吉林省长春市2016届高三质量监测文科数学试卷（四）含答案

第 1 页 共 9 页 2016 四模文科 长春市普通高中 2016 届高三质量监测（四） 数学文 科 第 卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知 集合 4 2 1 , 5 A ， ， ， | 2 B x y x ，则 元素的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知 复数 z 满足 52z i ，则 |z A. 2 B. 5 C. 3 D. 5 3. 设 , ， 则“22lo g lo 是“ 21 ”的 与平面 ， ，下列命题中 错误 的是 ,， 则 B. 若 , / / ， 则 , ， 则 D. 若 m n n / , ， 则 m / 5. 执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 8 ，则判断框内可填入的条件是 A. 34sB. 56sC. 1112sD. 2524s6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” .“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等 图所示的几何体满足“幂势同”，则 该 不规则 几何体的 体 积为 第 2 页 共 9 页 2016 四模文科 A. 42B. 483C. 8 D. 82 7. 函数 ( ) s i n ( ) ( 0 0 0 )2f x A x A ,的部分图象如图所示，则 2()9f A. 3 B. 1 C. 2 D. 2 8. 已知等比数列 足1 5 49 1 0a a a a 2,， 则数列 q A. 13B. 13C. 23D. 3 x x 的大致图像为 10. 如图，从高为 h 的气球 ()A 上测量待建规划铁桥 ()长，如果测得桥头 ()B 的俯角是 ，桥头 ()C 的俯角是 ，则桥 长为 A. )B. )C. )D. )11. 棱长为 1 的正四面体 ， E 为棱 一点（不含 两点），点 E 到平面 平面 距离分别为 ,则 11最小值为 第 3 页 共 9 页 2016 四模文科 A. 2 B. 23 C. 763D. 26 12. M 为双曲线 22: 1 ( 0 0 )a ,右支上一点， A 、 F 分别为双曲线 的左顶点和右焦点，且为等边三角形， 则双曲线 C 的离心率为 B. 51 C. 2 D. 6 第 卷 （非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题 24题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题 (本大题包括 4小题，每小题 5分，共 20 分，把正确答案填在答题 卡 中的横线上 ). | a |=| b | ， 2 （ ）a b a ，则 a 与 b 的夹角为 _ 14. 等差数列 n 项和为已知10 0S ，15 25S ，则使小值的 n 等于 . 15. 已知圆 C 的圆心在直线 2 1 0 上，且经过原点和点 ( 1, 5) ，则圆 C 的方程为 _. 16. 下列说法中正确的有： _.（将你认为正确的命题序号 全部填在横线上） 电影院调查观众的某一指标，通知“每排（每排人数相等）座位号为 14 的观众留下来座谈”是系统抽样； 推理过程“因为指数函数 是增函数，而 2是指数函数，所以 2是增函数”中，小前提是错误的； 对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心； 在判断两个变量 y 与 x 是否相关时，选择了 3 个不同的模型，它们的相关指数 2R 分别为：模型 1 为098. ，模型 2 为 080. ，模型 3 为 050. ； 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) c o s ( ) s i x x x . （ 1）利用“五点法”列表，并画出 ()33 ,上的图象； （ 2） 分别是锐角 中角 的对边 a ， 3()2求 面积 的取值范围 . 18. （本小题满分 12 分） 某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性。检查人员从中随机抽取 5 件，通过对其加以不同的电压（单位：伏 特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表： 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00 6 0 8 1 4 1 2 1 5 编 号 电 压电 流 . . . . .()()（ 1）试估计如对该批次某件产品加以 110 伏电压，产生的电流是多少？ （ 2）依据其行业标准 ，该类产品电阻在 18,22内为合格 品 ，电阻的计算方法是电压除以电流现从上述件产品中随机抽件，求这两件产品中至少有一 件是合格品的概率 （附： 回归方程： y bx a， 1221()y n x yb a y b xx n x ， 第 4 页 共 9 页 2016 四模文科 参考数据： ） 552 1 i = 1= 2 0 1 1 = 1 2 1 2 2 5 0y x y x, . , , 19. （本小题满分 12 分） 在四棱锥 P 中， D ， 平面 2 2 3A D = B C = ， 30 ，M 为 点 . （ 1）证明： 面 （ 2）若三棱锥 M 的体积为 36，求 M 到平面 距离 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 : 1 ( 0 ) = a 22 的左、右焦点分别为12过点1l 交椭圆于 两 点， 的最小值为 3，且2. （ 1）求椭圆的方程； （ 2）当直线 l 不垂直于 x 轴时，点 A 关于 x 轴的对称点为 A ，证明直线 恒过定点，并求此定点坐标 . 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) l n ( )f x = x + a x a R. （ 1）若曲线 ()y= f x 在点 (1, (1)f 处与直线 32y = x 相切，求 a 的值； （ 2）若 ()f x a 恒成立，求 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果 多做，则按所做的第一题记分 . 22. （本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 . 如图， 圆 O 的直径，弦 延长线相交于点 M ， 直 延 长线于点 N . 第 5 页 共 9 页 2016 四模文科 （ 1） 求证： 的角平分线 ； (2) 求证： 2 2 2 2B M A B A M A B A N . 23. （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 . 在极坐标系中，点 P 的坐标是 (1,0) ，曲线 C 的方程为 2 2 c o s ( )4轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1 的直线 l 经过点 P . （ 1）写出 直线 l 的参数方程和 曲线 C 的直角坐标方程 ； （ 2）若 直线 l 和 曲线 C 相交于两点 ，求 22| | | |P A P B 的值 . 24. （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 . 已知函数 ( ) | 1 | | 2 |f x x x ， 不等式 ()f x t 对 xR 恒 成 立 . (1)求 t 的取值范围； (2) 记 t 的最大值为 T ，若正实数 满足 22a b T，求证： 2611 2. 长春市普通高中 2016 届高三质量监测（ 四 ） 数学 (文 科 )参考答案及评分标准 一、选择题 (本大题包括 12小题 ，每小题 5分，共 60分 ) 1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C 7. B 8. B 9. C 10. A 11. D 12. A 简答与提示： 1. 【试题解析】 C 由题意可知 2| 所以 1, 2 , 5I . 故选 C. 2. 【试题解析】 B 复数 22 5,则 5| z . 故选 B. 3. 【试题解析】 A “ 2 ”等价于“ 0，“ 12 等价于“ ”，故 选 A. 4. 【试题解析】 D D 选项，若 ，则 m 或 m ，所以 D 错误 . 故选 D. 5. 【 试题解析】 C 由程序框图可知，要输出 8k ，需1211614121 242581614121 而1211s. 故选 C. 6. 【试题解析】 C 由 祖暅原理 可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相 等 ，图示 几何体第 6 页 共 9 页 2016 四模文科 是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为 8 . 故选 C. 7. 【试题解析】 B 由题意 可知 3 , , 26 A ， 进而 2 s i n 36f x x ，从而 2( ) 19f . 故选 B. 8. 【试题解析 】 B 由 109424251 ，且 n 可知 92 a ， 14a ，可求得31q（31. 故选 B. 9. 【试题解析】 C 由题意，定义域为 0| 排除 A；当 x 时， y ，排除 B；当 0 ，单调递增，排除 D. 故选 C. 10. 【试题解析】 A 设气球在地面上的射影点为 D ，在 中，在 中，s i n ( )s i n ( )s i n s i n s i h . 故选 A. 11. 【试题解析】 D 连结 ,E ，由正四面体棱长为 1，有 63由于A B C D E B C D E A C V ，有 63 ，由 2a b 可得214 6()a b a b ，所以 1 1 6 1 263a b a b . 故选 D. 12. 【试题解析】 A 由题意可知，设双曲线左焦点为 F ，由 为等边三角形 ，所以| | | |M F A F a c ，从而 | | 3M F a c ，在 中，由余弦定理得，2 2 2( 3 ) ( ) 4 2 ( )a c a c c c a c ，解得 4e 或 1e （ 舍） . 故选 A. 二、 填空题 (本大题包括 4小题，每小题 5分，共 20分 ) 13. 314. 5 15. 22( 2 ) ( 3 ) 1 3 16. 简答与提示： 13. 【试题解析】 由 ( ) 2,a b a r r r 得 3所以 1c o | | | 夹角为 3 . 14. 【试题解析】 由题意可知5 6 8 50, 3a a a ，故数列 以560, 0，所以 使n . 15. 【试题解析】 由题意可知，该圆心 在 原点和点 ( 1, 5) 的中垂线 2 1 0 2 6 0 上，又在直线2 1 0 上，因此圆心为 (2, 3) ，半径为 13 ，因此圆的方程为 22( 2 ) ( 3 ) 1 3 . 16. 【试题解析】 由题意可知，是系统抽样，正确；推理过程是大前提错误，而不是小前提，错误 ；满足合情推理，因此正确；根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于 1，模型的拟合效果越好，因此正确 . 故答案为 . 三、解答题 (本大题必做题 5小题，三选一选 1小题，共 70 分 ) 17. (本小题满分 12分 ) 【试题解析】 解： (1) 将函数 s c o s ()( 化简成为 ( ) s i n ( )3f x x ，根据列表 可知函数图像如图所示 3x 0 2 322 x 36237653y 0 1 0 1 0 第 7 页 共 9 页 2016 四模文科 (6 分 ) (2) 在 中，23)(,3 知3A ，由正弦定理可知 2s i n s i n s i na b C ，即2， 2， 1 3 2s i n 3 s i n s i n 3 s i n s i n ( )2 4 3S b c A b c B C B B ， 则 3 3 3 3 3s i n 2 c o s 2 s i n ( 2 )4 4 4 2 6 4S B B B ，其中 203B ， 因此 S 的取值范围是 33(0, 4. (12 分 ) 18. (本小题满分 12分 ) 【试题解析】 (1)由题意可得 0 4 , 0 ，所以回归直线 0 4 0 ，故当电压加为 110伏时，估计电流为 培 (6 分 ) (2)经计算，产品编号为 的是不合格品，其余为合格品，从中随机抽 2 件共有如下 10 种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中至少有一件是合格品有 9 种情况，故所求事件的概率为 910. (12 分 ) 19. (本小题满分 12分 ) 【试题解析】 解： 取 中点为 N ，连结 ,N (1) 中点， 1/ / , 2M N B C M N B C /且 2D ， /N M A D N M A D且 ， 四边形 平行四边形， /D ，又 平面 平面 所以 /面 (6 分 ) (2) 中点， 1326M P C D P C 三 棱 锥 三 棱 锥 1 1 3 32 3 13 3 2 3 3B C C D P B C S P A P A P A 三 棱 锥 三 棱 锥所以 1 ,C D A D C D P AQ ， 平面 D 又 1, 3 , 2 , 1P C A D P D S M 到平面 距离为 h ， 则 1 1 3 31,3 3 6 2P C C h h h 三 棱 锥， 8 页 共 9 页 2016 四模文科 故 M 到平面 距离 为 32(12 分 ) 20. (本小题满分 12分 ) 【试题解析】 解： (1) 因为 过焦点1以当 AB x 轴时， |小，且最小值为 22题意可知 22 3，再由椭圆定义知，2周长为 4a ，所以 2, 3，所以椭圆的方程为22143(4 分 ) (2)设 程为1 1 2 2 1 1( 1 ) , ( , ) , ( , ) , ( , )y k x A x y B x y A x y ， 则 22( 1)143y k ，化简得 2 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k x k 所以 212 2834k ， 212 24 1 234k 则2121,AB 的方程为 211121()y x 化简有1 2 1 2 1 22 1 2 1( ) 2 2 ( )k x x k k x x k x x x x ，将 代入可得 2 2 22 1 2 11 6 2 4 6 43 4 3 4 ( 3 4 ) ( )k k ky x xx x k k k x x ， 所以直线 恒过定点 ( 4,0) (12 分 ) 21. (本小题满分 12分 ) 【试题解析】 解： (1) ( ) 1 , ( 1 ) = 3 , 2af x f (4 分 ) (2) ( ) 1 , 0a x af x 当 0a 时， ()0, ) 上单调递增 ，且值域为 R ； 当 0a 时， ()0, ) 上单调递增； 当 0a 时， ()0, )a 上单调递减， ( , )a 上单调递增 当 0a 时， ()f x a 不可能恒成立； 当 0a 时， ( ) 0f x x，成立； 当 0a 时， () 处取得最小值 ()，则只需 ()f a a 即 )a a a a ，所以 ) 2a，解得 2 ，所以 2 0 综上所述： 2 ,0 (12 分 ) 22. (本小题满分 10分 ) 【试题解析】 解 (1) 圆 O 的直径， ,即 90 又 直 延长线于点 N，即 90 M、