导数及均值不等式在生活中的应用1

第 1 页 共 4 页 导数及均值不等式在生活中的应用导数及均值不等式在生活中的应用 宾阳县高级中学 卓归明 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 导 数是解决最值问题有力的工具之一 我们常用求函数的导数来确定最优解 但是除此之外 均值 不等式在解决此类问题时也有其自身的特点 下面我将通过一些具体的例子来作简单的说明 例 1 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图 1 1 所示的 竖向的海报 要求版心面积为 128 上 下两边各空 2 左右两边各空 1 如何设计海 2 dmdmdm 报的尺寸 才能使四周空白的面积最小 解 设版心的高为 则版心的宽为 此时四周空白的面积为 xdmx 128 dm 8 512 2128 2 128 4 x x x xxS 0 x 解法一 导数法 求函数的导数得 xS 2 512 2 x xS 令 解得 0 512 2 2 x xS 16 x 16 舍去 x 于是宽为 8 16 128128 x 当时 当时 16 0 x0 x S 16 x0 x S 因此 是函数的极小值点 也是最小值点 所以 当版心高为 16 宽为 8 16 x xS dm 时 能使四周空白面积最小 dm 解法二 均值不等式法 0 x 728 2 256 228 256 28 512 2 x x x x xxS 利用均值不等式 若 当且仅当时取等号 abbaba2 0 0 则 ba 当且仅当 即时取等号 此时宽为 x x 256 16 x 8 16 128128 x 所以 当版心高为 16 宽为 8时 能使四周空白面积最小 dmdm 例 2 以长为 10 的线段为直径作半圆 求它的内接矩形面积的最大值 图 1 1 第 2 页 共 4 页 解 如图 2 1 所示 设 xAB2 222 255xxBC 面积 2 252 xxxS 50 x 解法一 导数法 求函数的导数得 xS 2 2 2 2 2 25 225 2 25 2 252 x x x x xxS 令 解得 舍去 0 x S 2 25 x 2 25 x 当时 当时 2 25 0 x 0 x S 5 2 25 x 0 x S 在时 取得极大值 也是最大值 2 25 x25 2 25 S 因此当时 它的内接矩形面积最大 最大值为 25 2 25 x 解法二 均值不等式法 25 2 25 2252 222 2 xx xxxS 50 x 当且仅当 即时取等号 2 25xx 2 25 x 利用均值不等式 若 当且仅当时取等号 2 0 0 22 ba abba 则 ba 例 3 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 升 关于行驶速度 千 y x 米 小时 的函数解析式可以表示为 已知甲乙两地相距 8 80 3 128000 1 3 xxy 1200 x 100 千米 当汽车以多大速度行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解 当速度为千米 小时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为升 xx 100 xh 4 15800 1280 1100 8 80 3 128000 1 23 x x x xxxh 1200 x 解法一 导数法 求函数的导数得 xh AB 图 2 1 第 3 页 共 4 页 令 解得 2 33 2 640 80800 640 1 x x x xxh 0 x h 80 x 当时 当时 80 0 x0 x h 120 80 x0 x h 在时 取得极小值 也是最小值 80 x 25 11 80 h 解法二 均值不等式法 25 11 400400 1280 3 4 15400400 1280 1 4 15800 1280 1 2 22 xx x xx x x xxh 当且仅当 即时取等号 x x 400 1280 1 2 80 x 利用均值不等式 若 当且仅当时取等号 3 3 0 0 0abccbacba 则 cba 例 4 用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 问 该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 解 设长方体的宽为m 则长为m 高为 m xx2 x x h35 4 4 1218 故长方体的体积为 322 69 35 4 2 xxxxxV 2 3 0 x 解法一 导数法 求函数的导数得 xV 1 181818 2 xxxxxV 令 解得 0 x V 1 x舍去0 x 当时 当时 1 0 x0 x V 2 3 1 x 0 x V 故时 取得极大值 并且这个极大值就是最大值 1 x xV xV 从而 3 1 max VxV 3 m 所以长为 2m 宽为 1m 高为 1 5m 时 体积最大 最大值为 3 3 m 解法二 均值不等式法 3 3 5 1 22 24 5 1 22 24 35 4 2 32 x xx x xx xxxV 当且仅当 即时取等号 此时 x x 5 1 21 x 3 1 max VxV 3 m 所以长为 2m 宽为 1m 高为 1 5m 时 体积最大 最大值为 3 3 m 第 4 页 共 4 页 通过上述的几例可以发现 通过求导数进行求解最值具有普遍性 对很多最值问题都可以求 解 但有些题目用导数知识解题过程较为繁琐 极值点求出后 极值情况有的还要与区间断点值 比较 而使用均值不等式进行求解时 过程较为简练 但均值不等式只能解决最值问题中的一类 问题 有其自身的局限性 并且有的还要注意有陷阱的问题 例如 求函数 的最小值时 要是直接使用均值不等式就会出现问题 2 2 1 2 2 x x xf 2 2 1 22 2 1 2 2 2 2 2 x x x xxf 取等号时 此时 2 1 2 2 2 x x 1 2 x 用均值不等式解题时 要注意找到能消去自变量的最佳组合 这一点就不好做到 所以新 x