第七章第四节曲线与方程

1 第七章第七章 第四节第四节 曲线与方程曲线与方程 题组一直接法或定义法求轨迹方程 1 若点 P 到直线 x 1 的距离比它到点 2 0 的距离小 1 则点 P 的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 由题意知 点 P 到点 2 0 的距离与 P 到直线 x 2 的距离相等 由抛物线 定 义得点 P 的轨迹是以 2 0 为焦点 以直线 x 2 为准线的抛物线 答案 D 2 已知两点 M 2 0 N 2 0 点 P 为坐标平面内的动点 满足 MNMPMNNP 0 则动点 P x y 的轨迹方程为 A y2 8x B y2 8x C y2 4x D y2 4x 解析 MN 4 MP x 2 2 y2 MN MP 4 x 2 4 4 x 2 0 y2 8x x 2 2 y2 答案 B 3 如图 一圆形纸片的圆心为 O F 是圆内一定点 M 是圆周 上一动点 把纸片折叠使 M 与 F 重合 然后抹平纸片 折痕 为 CD 设 CD 与 OM 交于点 P 则点 P 的轨迹是 A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 圆 解析 由题意知 CD 是线段 MF 的垂直平分线 MP PF PF PO PM PO MO 定值 又显然 MO FO 点 P 轨迹是以 F O 两点为焦点的椭圆 答案 A 2 题组二代入法 相关点法 求轨迹方程 4 已知动点 P 在曲线 2x2 y 0 上移动 则点 A 0 1 与点 P 连线中点的轨迹方程是 A y 2x2 B y 8x2 C 2y 8x2 1 D 2y 8x2 1 解析 设 AP 的中点 M x y P x0 y0 则有 x0 2x y0 2y 1 代入 2x y0 0 得 2y 8x2 1 2 0 答案 C 5 设动点 P 是抛物线 y 2x2 1 上任意一点 定点 A 0 1 点 M 分PA 所成的比 为 2 1 则点 M 的轨迹方程是 解析 设 M 为 x y M 分PA 为 2 A 为 0 1 P 为 3x 3y 2 P 为 y 2x2 1 上一点 3y 2 2 9x2 1 18x2 1 y 6x2 1 3 答案 y 6x2 1 3 6 从双曲线 x2 y2 1 上一点 Q 引直线 x y 2 的垂线 垂足为 N 则线段 QN 的中 点 P 的轨迹方程为 解析 设 P x y Q x1 y1 则 N 2x x1 2y y1 N 在直线 x y 2 上 2x x1 2y y1 2 又 PQ 垂直于直线 x y 2 1 y y1 x x1 即 x y y1 x1 0 由 得Error 又 Q 在双曲线 x2 y2 1 上 x y 1 2 12 1 x y 1 2 x y 1 2 1 3 2 1 2 1 2 3 2 整理 得 2x2 2y2 2x 2y 1 0 即为中点 P 的轨迹方程 答案 2x2 2y2 2x 2y 1 0 题组三参数法求轨迹方程 7 平面直角坐标系中 已知两点 A 3 1 B 1 3 若点 C 满足OC 1OA 2OB O 为原点 其中 1 2 R 且 1 2 1 则点 C 的轨迹是 3 A 直线 B 椭圆 C 圆 D 双曲线 解析 设 C x y 则OC x y OA 3 1 OB 1 3 OC 1OA 2OB Error 又 1 2 1 x 2y 5 0 表示一条直线 答案 A 8 2009 盐城模拟 已知点 P x y 对应的复数 z 满足 z 1 则点 Q x y xy 的轨迹是 A 圆 B 抛物线的一部分 C 椭圆 D 双曲线的一部分 解析 由题意知 x2 y2 1 x y 2 2xy 1 令 x y m xy n 则有 m2 2n 1 m2 2n 1 又 2 xy x2 y2 1 n 1 2 1 2 点 Q 的轨迹是抛物线的一部分 答案 B 9 设椭圆方程为 x2 1 过点 M 0 1 的直线 l 交椭圆于 A B 两点 O 是坐标原点 y2 4 点 P 满足OP OA OB 当 l 绕点 M 旋转时 动点 P 的轨迹方程为 1 2 解析 直线 l 过点 M 0 1 设其斜率为 k 则 l 的方程为 y kx 1 设 A x1 y1 B x2 y2 由题设可得点 A B 的坐标 x1 y1 x2 y2 是方程组 Error 的解 将 代入 并化简得 4 k2 x2 2kx 3 0 所以Error 于是OP OA OB 1 2 x1 x2 2 y1 y2 2 k 4 k2 4 4 k2 设点 P 的坐标为 x y 则 4 Error 消去参数 k 得 4x2 y2 y 0 当 k 不存在时 A B 中点为坐标原点 0 0 也满足方程 所以点 P 的轨迹方程为 4x2 y2 y 0 答案 4x2 y2 y 0 题组四曲线和方程的综合问题 10 设动点 P 在直线 x 1 上 O 为坐标原点 以 OP 为直角边 点 O 为直角顶点作等 腰 Rt OPQ 则动点 Q 的轨迹是 A 圆 B 两条平行直线 C 抛物线 D 双曲线 解析 设 P 1 t Q x y 由题意 OP OQ x2 y2 1 t2 又OP OQ 0 x ty 0 t y 0 x y 把 代入 得 x2 y2 y2 1 0 即 y 1 答案 B 11 已知圆 C 的方程为 x2 y2 4 1 直线 l 过点 P 1 2 且与圆 C 交于 A B 两点 若 AB 2 求直线 l 的方程 3 2 过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m 设 m 与 y 轴的交点为 N 若向量 OQ OM ON 求动点 Q 的轨迹方程 并说明此轨迹是什么曲线 解 1 当直线 l 垂直于 x 轴时 直线方程为 x 1 l 与圆的两个交点坐标为 1 3 和 1 其距离为 2满足题意 33 当直线 l 不垂直于 x 轴时 设其方程为 y 2 k x 1 即 kx y k 2 0 设圆心到此直线的距离为 d 则 2 2 得 d 1 34 d2 1 k k 2 k2 1 3 4 故所求直线方程为 3x 4y 5 0 综上所述 所求直线方程为 3x 4y 5 0 或 x 1 2 设点 M 的坐标为 x0 y0 y0 0 5 Q 点坐标为 x y 则 N 点坐标是 0 y0 OQ OM ON x y x0 2y0 即 x0 x y0 y 2 又 x y 4 x2 4 y 0 2 02 0 y2 4 Q 点的轨迹方程是 1 y 0 x2 4 y2 16 轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆 除去短轴端点 12 2009 宁夏 海南高考 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点 焦点在 x 轴 上 它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 1 求椭圆 C 的方程 2 若 P 为椭圆 C 上的动点 M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点 求点 OP OM M 的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 解 1 设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a c 由已知得Error 解得 a 4 c 3 所以椭圆 C 的方程为 1 x2 16 y2 7 2 设 M x y 其中 x 4 4 由已知 2及点 P 在椭圆 C 上可得 OP 2 OM 2 2 9x2 112 16 x2 y2 整理得 16 2 9 x2 16 2y2 112 其中 x 4 4 时 化简得 9y2 112 3 4 所以点 M 的轨迹方程为 y 4 x 4 轨迹是两条平行于 x 轴的线段 4 7 3 时 方程变形为 1 3 4 x2 1