第一章第三节简易逻辑

1 第一章第一章 第三节第三节 简易逻辑简易逻辑 题组一命题的关系及真假的判断 1 原命题 设 a b c R 若 ac2 bc2 则 a b 的逆命题 否命题 逆否命题中真 命题共有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 解析 由题意可知 原命题正确 逆命题错误 所以否命题错误 而逆否命题正确 答案 B 2 2010 惠州模拟 如果命题 p 或 q 是真命题 则正确的是 A p q 均为真命题 B p q 中至少有一个为真命题 C p q 均为假命题 D p q 中至多有一个为真命题 解析 p 或 q 是真命题 p 或 q 为假命题 则 p 和 q 都是假命题 答案 C 3 2009 江西高考 下列命题是真命题的为 A 若 则 x y B 若 x2 1 则 x 1 1 x 1 y C 若 x y 则 D 若 x y 则 x2 y2 xy 解析 等式两边都乘以 xy 得 x y 1 x 1 y 答案 A 4 文 给定下列命题 若 k 0 则方程 x2 2x k 0 有实数根 若 a b 则 a c b c 的否命题 矩形的对角线相等 的逆命题 若 xy 0 则 x y 中至少有一个为 0 的否命题 其中真命题的序号是 解析 4 4 k 4 4k 0 2 是真命题 否命题 若 a b 则 a c b c 是真命题 逆命题 对角线相等的四边形是矩形 是假命题 否命题 若 xy 0 则 x y 都不为零 是真命题 答案 理 2009 安徽高考 对于四面体 ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命 题的编号 相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线 由顶点 A 作四面体的高 其垂足是 BCD 三条高线的交点 若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高 则这两条高的垂足重合 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 解析 正确 A B C D 四点不共面 AB 与 CD 异面 不正确 如图 若 A 在底面 BCD 的射影 O 是 BCD 的三条高线交点 那么延长 BO 交 CD 于 M 则 BM CD 可证 CD 面 ABM 那么 CD AB 即四面体相对棱异面垂直 而一般四面体 ABCD 相对棱不一定垂直 不正确 不正确 如图 作 DM AB 于 M 连结 CM 假设 CM AB 那么 AB 平面 CMD 又 CD 平面 CMD AB CD 而 CD 与 AB 不一定垂直 不正确 3 显然成立 如图 取各棱中点 M N P Q S T MNPQ 的对角线 MP 与 NQ 交于一点 O 同理 MSPT 的对角线 MP 与 ST 也交于点 O 三条线 MP NQ ST 交于一点 O 答案 题组二充分条件必要条件的判定 5 2009 安徽高考 a c b d 是 a b 且 c d 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 a c b d a b 且 c d 充分性不成立 a b 且 c d a c b d 必要性成立 答案 A 6 2009 陕西高考 m n 0 是 方程 mx2 ny2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 把椭圆方程化成 1 若 m n 0 则 0 所以椭圆的焦点在 y 轴上 x2 1 m y2 1 n 1 n 1 m 反之 若椭圆的焦点在 y 轴上 则 0 即有 m n 0 1 n 1 m 答案 C 7 下列选项中 p 是 q 的必要不充分条件的是 A p ac2 bc2 q a b B p a 1 b 1 q f x ax b a 0 且 a 1 的图象不过第二象限 C p x 1 q x2 x D p a 1 q f x logax a 0 且 a 1 在 0 上为增函数 解析 a b ac2 bc2 但 ac2 bc2 a b 答案 A 4 题组三充分条件与必要条件的应用 8 设集合 U x y x R y R A x y 2x y m 0 B x y x y n 0 那么点 P 2 3 A UB 的充要条件是 A m 1 n 5 B m 1 n 5 C m 1 n 5 D m 1 n 5 解析 P 2 3 A UB P 2 3 A 且 P 2 3 UB 由 P 2 3 A 可得 2 2 3 m 0 m 1 由 P 2 3 UB 可得 2 3 n 0 n 5 答案 A 9 e1 e2是不共线的两个向量 a e1 ke2 b ke1 e2 则 a b 的充要条件是实 数 k 解析 a b 1k k k2 1 k 1 答案 1 10 设命题 p 4x 3 2 1 命题 q x2 2a 1 x a a 1 0 若 p 是 q 的必要 充分条件 求实数 a 的取值范围 解 设 A x 4x 3 2 1 B x x2 2a 1 x a a 1 0 易知 A x x 1 1 2 B x a x a 1 由 p 是 q 的必要不充分条件 从而 p 是 q 的充分不必要条件 即 A B 1 2 11 a a 或 1 2 11 a a 故所求实数 a 的取值范围是 0 1 2 题组四反证法的应用 11 用反证法证明 若整系数一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有有理数根 那么 a b c 中至少有一个偶数时 下列假设正确的是 A 假设 a b c 都是偶数 5 B 假设 a b c 都不是偶数 C 假设 a b c 至多有一个偶数 D 假设 a b c 至多有两个偶数 解析 至少有一个 的否定为 都不是 答案 B 12 设 a b c 0 则 a b c 1 b 1 c 1 a A 都不大于 2 B 都不小于 2 C 至少有一个不大于 2 D 至少有一个不小于 2 解析 假设 a b c 都小于或等于 2 1 b 1 c 1 a 即 a 2 b 2 c 2 1 b 1 c 1 a 将三式相加 得 a b c 6 1 b 1 c 1 a 又因为 a 2 b 2 c 2 1 a 1 b 1 c 三式相加 得 a b c 6 1 b 1 c 1 a 所以 a b c 6 成立 1 b 1 c 1 a 答案 A 13 已知 a b c 是互不相等的实数 求证 由 y ax2 2bx c y bx2 2cx a 和 y cx2 2ax b 确定的三条抛物线至少 有一条与 x 轴有两个不同的交点 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点 即任何一 条 抛物线与 x 轴没有两个不同的交点 由 y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2