第三章第3节 三角函数的图象和性质

1 第三章第三章 第三节第三节 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 题组一三角函数的定义域问题 1 函数 y tan的定义域是 4 x A x x x R 4 B x x x R 4 C x x k k Z x R 4 D x x k k Z x R 3 4 解析 x k x k k Z 4 2 3 4 答案 D 2 求下列函数的定义域 1 y cosxtanx 2 y lg 2sinx 1 tanx 1 cos f x 2 f 8 解 1 要使函数有意义 则Error Error 即Error Error k Z 所以 2k x 2k k Z 2 所以函数 y 的定义域是 cosxtanx x 2k x 2k k Z 2 2 由函数式有意义得Error Error 得Error Error k Z 即Error Error k Z 求交集得 2k x 2k k Z 2 3 4 所以函数的定义域是 x 2k x 2k k Z 2 3 4 2 题组二三角函数的单调性 3 若函数 y sinx f x 在 内单调递增 则 f x 可以是 4 3 4 A 1 B cosx C sinx D cosx 解析 y sinx cosx sin x x 满足题意 所以 f x 可以是 cosx 2 4 2 4 2 答案 D 4 求 y 3tan 的周期及单调区间 6 x 4 解 y 3tan 3tan 6 x 4 x 4 6 T 4 y 3tan 的周期为 4 6 x 4 由 k k 得 4k x 4k k Z 2 x 4 6 2 4 3 8 3 y 3tan 在 4k 4k k Z 内单调递增 x 4 6 4 3 8 3 y 3tan 在 4k 4k k Z 内单调递减 6 x 4 4 3 8 3 题组三三角函数的值域与最值 5 已知函数 y sinx 的定义域为 a b 值域为 1 则 b a 的值不可能是 1 2 A B C D 3 2 3 4 3 解析 画出函数 y sinx 的草图分析知 b a 的取值范围为 2 3 4 3 答案 A 6 已知函数 f x 2sin x 0 在区间 上的最小值是 2 则 的最小值等于 3 4 A B C 2 D 3 2 3 3 2 解析 由题意知Error Error 解得 3 2 3 答案 B 7 设函数 f x 2cos2x sin2x a a 为实常数 在区间 0 上的最小值为 4 那么 a 3 2 的值等于 A 4 B 6 C 4 D 3 解析 y cos2x sin2x a 1 2sin 2x a 1 3 6 x 0 2x 2 6 6 7 6 ymin 2 a 1 a 4 1 2 答案 C 8 2010 诸城模拟 设函数 f x 2cos2x 2sinx cosx m m x R 3 1 化简函数 f x 的表达式 并求函数 f x 的最小正周期 2 当 x 0 时 求实数 m 的值 使函数 f x 的值域恰为 2 1 2 7 2 解 1 f x 2cosx 2sinxcosx m 3 1 cos2x sin2x m 3 2sin 2x m 1 6 函数 f x 的最小正周期 T 2 0 x 2 2x 6 6 7 6 sin 2x 1 1 2 6 m f x m 3 又 f x 故 m 1 2 7 2 1 2 题组四图象和性质的综合应用 9 2009 江西高考 函数 f x 1 tanx cosx 的最小正周期为 3 A 2 B C D 3 2 2 解析 f x 1 tanx cosx cosx sinx 33 4 2sin x T 2 6 2 答案 A 10 2009 福建四地六校联考 若函数 f x 同时满足下列三个性质 最小正周期为 图象关于直线 x 对称 在区间 上是增函数 则 y f x 的解析式 3 6 3 可以是 A y sin 2x B y sin 6 x 2 6 C y cos 2x D y cos 2x 6 3 解析 逐一验证 由函数 f x 的周期为 故排除 B 又 cos 2 cos 0 故 y cos 2x 的图象不关于直线 x 对称 3 6 2 6 3 令 2k 2x 2k 得 k x k k Z 2 6 2 6 3 函数 y sin 2x 在 上是增函数 6 6 3 答案 A 11 已知 f x sin x 0 f f 且 f x 在区间 有最小值 无最大值 3 6 3 6 3 则 解析 由 f f 6 3 知 f x 的图像关于 x 对称 且在 x 处有最小值 4 4 2k 4 3 2 有 8k k Z 10 3 又 T 1 2 3 6 6 6 故 k 1 14 3 答案 14 3 5 12 文 若 a cos x sin x b sin x 0 其中 0 记函数 f x a b b k 3 1 若函数 f x 的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于 求 的取值范围 2 2 若函数 f x 的最小正周期为 且当 x 时 函数 f x 的最大值是 求 6 6 1 2 函数 f x 的解析式 并说明如何由函数 y sinx 的图象变换得到函数 y f x 的图 象 解 a cos x sin x b sin x 0 3 a b cos x sin x sin x 3 故 f x a b b k sin xcos x sin2 x k 3 sin2 x k sin2 x cos2 x k 3 2 1 cos2 x 2 3 2 1 2 1 2 sin 2 x k 6 1 2 1 由题意可知 1 T 2 2 2 又 0 0 1 2 T 1 2 2 f x sin 2x k 6 1 2 x 2x 6 6 6 2 6 从而当 2x 即 x 时 f x max f sin k k 1 6 6 6 6 6 1 2 1 2 k 故 f x sin 2x 1 2 6 由函数 y sinx 的图象向右平移 个单位长度 得到函数 y sin x 的图象 再将得 6 6 到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 得到函数 1 2 y sin 2x 的图象 6 理 2009 重庆高考 设函数 f x sin x 2cos2x 1 4 6 8 1 求 f x 的最小正周期 6 2 若函数 y g x 与 y f x 的图象关于直线 x 1 对称 求当 x 0 时 y g x 的 4 3 最大值 解 1 f x sin xcos cos xsin cos x 4 6 4 6 4 sin x cos x 3 2 4 3 2 4 sin x 3 4 3 故 f x 的最小正周期为 T 8 2 4 2 法一 在 y g x 的图象上任取一点 x g x 它关于 x 1 的对称点为 2 x g x 由题设条件 点 2 x g x 在 y f x 的图象上 从而 g x f 2 x sin 2 x 3 4 3 sin x 3 2 4 3 cos x 3 4 3 当 0 x 时 x 因此 y g x 在区间 0 上的最大值为 4 3 3 4 3 2 3 4 3 gmax cos 3 3 3 2 法二 因区间 0 关于 x 1 的对称区间为 2 且 y g x 与