北京市东城区2016届高三5月综合练习理科数学试题(二)含答案

北京市东城区 2015年度第二学期高三综合练习（二） 数学参考答案及评分标准 （理科） 第卷 （选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 40 分 ） 卷 （共 110 分） 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 9. 1 22 a 10. 5 11. 5212. 13 13. 31, 22 14. 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分 ) 15.（本小题共 13 分） 解： ( )因为 ( ) 3 s i n c o s 1 2 s i n ( ) + 16f x x x x ， 又 () ， 所以 2，即 =2. ( )由 ( )可知 ( ) 2 s i n ( 2 ) + 16f x x ， 因为 02x ， 所以 726 6 6x . 由正弦函数的性质可知，当 262x ，即6x 时，函数 ()大值为 f(6)=3； 当 7266x 时，即2x 时，函数 ()小值为 f(2)=0. 16.（本小题共 14 分） 证明： （）因为 是等腰直角三角形 90o ，分别为 C， 的中点， F ， E . 又因为 E E, 所以 E F A E C 平 面 . 由于 所以有 A B A E C 平 面 . 解：（） (i) 取 中点 D ，连接 , , ,D E E F F G G D, 由于 中位线，以及 中位线 , 所以四边形 平行四边形 . 直线 所成角就是 所成角 . 所以 四棱锥 C 体积取最大值时， 垂直于底面 此时 为等腰直角三角形， 中线， 所以直线 C . 又因为 所以直线 所成角为 2. (因为 四棱锥 C 体积取最大值 , 分别以 F 、 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系如图， 则 (0,0, )， ( , 2 ,0)B a a ， (0, ,0) ( , 2 , )C B a a a ，(0, , )C F a a . 设平面 的一个法向量为 n = (x, y, z) ,由 0,0002 取 y=1 ，得 x = z = 1 由此得到 n = (,1) . 求得平面 的一个法向量 m = (0,1, 0) . 所以 13c o 故平面 C平面 C平面角的 17.（本小题共 13 分） 解：（）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，甲球员投篮命中率超过 场次有 5 场， 分别是 4， 5， 6， 7， 10， 所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过 概率是 12. 在 10 场比赛中，乙球员投篮命中率超过 场次有 4 场，分别是 3， 6， 8， 10， 所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过 概 率 是 25. （）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过 事件 A ，乙队员命中率不超过 事件1B，乙队员命中率超过 甲队员命中率不超过 事件2B. 则12 1 3 1 2 1( ) ( ) ( ) 2 5 2 5 2P A P B P B （） X 的可能取值为 0,1,2,3 . 0 0 33 2 3 2 7( 0 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C ； 1 1 23 2 3 5 4( 1 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C ； 2 2 13 2 3 3 6( 2 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C ； 333 28( 3 ) ( )5 1 2 5P X C ； X 的分布列如下表： X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 263 55E X n p . 18.（本小题共 14 分 ） 解： （） 22 2 ( 3 1 )( ) 2 ( 1 ) ( 2 )22 x x , 当 ( ) 0 时， 所以 2 3 1 0 . 解得 3522x . 当 ( ) 0 时 , 解得 352x . 所以 () 35( 2, )2，单调减区间为 35( , )2 （ ） 设 2( ) ( ) ( ) 2 l n ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )h x f x g x x x k x x , 当 2k 时，由题意，当 ( 1, )x 时， ( ) 0恒成立 . 22 ( 3 1 ) 2 ( 3 ) ( 1 )( ) 222x x x , 当 1x 时， ( ) 0 恒成立， () 又 ( 1) 0h , 当 ( 1, )x 时， ( ) ( 1) 0h x h 恒成立，即 ( ) ( ) 0f x g x. 对于 1x ， ( ) ( )f x g x 恒 成立 . （） 因为 222 ( 3 1 ) 2 ( 6 ) 2 2()22x x x k x kh x . 由 (，当 k = 2 时， f (x) 1， 2 x + 2) (x + 1)2 2 时， 对于 x 1， x + 1 0，此时 2 (x + 1 ) h (1) = 0，即 f (x) g (x) 0 恒成立 综上， k 的取值 范围为 ( , 2) 19.（本小题共 13 分） 解 :（ ）由题意 ,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形 , 所以 , 22 2 , 则椭圆 C 的方程为 12 2222 又因为椭圆 C:过点 A( 2 ， 1)，所以 1122 22 a=2,b=. 2 所以 椭圆的的标准方程为 12422 ( ) 222 )( . 因为 M(x,y)是椭圆 C 上的动点，所以 12422 故 22)41(2222 . 所以 22 2 2 2 2 211( ) 2 2 2 ( 2 ) 2 2 x p x p x p x p p 因为 M(x,y)是椭圆 C 上的动点， 所以 2x . （ 1） 若 22 p 即 1p ，则当 2时 最小值 22 p ， 此时 M 2( 2 , 2 2 ) . （ 2）若 1p ，则当 2x 时， 最小值 2p ，此时 M )0,2( . （ 3）若 1p ，则当 2x 时， 最小值 2p ，此时 M )0,2( . 20.（本小题共 13 分） （ ）由212 ( 1 )n n n nd a a a n 以及得： 212 0 ( 1 )a n 所以从第二项起为等比数列 . 经过验证 等比数列 12 . ( )由于 1所以有2121n n na a a n nc a a则有1 1叠加得： 4 所以有 1 4a n ，叠加可得： 2 9 1 02n ， 所以最小值为 （） 由于 1，1 1a， 2 1a 若1 1d 可得3 2a ，若1 1d 可得3 0a 同理，若2 1d 可得4