说探索开放性问题的解题策略

例谈探索开放性问题的解题策略例谈探索开放性问题的解题策略 王玉香 兰州三十二中 邮编 730000 内容摘要内容摘要 数学课程标准 明确指出 自主探索 动手实践 合作交流等是学生学习数学的重要方式 使学生的学习过程成为在 教师引导下的再创造 因此 在数学教学中 以数学开放题为载 体 通过为学生营造开放性 发展性 层次性等特点的问题情境 鼓励学生尝试探索 多角度激活他们的创造性思维 产生尽可能多 尽可能新 尽可能独特的解题方法 以利于培养学生的创新意识 创新能力和创新精神 关健词关健词 开放性问题 解题策略 开放性问题是近年来数学命题的一个新方向 是一种具有开放性 和发散性的问题 由于它具有与传统封闭型题不同的特点 因此在 数学教学中有其特定功能 数学开放题教学通过营造开放性 发展 性 层次性等特点的问题情境 为学生提供了更多的交流与合作的 机会 为充分发挥学生的主体作用创造了条件 数学开放题的教学 过程是学生主动构建 积极参与的过程 有利于培养学生数学意识 让学生真正学会 数学地思维 数学开放题的教学过程也是学生探 索和创造的过程 有利于培养学生的探索开拓精神和创造能力 本 文就数学开放题的几种常见类型 例说探索开放性问题的解题策略 1 条件追溯型 这类问题的基本特征是 针对一个结论 条件 未知需探索 或条件增删需确定 或条件正误需判断 解决这类问 题的基本策略是 执果索因 先寻找结论成立的必要条件 再通过 检验或认证找到结论成立的充分条件 在 执果索因 的过程中 常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否 误将必要条件 当作充分条件 应引起注意 例1 2006湖南高考 若函数f x asin x b sin x 4 4 ab 0 是偶函数 则有序数对 a b 可以是 注 只 要填满足a b 0的一组数字即可 写出你认为正确的一组数字即可 解析 函数f x asin x b sin x 是偶函数 观察易得 4 4 x 与 x 是两个互余的角 当 a b b 时易变形为一个角的一个 4 4 三角函数的形式 不妨令a 1 b 1 故f x sin x sin x 4 4 cosx 2 4 sin 2 2 4 cos 2 2 xx2 故取a 1 b 1 点评 本题为条件探索型题目 其结论明确 需要完备使得结论 成立的充分条件 可将题设和结论都视为已知条件 进行演绎推理 推导出所需寻求的条件 这类题要求学生变换思维方向 有利于培 养学生的逆向思维能力 2 结论探索型 这类问题的基本特征是 有条件而无结论或 结论的正确与否需要确定 解决这类问题的策略是 先探索结论而 后去论证结论 在探索过程中常可先从特殊情形入手 通过观察 分析 归纳 判断来作一番猜测 得出结论 再就一般情形去认证 结论 例2 2007福建高考 中学数学中存在许多关系 比如 相等关系 平行关系 等等 如果集合A中元素之间的一个关系 满足 以下三个条件 1 自反性 对于任意a A 都有a a 2 对称性 对于a b A 若a b 则有b a 3 传递性 对于a b c A 若a b b c 则有a c 则称 是集合A的一个等价关系 例如 数的相等 是等价 关系 而 直线的平行 不是等价关系 自反性不成立 请你再列 出两个等价关系 解析 令A为所有三角形构成的集合 定义 两个三角形全等为关系 则其为等价关系 令B为所有正方形构成的集合 定义 B中两个元素相似为关系 则其为等价关系 点评 本题要求正确理解新概念 的意义 如何能够跳出 题海 全面考察问题的各个方面 不仅可以训练自己的思维 而且 可以纵观全局 从整体上对知识的全貌有一个较好的理解 3 条件重组型 这类问题的基本特征是 改变已知问题的条件 探讨结论相应地会发生什么变化 或者改变已知问题的结论 探讨 条件相应地会发生什么变化 例3 99 年全国高考 是两个不同的平面 m n 是 平面 及 之外的两条不同的直线 给出四个论断 m n n m 以其中的三个论断作为条 件 余下一个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 解析 本题给出了四个论断 要求其中三个为条件 余下一个为结 论 分四种情况逐一验证 依题意可得以下四个命题 1 m n n m 2 m n m n 3 m n n m 4 n m m n 不难发现 命题 3 4 为真命题 而命题 1 2 为假命题 故填上 命题 3 或 4 点评 本题的条件和结论都不是固定的 是可变的 所以这是一 道条件开放结论也开放的全开放性试题 本题可组成四个命题 且 正确的命题不止一个 解题时不必把所有正确的命题都找出 因此 本题的结论也是开放的 4 存在判断型 这类问题的基本特征是 要判断在某些确定 条件下的某一数学对象 数值 图形 函数等 是否存在或某一结论 是否成立 解决这类问题的基本策略是 通常假定题中的数学对象 存在 或结论成立 或暂且认可其中的一部分的结论 然后在这个前 提下进行逻辑推理 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯 定结论 例4 已知f x log a 3 ax 1 当x 0 2 时 函数f x 恒有意义 求a的取值范围 2 是否存在这样的实数a 使得函数f x 在区间 1 2 为减函数 并 且最大值为1 如果存在 求出实数a 的值 如果不存在 说明理 由 解析 1 由题意3 ax 0在x 0 2 上恒成立 则有3 2a 0 所以a的取值范围为0 a 1或1 a 0 为减函数 由题设条件知f 1 1 则loga 3 a 1 解得a 又函数f x 在区间 1 2 有意义 2 3 2 3 a 所以这样的实数a不存在 点评 多个限制条件的存在型问题一种方法是在各个独立条件限 制下 分别求相应的结果 再看这些条件共同限制的情况 从而得 出结论 一种方法是在一个限制条件下分析 然后逐步加入其它限 制条件 实际解题时 据具体题目特点确定解法 总之 对数学探索开放性问题的学习 有利于激发学生的创新 意识 扩大创新视野 使学生积极主动参与创造活动 有利于学生 综合与灵活应用所学的数学知识和数学方法 进行独立的思考探索 和研究 提出解决问题的思路 创造性的解决问题 有利于培养学 生探索 分析 归纳 判断 讨论与证明等方面的能力 使学生经 历一个发现问题 研究问题 解决问题的全过程 使学生的创新精神 和创新